книги / Физические основы электромагнитных процессов в технических средствах автоматизации
..pdf1.5. Принцип суперпозиции (наложения) электрических полей
Это один из основных законов электростатики.
Опыт показывает, что сила, с которой поле системы точеч ных зарядов в вакууме действует на пробный заряд qnp, равна векторной сумме сил, с которыми действует на q„p поле каждого из зарядов системы в отдельности:
F = F1+ F2 + F3 +... + Fn. |
(1.6) |
Это означает, что поля, создаваемые зарядами системы в вакуу ме, не влияют друг на друга.
После деления выражения (1.6) на qnp согласно формуле (1.3) получим
Ё = Ё1+ Ё2 +Ё3+... + Ёп ,
или
ё = Ё ё , |
(1-7) |
i=l |
|
Формула (1.7) |
выражает принцип суперпо |
жения) электрических |
полей: напряженность Ё результи |
рующего поля, созданного системой зарядов, равна векторной |
|
сумме напряженностей |
полей, созданных в рассматриваемой |
точке каждым зарядом системы в отдельности (рис. 1.4).
Рис. 1.4. Напряженности Ej полей, созданных в рассматриваемой точке А
каждым точечным зарядом q$ системы в отдельности
Принцип суперпозиции позволяет вычислить напряжен ность поля любой протяженной системы зарядов.
Например, он позволяет легко вычислить напряженность поля тонкого равномерно заряженного стержня в точке А (рис. 1.5).
Рис. 1.5. Заряженный стержень представляется в виде системы точечных
зарядов dq
Стержень нельзя рассматривать как точечный заряд, т.к. его длина соизмерима с расстоянием до точки А. Но разбив стер жень на элементарные отрезки dl с зарядом dq, мы получаем систему точечных зарядов (dl<<r). В таком случае напряжен
ность 6Ё поля каждого такого заряда согласно (1.4) находится по формуле
47Г80 Г 2 Г
а напряженность Ё результирующего поля согласно принципу суперпозиции - по формуле
E=JdE,
L
в которой интегрирование ведется по стержню длиной L.
Электрическое поле удобно изображать графически с по мощью линий напряженности (силовых линий). На рис. 1.6 таким образом показано поле системы из двух разноименных, но одинаковых по величине точечных зарядов.
Рис. 1.6. Линии напряженности поля системы двух точечных зарядов +q и -q
Линии напряженности чертятся по определенным пра вилам:
1.Они проводятся так, чтобы касательная к линии в
каждой точке совпадала с направлением вектора Ё в этой точке. При этом линиям приписывается направление, совпадающее с
направлением вектора Ё .
Например, по картине поля на рис. 1.6 можно легко опре делить направление вектора Ё в любой точке, через которую проходит линия.
2. Густота линий выбирается гак, чтобы количество ли ний, пронизывающих единицу площади поверхности, перпенди кулярной линиям, было равно численному значению Ё в дан ном месте.
Например, глядя на рис. 1.6, легко сообразить, что такую единичную площадку, расположенную около заряда, пересечет
Понятие электрического диполя играет очень важную роль в курсе физики, в частности, при описании процессов, происхо дящих в диэлектриках, помещенных в электрическое поле.
Электрическим диполем называется система двух равных по величине разноименных точечных зарядов +q и -q, находя щихся на расстоянии i друг от друга (рис. 1.8). Обычно при расчете поля диполя предполагают сам диполь точечным, т.е. считают расстояние г от диполя до рассматриваемых точек зна чительно большим t .
|
2 |
р |
© — |
► © — |
--------------------- |
л |
Q |
ось диполя |
Рис. 1.8. Электрический диполь |
||
Вектор 2 называется плечом диполя, а вектор |
||
Р = q? I |
|
(1.8) |
называется электрическим моментом диполя или дипольным моментом. Прямая, проходящая через оба заряда, называется осью диполя.
Приблизительная картина поля диполя изображена на рис. 1.6. Рассчитаем поле диполя в двух характерных точках: на оси диполя и на перпендикуляре к ней, восставленном из его се редины. Для этого воспользуемся принципом суперпозиции.
Напряженность поля на оси диполя в точке А, удален
ной от его середины на расстояние г » |
2 (рис. 1.9). |
г |
> |
14 |
|
|
А |
|
Ё- 6А Ё+ |
Рис. 1.9. Напряженность поля на оси диполя
Согласно принципу суперпозиции
ЁА =Ё+ +Ё_,
где Ё+ и Ё_ - напряженности полей, созданных положительным и отрицательным зарядами.
Из рисунка видно, что модуль Ё в точке А равен |
|
Еа= Е +-Е_ |
(1.9) |
На основании формулы (1.4) выражение (1.9) можно записать так:
|
|
|
|
|
\ 2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Г+ |
|
г — |
(1.10) |
Еа = |
|
|
\2 |
V |
|
ч |
||
е |
С |
|
пе |
к2/ |
гV |
‘ |
||
|
|
£ |
||||||
|
4% , ( |
|
4 ( |
|
||||
|
LK |
|
. |
г н— |
г - - |
|
г + - |
|
|
|
2J |
|
|
2 |
|
||
|
£ |
|
£ |
|
|
|
|
|
Так как —« |
г, то — в знаменателе этой формулы можно пре- |
|||||||
небречь в сравнении с г и окончательно записать |
|
|||||||
|
„ |
1 |
2q^ |
1 |
2р |
|
|
( 1.11) |
|
—------------------------------ . |
|
|
|||||
|
4яе0 |
г3 |
4тга0 |
I |
|
|
|
|
Напряженность поля на перпендикуляре, восставлен ном к оси диполя из его середины, в точке В, удаленной от ди поля на расстояние т » £ (рис. 1.10).
Рис. 1.10. Напряженность поля на перпендикуляре, восставленном к оси
Так как точка В равноудалена от обоих зарядов, то
Е+ = Е_ = |
1 |
q |
_ 1 Я |
|
4тге0 |
( Л 2 |
4TIS0 г2 * |
||
|
||||
|
г |
+! - |
|
|
|
|
2J |
|
Из подобия равнобедренных треугольников, опирающихся на плечо диполя и вектор Ев , следует
Ев |
|
/ \ 2 |
Г |
(1.13) |
|
|
|||
|
,Г2 + I |
|
||
Подставляя (1.12) в (1.13) окончательно получим |
|
|||
Е = |
1 |
= |
1 р |
(1.14) |
В |
4я£0 г3 |
4ле0 г3 |
|
|
Расчеты Е по другим направлениям также показывают, что вдали от диполя напряженность поля диполя убывает с рас
стоянием от него как 4г, т.е. быстрее, чем напряженность поля
г
точечного заряда, убывающая как - i . Следовательно, поле ди-
г
поля является относительно короткодействующим.
Диполь в однородном электрическом поле. Рассмотрим поведение диполя с моментом р = , помещенного в однород
ное электрическое поле с напряженностью Е так, как показано на рис. 1.11.
На заряды диполя действуют одинаковые по величине, но
противоположно направленные силы F2 и F2. Они образуют па ру сил с плечом, равным h = £ - sin а . Вследствие того, что сум ма сил Fj +F2 = 0 , центр масс диполя будет оставаться непод вижным. Но на диполь действует еще момент пары сил
М = F- h = qE^ since = pE sina. |
(1.15) |
Очевидно, что момент М будет стремиться провернуть диполь относительно оси, проходящей через его центр масс перпенди-
кулярно плоскости чертежа, так, чтобы его электрический мо мент р установился по направлению вектора напряженности
поля Ё .
*
q F ,= q t
поле
1.8. Работа, совершаемая при перемещении заряда в электростатическом поле. Потенциал электростатического
поля
Найдем работу, совершаемую силой F электростатическо го поля, созданного точечным зарядом q, по перемещению дробного заряда qnp из точки 1 в точку 2. Положение этих точек относительно заряда q определяется радиус-векторами или ?2, а положение заряда qnp - радиус-вектором ? (рис. 1.12).
На основании формул (1.5) и (1.4) в любой точке траекто рии на заряд qnP действует сила
F = q npE = q np— Ц - - , |
(1.16) |
|
К |
V4Я80Г Г |
|
где Ё - напряженность поля заряда q в месте нахождения заряда
Ч.пр-
Работа этой силы на элементарном перемещении dl равна
5А = F • d! = F • dl • cosa = F- dr = —-— ЯпрЯ ^ ^ 4яе0 r
где dr = dl*cosa,
а конечная работа по перемещению заряда qnp. из точки 1 в точ ку 2 равна
2 |
|
ЯпрЯ | d r _ |
ЯпрЯ |
Г1 п |
|
|
А 12 = jF-dl |
cosa = |
(1.18) |
||||
471£0 г, г2 |
4тг80 |
. Г1 |
||||
i |
|
|
Из формулы (1.18) вытекает, что работа силы по перемещению заряда qnp из одной точки электростатического поля в другую не зависит от формы пути, а зависит от координат начального и конечного положений заряда qnp. Следовательно, электроста тическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы - консервативными.
r2 )
Рис. 1.12. Перемещение пробного заряда q„p в электростатическом поле
заряда q из точки 1 в точку 2
Точно к такому же выводу мы придем, если будем рас сматривать электростатическое поле, созданное не одним заря дом, а системой зарядов.
Из формулы (1.18) также следует, что работа по переме щению заряда qnp в электростатическом поле по замкнутому
контуру L, равна нулю: |
|
|
|
<jqnpE d l - c o s a = 0. |
|
(1.19) |
|
L |
|
|
|
Разделив выражение JL.19) на q^, получим |
(1 .20) |
||
<|E-dl-cosa = 0 |
|
||
L ______________ |
|
|
|
Интеграл в левой части (1.20) |
|
||
^Ё -dI =^E*dl*cosa = jE ,d l, |
(1.21) |
||
L |
L |
L |
|
где Ej =E -cosa,
называется циркуляцией вектора Ё .
Таким образом, выражение (1.20) означает, что циркуляция
вектора Ё электростатического поля по любому замкнутому контуру равна нулю. Это утверждение называют теоремой о
циркуляции вектора Ё электростатического поля.
Из закона сохранения энергии следует, что работа по пе ремещению заряда qnp в электростатическом поле совершается за счет уменьшения потенциальной энергии Wp этого заряда в
поле: |
|
А = Wpi —Wp2. |
(1.22) |
Зная величину Wp в разных точках поля, по формуле (1.22) удобно определять работу, которую совершат силы поля по пе ремещению заряда qnp из одной точки в другую. Следовательно, для электростатического поля можно ввести понятие энергети ческой характеристики аналогично тому, как была введена его силовая характеристика - напряженность Ё . Для этого исполь-
WP
зуют отношение — - , которое уже не зависит от qnp, а опреде-
Я.пр
ляется только полем. Это отношение называется потенциалом: