книги / Физические основы электромагнитных процессов в технических средствах автоматизации
..pdfОтсюда находим зависимость модуля D от расстояния г до цен тра заряженной сферы:
D = — |
-аq- |
(1.80) |
4я |
2 |
|
На основании соотношения (1.71) получим для внешней облас ти зависимость напряженности Б от г:
Е = |
1 » ■ q» » т |
|
4? |
О |
ЕГ2 |
|
ОС |
|
|
|
|
(r>R) |
(1.81) |
Если во внешней области вместо диэлектрической среды будет вакуум, то напряженность поля Е будет в s раз больше.
При очень большом удалении от сферы (r>R) на нее можно смотреть как на точечный заряд q, поле которого также рассчи тывается по формуле (1.81). Следовательно, поле заряженной сферы во внешней области аналогично полю точечного заряда, равного q и помещенного в центр сферы.
Теперь найдем поле внутри заряженной сферы, для чего внутри нее построим вспомогательную поверхность SBHyip с
произвольным радиусом гвнуф (рис. 1.38). Так как внутрь этой
поверхности заряд не попадает, то поток вектора D через нее
ФцЮ. Следовательно, внутри равномерно заряженной сферы поле отсутствует (DBHynr=0, EBHyip=0). График зависимости Е от г
показан на рис. 1.39.
Используя принцип суперпозиции можно легко показать, что поле двух концентрических равномерно заряженных сфери ческих поверхностей, несущих одинаковые по величине, но про тивоположные по знаку заряды +q и -q, (поле сферического конденсатора), сосредоточено только в зазоре между этими по верхностями (рис. 1.40 и 1.41) и определяется только зарядом на внутренней сфере. Напряженность этого поля рассчитывается по формуле (1.81). Поле вне зазора отсутствует (Е=0).
Рис. 1.40. Поле сферического конденсатора, заполненного диэлектриком с проницаемостью е
Рис. 1.41. График зависимости Е от г поля сферического конденсатора, изображенного на рис. 1.40
1.22.2. Поле равномерно заряженного по объему диэлектрического шара
Шар радиуса R с диэлектрической проницаемостью г н* ходится в вакууме. По объему шара Vm равномерно распределен заряд +q (рис. 1.42).
Затем внутри шара построим вспомогательную поверхность SBHyip с произвольным радиусом гвну1р (рис. 1.42). Внутри этой поверхности окажется заряд
а |
=£)у |
= — |
г3 |
4 внутр |
К т внутр |
j ^3 |
Авнутр * |
Вследствие сферической симметрии поля заряда qBHyip поток вектора D этого поля через поверхность SBHyrp можно вычислить без интегрирования:
~ ^ ^ в н у тр — ^ * 4 л Г ВНу|р*
Согласно теореме Гаусса (1.65) поток Фв равен заряду qBHyip:
D-4KT, |
2 - А |
|
внутр |
R3 |
Авнутр |
Отсюданайдем зависимость D от 1впутр |
||
D _ q |
BHytp‘ |
(1.83) |
4rcR3 |
|
|
На основании соотношения (1.71) получим зависимость Е от гвнуч>внутри диэлектрического шара
,-------------------------------------------- |
|
(r<R) |
(1.84) |
Е,ч" = 4 ^ ‘ж 5'Г,ну,р |
|
График зависимости Е от г внутри шара и для внешней об ласти показан на рис. 1.43. В рассмотренном случае диэлектри ческая проницаемость вещества шара принята равной е=2, по этому при переходе через поверхность шара напряженность В скачкообразно изменяется в два раза.
1.22.3. Поле бесконечной равномерно заряженной цилиндрической поверхности
В подобных задачах для расчетов удобно пользоваться ли нейной плотностью заряда т, которая определяется аналогично объемной плотности заряда р:
(1.85)
где dq - заряд, приходящийся на отрезок цилиндра длинной dl. В случае равномерного распределения заряда q на длине L ли нейная плотность находится по формуле
т = 1 L
Таким образом, линейная плотность заряда т численно равна за ряду, приходящемуся на единицу длины цилиндра. В СИ линей-
Кл ная плотность т измеряется согласно (1.86) в — .
м
Рассмотрим случай, когда бесконечная цилиндрическая поверхность радиуса R, равномерно заряженная с линейной плотностью +т, находится в среде с диэлектрической проницае-
диэлектрической проницаемостью s
заряженной цилиндрической поверхности, изображенной на рис. 1.44
Вследствие равномерного распределения заряда по беско нечной цилиндрической поверхности поле, создаваемое им, об ладает цилиндрической симметрией. Это означает, что линии
электрического смещения D направлены радиально, а модуль
вектора D является функцией только расстояния г от оси ци линдра D=D(r).
Найдем зависимость D от г вне цилиндрической поверхно сти, пользуясь теоремой Гаусса. Для этого во внешней области выберем такую замкнутую вспомогательную поверхность, что
бы поток D через нее вычислялся бы без операции интегриро вания. В рассматриваемом случае искомой поверхностью явля ется поверхность цилиндра с произвольным радиусом г и произ вольной высотой h, соосного с заряженной цилиндрической по верхностью (рис. 1.44). На рисунке видно, что для любой из то чек обоих оснований вспомогательного цилиндра нормальная
проекция Dn=0. Следовательно, потоки D через эти основания равны нулю. Вследствие цилиндрической симметрии поля век
торы D во всех точках боковой поверхности Se цилиндра буду! перпендикулярны ей, а модули этих векторов будут одинаковы.
Тогда поток вектора D через боковую поверхность 8б будет ра вен
Рис. 1.47. К расчету поля бесконечной равномерно заряженной плоскости,
находящейся в среде с диэлектрической проницаемостью s
(прямоугольная проекция)
Благодаря равномерному распределению заряда по беско нечной плоскости поле, созданное им, обладает плоской сим метрией. Это означает, что линии электрического смещения D направлены перпендикулярно плоскости, а в симметричных относительно плоскости точках векторы D одинаковы по модулю (DI=D2), но противоположны по направлению (рис. 1.47).
Произведем расчет поля D , пользуясь теоремой Гаусса. Для этого удобно выбрать замкнутую вспомогательную поверх ность в виде прямого цилиндра, перпендикулярного заряженной плоскости. Основания цилиндра AS должны располагаться сим метрично относительно плоскости (рис. 1.46 и 1.47). Тогда по-
TAV рОИГФАПО |
ТЛ |
ТТАП/ЛО (чЛТГЛВДТЛ ПЛПАЛУИЛЛТТ f\TFTTAT ЛТОТРГЛТОЛООТТ |
|
Aviv u v iv iu L / u |
JUT |
x v p w v / u i v v D j i v i i v x j v p m i u w x u |
v i v j |
поскольку в каждой ее точке Dn=0.
В силу симметрии поля DI=D2=D. Так как для оснований
AS цилиндра Dn-D , то суммарный поток вектора D через замк нутую вспомогательную поверхность равен
0 D = 2 • D • AS.
Внутри этой поверхности заключен заряд q = а ■AS.
Согласно теореме Гаусса (1.65): 2 • D • AS = ст • AS,
откуда получим выражение для электрического смещения
D = —. |
(1.91) |
2
На основании соотношения (1.71) найдем формулу для напря женности
(1.92)
В выражения (1.91) и (1.92) не выходит длина вспомога тельного цилиндра. Это значит, что поле бесконечной заря женной плоскости однородное (рис. 1.47).
Формулы (1.91) и (1.92) можно применять и для расчета поля равномерно заряженной плоскости конечных размеров. При этом нужно соблюдать условие, при котором расстояние от расчетной точки до самой плоскости много меньше расстояний от точки до краев плоскости (точка находится вблизи середин ной части заряженной плоскости).
1.22.5. Поле двух разноименно заряженных плоскостей (поле плоского конденсатора)
Две параллельные бесконечные плоскости, заряженные с одинаковыми по величине, но разноименными поверхностными плотностями +<7 и *(т, расположены в среде с диэлектрической проницаемостью е (рис. 1.48).
Поле этих двух плоскостей можно найти как суперпози цию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности.
Результат наложения однородного поля Ё+, созданного поло жительно заряженной плоскостью, и поля Е _, созданного отри цательно заряженной плоскостью, хорошо виден на рис. 1.48.
Вне объема, ограниченного плоскостями, складываемые поля Ё+ и Ё_ взаимно компенсируются, так что результирую щая напряженность равна нулю.