книги / Физические основы электромагнитных процессов в технических средствах автоматизации
..pdfвектора элементарного перемещения по радиальному направле нию.
Подставляя (1.108) в (1.109), получаем
4,2 2яе0еЬ Л1 |
q |
1п~^-. |
2 ^80sh |
RJ |
Отсюда, в соответствии с (1.104), находим формулу для емкости цилиндрического конденсатора
(1.110)
Эта формула определяет емкость реального конденсатора тем точнее, чем меньше зазор между обкладками dHRrRi по сравне нию ch и Ri.
Из формул (1.106), (1.107) и (1.110) следует, что емкость конденсаторов определяется формой и размерами их обкладок, величиной зазора между ними, а также диэлектрическими свой ствами среды, заполняющими пространство между обкладками.
Кроме емкости конденсатор характеризуется пробивным напряжением, при котором возможен его пробой, т.е. электри ческий разряд через слой диэлектрика в конденсаторе. Величина пробивного напряжения зависит от свойств диэлектрика, его толщины и формы обкладок.
1.26. Соединения конденсаторов
Для подбора необходимых значений емкости и рабочего напряжения конденсаторы соединяют в батареи. При этом ис пользуется их параллельное и последовательное соединение. Применяется также комбинация этих соединений. Для простоты ограничимся случаем трех конденсаторов.
q+ll-q q+
Ci Сг Сз
Рис. 1.55. Последовательное соединение конденсаторов
Если к батарее последовательно соединенных конденсато ров приложить напряжение Ug, то на их крайних обкладках поя вятсяравные по величине, но противоположные по знаку заряды +q и -q. Вследствие электростатической индукции на всех про межуточных обкладках наведутся заряды, равные по величине зарядам на крайних обкладках |+q| = |-q | (рис 1.55). Таким об
разом, заряд батареи qe и заряды каждого из конденсаторов бу дутравны между собой:
Тб ~ Ti ~ 0.2 ~ Тз ~ Т * |
(1.114) |
Напряжение Ue на батарее равно сумме напряжений на ка ждомконденсаторе:
и б = и ! + и 2 + из , |
(1.115) |
где U j U 2 - ^ ’» |
“ р * |
Ц |
^ 2 |
Ь 3 |
Преобразуем выражение (1.115) в соответствии с (1.105):
и л = |
q _ i |
i |
i |
\ |
\У \ |
|
с |
q , |
|
|
|
ЗУ |
откуда получаем формулу для емкости Сб батареи конденсато ров
- L = J - + - U |
J - |
(1.116) |
|
^1 |
^2 |
С3 |
|
При последовательном соединении конденсаторов ве личина, обратная емкости батареи, равна сумме величин, обратных емкостям конденсаторов, входящих в батарею.
1.27. Энергия электрического поля. Плотность энергии электрического поля. Энергия заряженного конденсатора
Опыт показывает, что электромагнитные волны переносят энергию. Например, простейший радиоприемник может рабо тать без источника тока, только за счет энергии электромагнит ной волны, излучаемой радиостанцией; энергия, получаемая Землей от Солнца, также переносится электромагнитными вол нами. Это свидетельствует о том, что носителем энергии являет ся электромагнитное поле.
Электрическое поле, являясь составляющей электромаг нитного поля, тоже обладает энергией.
Найдем выражение для энергии электрического поля, рас сматривая наиболее простой случай однородного поля плоского конденсатора, находящегося в жидком или газообразном ди электрике с проницаемостью s (краевым эффектом при этом бу дем пренебрегать) (рис. 1.56). Площадь обкладок этого конден сатора S, расстояние между ними I , поверхностные плотности зарядов на них +сг и -а. Согласно формуле (1.93) величина на пряженности Е поля конденсатора не зависит от расстояния ме жду обкладками:
Е = — • |
|
|
|
(1.117) |
||
60Б |
|
|
|
|
|
|
|
Сначала найдем вели |
|||||
|
чину силы, с которой раз |
|||||
|
ноименно заряженные |
об |
||||
|
кладки взаимно притягива |
|||||
|
ют друг друга. Это значит, |
|||||
|
что мы должны вычислить |
|||||
|
модуль |
силы |
F3, дейст |
|||
|
вующую на обкладку с от |
|||||
|
рицательным |
зарядом |
ве |
|||
|
личиной |
q = aS, |
находя |
|||
Рис, 1.56. Плоский конденсатор с |
щуюся в однородном поле с |
|||||
подвижной правой обкладкой, |
напряженностью |
Е1# |
соз |
|||
находящийся в жидком или |
||||||
данном |
положительно |
за |
||||
газообразном диэлектрике с |
||||||
проницаемостью е |
ряженной обкладкой. (Зна |
|||||
|
ки зарядов обкладок можно |
|||||
выбрать и наоборот). Величина напряженности Ej поля одной обкладки вдвое меньше величины напряженности Е поля, соз данной обеими обкладками:
Е , = | . |
(1.118) |
Тогда на основании (1.95) величина силы притяжения, дейст вующей на обкладку, равна
F3 = qEt = a - S - —= |
--S. |
(1.119) |
2 |
2 |
|
Приложив к отрицательно заряженной обкладке внешнюю
силу F, равную по величине Рэ, отодвинем бесконечно медлен
но эту обкладку на элементарное расстояние <И так, как показа но на рис. 1.56. Поскольку заряд q обкладок не меняется, то со-
гласно (1Л17) и (1.119), модуль силы F3 и равный ей модуль си лы F остаются во время перемещения постоянными. Элемен-
тарная работа 8А, совершаемая при этом, пойдет на увеличение энергии W заряженного конденсатора:
dW = SA = F-df = |
= |
dV |
(1.120) |
2 |
|
2 |
|
Из выражение (1.120) следует, что прирост энергии dW однородного и электрического поля плоского конденсатора (рис. 1.56), происходит только за счет увеличения объема dV, занято го полем.
Найдя отношение энергии dW к объему поля dV, в кото ром она заключена, получим удельную величину, называемую объемной плотностью энергии:
(1.121)
Учитывая, что в общем случае электрическое поле может быть неоднородным можно сказать, что численно плотность ю рав на энергии поля, приходящейся на единицу объема вблизи той точки, в которой эта плотность определяется.
Единицей оа в СИ является |
. |
м
С помощью плотности энергии со можно детально описывать распределение энергии поля в объеме, занятом им.
Из (1.120) и (1.121) вытекает, что объемная плотность энергии однородного поля с величиной напряженности Е, соз данного в среде с диэлектрической проницаемостью 8, во всех точках одинакова и равна
(1.122)
Выражение (1.122), хотя и получено при рассмотрении частного случая однородного поля, верно также и для неоднородного но ля.
Зная плотность энергии ю в каждой точке, можно вычис литьэнергию поля, заключенного в объеме V, по формуле
(1.123)
Применяя формулу (1.123), вычислим энергию W заря женного конденсатора и выразим ее через емкость С, напряже ниеU и заряд q на нем. Для простоты опять рассмотрим плоский
конденсатор, однородное поле которого с напряженностью Е, занимает объем V=Sd между обкладками (рис. 1.49):
г PF 2 |
E 0E S |
E2d2 CU |
(1.124) |
W = o)-V = -5------ Sd = |
Из выражения (1.124), используя соотношение (1.103), получим дведругие формулы для энергии конденсатора:
(1.125)
Эти формулы справедливы не только для плоского, но и для лю бого конденсатора. Применение той или иной из них определя етсяусловием и удобством решения задачи.
Глава 2. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
2.1. Электрический ток
Электрическим током называется упорядоченное (на правленное) движение электрических зарядов. В этом случае заряды называются носителями тока. Мы ограничимся лишь рассмотрением тока в проводнике, который называют током проводимости. В проводнике под действием приложенного
электрического поля с напряженностью Ё положительные но сители тока перемещаются в направлении поля, а отрицатель ные - в противоположную сторону. Скорость упорядоченного движения носителей тока при этом будем обозначать буквой и (рис. 2.1). За направление электрического тока принимается на правление упорядоченного движения положительных носите лей.
I
-------------- ►
Рис. 2.1. Ток проводимости, обусловленный упорядоченным движением положительных и отрицательных свободных зарядов в проводнике
Рис. 2.2. Линии тока в проводнике, площадь поперечного сечения S которого увеличивается слева направо
Количественной характеристикой электрического тока служит скалярная величина, называемая силой тока I, равная заряду, переносимому носителями через поперечное сечение S проводника в единицу времени:
(2.1)
где dq - заряд, переносимый носителями тока через поперечные сечение S проводника за время dt (рис. 2.1).
Ток, не изменяющийся со временем ни по величине, ни по направлению называется постоянным. Для постоянного тока:
1 = ^ |
(2.2) |
V |
|
где q - заряд, проходящий через поперечное сечение S провод никаза время t.
В СИ единица силы тока ампер (А) является основной. Ее определение будет дано позже. На основании (2.1) через ампер определяется единица заряда кулон, являющаяся производной единицей:
1Кл = 1А • 1с.
Электрический ток может быть распределен неравномерно попоперечному сечению S проводника, по которому он течет. В этом случае детально ток характеризуют с помощью вектора
плотности тока j . Модуль вектора j равен
dl
(2.3)
dSj_ ’
где dl - сила тока через расположенную в данной точке площад ку dS±, перпендикулярную направлению движения носителей. Численно плотность тока j равна силе тока через единицу площадки (поверхности), перпендикулярную направлению движения носителей. За направление вектора j принимает ся направление скорости и+ упорядоченного движения по ложительных носителей тока. В СИ плотность тока измеряет
ся В- у .
M
Поле вектора плотности тока j изображается графически с помощью линий тока, которые строятся так же, как линии на пряженности Ё . На рис. 2.2 изображены линии тока в провод нике, площадь поперечного сечения S которого плавно увеличи
вается слева направо. Величина плотности тока при этом уменьшается (ji>j2>j3)-
Сила тока I через произвольную поверхность S находится как поток вектора j через нее
1 = J j n -ds| , |
(2.4) |
S |
|
где jnпроекция вектора j на нормаль п к поверхности.
Если линии тока перпендикулярны поперечному сечению S
проводника и плотность тока j |
во всех точках этого сечения |
одинакова, то выражение (2.4) принимает простой вид |
|
I = jS . |
(2.5) |
2.2. Закон Ома в дифференциальной форме
Закон Ома является одним из важнейших, хотя и не фун даментальных, законов электродинамики. В интегральной фор ме он был экспериментально открыт для металлических провод ников немецким физиком Г.Омом в 1826 году. Установим этот закон в дифференциальной форме, исходя из простых модель ных представлений.
Рассмотрим металлический проводник, в котором носите лями тока являются электроны с зарядом -е и массой т . Проана лизируем сначала движение отдельного электрона. Под дейст-
вием кулоновской силы Fk = -еЕ , действующей со стороны по
ля с напряженностью Е электрон движется со скоростью и
прошв вектора Ё (рис. 2.3).
Рис. 2.3. Движение носителя тока -
электрона в металлическом
проводнике
При своем движении электрон взаимодействует с другими электронами и ионами кри сталлической решетки. Это взаимодействие обуславливает сопротивление движению электрона, Опыт показывает, что это явление можно учесть,