книги / Физические основы электромагнитных процессов в технических средствах автоматизации

Рис. 1.34. Точечный положительный заряд q расположен вне

произвольной замкнутой поверхности S

Рассмотрим теперь общий случай расположения системы точечных разноименных зарядов qi по отношению к замкнутой поверхности S (рис. 1.35).

Рис. 1.35. Система точечных разноименных зарядов q* расположена

произвольно внутри и вне замкнутой поверхности S

На основании вышеизложенного можно заключить, что заряды qk+ь qk+2,..., qm, расположенные вне замкнутой поверхности S, вносят нулевой вклад в поток Фе через эту поверхность. Вели­ чина и знак потока Фе через поверхность S будет определяться только зарядами qi, q^, q3, qk, расположенными внутри этой поверхности. Заряды, расположенные внутри поверхности S,

создают результирующие поле с напряженностью Е , которая в соответствии с принципом суперпозиции может быть найдена

как векторная сумма напряженностей Ej полей, создаваемых каждым внутренним зарядом в отдельности:

Ё = Ё1+ Ё2 +Ё3+... +Ёк.

Поэтому поток Фе вектора Е результирующего поля через замкнутую поверхность S равен

JB,dS- |f(Eu +В* +В* +... +Eok)dS= 4EnIdS+

+ ^E„2dS + jE n3dS+... + fE^dS = -3*-+ 32. + Зз. + ...+

В итоге получаем:

(1.58)

Формула (1.58) выражает теорему Гаусса: поток вектора

напряженности Ё электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заклю ченных внутри этой поверхности зарядов, деленной на 8Q.

1.21. Теорема Гаусса для электростатического поля в ди­ электрике. Вектор электрического смещения. Диэлектриче­

ская проницаемость вещества

Рассмотрим электростатическое поле с напряженностью Е в изотропном диэлектрике, обусловленное помещенной ,в егс объем системой свободных зарядов, алгебраическая сумма ко торых £ q > 0 (рис. 1.36).

Очевидно, что формула (1.61) является непригодной для

нахождения вектора Е в диэлектрике, так как в ней Е зависит от поверхностной плотности связанных зарядов а ', которая в

свою очередь зависит от Ё (1.48). Это затруднение в расчетах можно обойти, введя в рассмотрение вспомогательную величи­ ну, зависящую только от свободных зарядов J q и связанную

простым соотношением с вектором Е ., Для установления вида новой вспомогательной величины

заменим в формуле (1.61) связанные заряды <jcr'dS потоком век-

где Dn = 80Еп+ Рп - есть проекция на нормаль п к поверхности

S искомой вспомогательной величины, названной электриче­ ским смещением.

В СИ электрическое смещение D измеряется в тех же единицах, что и поляризованность Р - в кулонах на квадрат-

ПСзЛ ньш метр — .

\М J

Используя эту вспомогательную величину, выражение (1.61) можно записать в удобном для расчетов виде:

(1.65)

Формула (1.65) выражает теорему Гаусса для вектора

D : поток вектора электрического смещения D через замк­ нутую поверхность равен, алгебраической сумме заключен­ ных внутри этой поверхности свободных зарядов.

Поле вектора D изображается графически точно так же, как и поле вектора Е с той лишь разницей, что линии электри­ ческого смещения D могут начинаться и заканчиваться только на свободных зарядах. Через те области, где находятся связан­ ные заряды, линии D проходят не прерываясь. Линии же вектора

Е могут начинаться и заканчиваться как на свободных, так и на связанных зарядах.

Часто заряд распределен в некотором объеме непрерывно. Его распределение в общем случае характеризуют с помощью объемной плотности заряда:

(1.66)

где d q - заряд, заключенный внутри элементарного объема dV. В случае равномерного распределения заряда q в объеме V плотность находится по формуле

Таким образом, объемная плотность заряда численно равна за­ ряду, приходящемуся на единицу объема. В СИ р измеряется

ТСп согласно (1.67) в - г - .

м3

Если свободные заряды распределены по объему V, охва­ тываемому замкнутой поверхностью S, непрерывно с объемной плотностью р формула теоремы Гаусса (1.65) записывается сле­ дующим образом:

(1 .68)

Выражение (1.68) представляет собой одно из четырех уравнений Максвелла для электромагнитного поля, записанное в интегральной форме. Оно отражает тот факт, что электрические заряды являются источниками электрического поля.

—* м Ь

Найдем теперь связь между векторами D и Е для практи­ чески важного случая, когда несильное электрическое поле с

напряженностью Е находится в безграничном однородном и изотропном диэлектрике. Подставив выражение (1.44) для поля-

ризованности Р в формулу (1.64) для электрического смещения

называется диэлектрической проницаемостью вещества. Она характеризует способность диэлектрика поляризоваться в элек­ трическом поле. Так как диэлектрическая восприимчивость ве­ щества х всегда положительна, то б всегда больше единицы. Для вакуума sBaK=l, так как Р = 0 и х = 0.

Таким образом, соотношение (1.64) можно записать в виде

Выясним теперь физический смысл 8. Для этого рассмот­ рим бесконечную плоскопараллельную пластину из однородно­ го и изотропного диэлектрика с проницаемостью s, помещенную в вакууме в однородное электрическое поле Ё0 перпендикуляр­ но линиям напряженности (рис. 1.37).

Рис. 1.37. Бесконечная плоскояараллельная пластина из однородного и изотропного диэлектрика, находящаяся в вакууме в однородном

электрическом ноле Е0

Опыт показывает, что в этом случае пластина никак не влияет на поле Ё0 во внешней области, а значит поверхности

пластины будут совпадать с эквипотенциальными поверхностя­ ми поля (рис. 1.17).

Вследствие поляризации диэлектрика величина напряжен­ ности поля в нем Е будет меньше, чем величина напряженности

Е

внешнего поля Ео в вакууме. Найдем чему равно отношение — .

Е

Для этого воспользуемся теоремой Гаусса для вектора D и со- —»■ ■*

отношением D = е0еЕ .

В качестве замкнутой поверхности мысленно построим на границе раздела диэлектрика и вакуума прямой цилиндр, осно­ вания которого AS параллельны этой границе, а высота Ah ни­ чтожно мала (рис. 1.37). Так как на границе раздела нет свобод-

Поток Фе>в свою очередь состоит из трех частей:

где Фобок. - поток D через боковую поверхность цилиндра, ФСв

- поток D через основание цилиндра в вакууме, Фвд - поток D через основание цилиндра в диэлектрике.

Благодаря тому, что высота цилиндра ничтожна (Ah->0) пото­

ком D через боковую поверхность цилиндра можно пренебречь (Фобох=0). Тогда выражение (1.72) с учетом (1.73) примет вид

Учитывая, что в нашем случае Еп=Е и Еоп=Ео из (1.78) найдем чему равно отношение напряженностей:

(1.79)

Формула (1.79) поясняет физический смысл диэлектриче­ ской проницаемости б: в случае однородного диэлектрика, за­ полняющего все пространство между эквипотенциальными по­ верхностями поля, его диэлектрическая проницаемость е пока­ зывает, во сколько раз ослабляется электрическое поле в диэлек-| трике за счет его поляризации по сравнению с вакуумом.

Это обстоятельство проиллюстрировано на рис. 1.37, Ш котором изображена изоляционная пластина с диэлектрической'

Рис. 1.39. График зависимости Е от г поля равномерно заряженной

сферической поверхности, изображенной на рис. 1.38

Благодаря равномерному распределению заряда по сфере поле, создаваемое им, обладает сферической симметрией. Это!

значит, что линии электрического смещения D направлены ра­

диально, а модуль вектора D является функцией только рас­ стояния г от центра сферы D=D(r).

Сначала найдем зависимость D от г вне сферы. Для этого во внешней области выберем такую вспомогательную поверх-

ность, чтобы поток вектора D через нее вычислялся как молено проще. В рассматриваемом случае искомой поверхностью явля­ ется сферическая поверхность S с произвольным радиусом г, имеющая общий центр с заряженной сферой (рис. 1.38). Вслед­

ствие сферической симметрии поля векторы D во всех точках поверхности S будут перпендикулярны ей, а модули этих векто­ ров будут одинаковы. Тогда поток Фо через поверхность S мож­ но вычислить без интегрирования:

Ф0 =D*S = D-4nr2

Согласно теореме Гаусса (1.65) поток Фп равен заряду сферы q, заключенному внутри поверхности S:

D*47tr2 = q .