книги / Физические основы электромагнитных процессов в технических средствах автоматизации
..pdfрассматривая движение электрона в среде, в которой на него
действует сила сопротивления Fc, пропорциональная скорости
и:
Fc = - а й , |
(2.6) |
гдеа - коэффициент пропорциональности.
Следовательно, согласно второму закону Ньютона, уравнение движения электрона имеет вид
та = -еЁ - ай. |
(2.7) |
С увеличением скорости |
упорядоченного движения электрона |
сила Fc быстро растет, что приводит к установлению равновесия
между силами Fk и Fc. Ускорение электрона становится равным
а= 0, а уравнение (2.7) принимает вид
- е Ё - а й = 0. |
(2.8) |
Из уравнения (2.8) вытекает пропорциональность между скоро стью упорядоченного движения электрона и напряженностью поля_______
51 |
(2.9) |
а = -*В |
|
где %= — - коэффициент |
пропорциональности, называемый |
а |
|
подвижностью электрона. |
|
Численно подвижность носителя тока (электрона) равна
скорости его упорядоченного движения в электрическом по- g
лес напряженностью, равной единице Е = 1—. В СИ подвиж-
м
м
ность носителей тока %измеряется в
В с
Найдем теперь связь плотности тока j со скоростью упо
рядоченного движения электронов й . Обозначим через п кон центрацию электронов, т.е. число электронов в единице объема металлического проводника. Тогда через поперечное сечение проводника S (рис. 2Л) за время dt переносится заряд dq, заклю ченный в объеме dV = S • и • d t:
dq = e-n-S-u*dt.
Отсюда получаются выражения для силы тока |
|
I = — = e-n-S-u. |
|
dt |
|
и для плотности тока |
|
j = — = e-n-u. |
(2.10) |
S |
|
Переписав (2.10) в векторном виде, получим искомую связь плотности тока со скоростью упорядоченного движения элек тронов_______
j = - e - n - u |
(2.11) |
Подставив (2.9) в (2.11) установим связь плотности токае напряженностью поля в металлическом проводнике:
j = е-п*х*Е. |
(2.12) |
Коэффициент пропорциональности между j и Е |
в формуле |
(2.12) называется удельной электрической проводимостью о металла и определяется его свойствами:
(2.13)
Удельная электропроводность в СИ измеряется в сименсах на метр ^— J .(Э. Сименс - немецкий физик и электротехник).
Таким образом, выражение (2.12) с учетом (2.13) молено запи сать так:
j = a E |
|
(2Л4) |
Формула (2.14) выражает закон Ома в |
дифференциаль |
|
ной (локальной) форме: плотность тока |
j |
в произвольной |
точке проводника пропорциональна напряженности Ё пола в этой точке. Так как закон сформулирован для точки, а не дДО участка проводника, то он называется локальным или диффе' ренциальным, хотя никаких дифференциалов или производя#* не содержит. Закон Ома справедлив не только для металлов, и° и для некоторых других изотропных проводников.
2.3. Закон Ома в интегральной форме
Выведем закон Ома в интегральной форме для участка це пи, состоящего из проводников различного сечения, изготов ленныхиз разных материалов (рис. 2.4).
Ф2
Ф1
медь |
нихром |
алюминии |
|
- А __ |
_ |
^А__________
Рис. 2.4. Участок цепи, состоящий из различных проводников
Пусть по цепи идет постоянный ток I. Очевидно, что по стоянный ток создается постоянным во времени электрическим полем в проводнике (рис. 2.1). Опыт показывает, что электри ческое поле постоянного тока является потенциальным так же, как электростатическое поле. Поэтому каждому сечению проводника в цепи можно приписать определенный потенциал.
При выводе закона Ома в интегральной форме будем ис ходить из его дифференциальной формы (2.14). Запишем эту формулу для произвольной точки рассматриваемого проводника
j = cyg. |
(2.15) |
»■*»
Умножим скалярно обе части равенства (2.15) на вектор d l, численно равный элементу dl длины проводника и направлен-
|
«о* |
|
ный в ту же сторону, что и вектор j : |
|
|
j- dl |
= a - E * d l . |
(2.16) |
Учитывая, что ] • d l - j - d l , перепишем (2.16) в виде |
|
|
HI |
- - |
|
j — == Е - d l , <т
или с учетом (2.5)
где l - длина проводника. Величина
G |
(2.23) |
R
называется электрической проводимостью проводника. Единицейпроводимости в СИ является сименс (См).
Подставляя (2.19) и (2.20) в (2.18) получаем
(2.24)
Формула (2.24) выражает закон Ома для участка цепи, не содержащего э.д.с.: сила тока в проводнике пропорцио нальна напряжению на нем.
2.4. Закон Ома для замкнутой цепи. Электродвижущая сила
Приложим к проводнику разность потенциалов <pi-q>25под ключив к нему заряженный конденсатор С (рис. 2.5).
|
I |
|
|
. . -------- ► |
— |
} |
|
F |
F |
К |
|
Ас |
гк |
|
|
Е
с
Рис. 2.5. Движение положительного |
Рис. 2.6. Движение положительного |
носителя тока в проводнике, |
носителя тока в замкнутой цепи, |
подсоединенного к заряженному |
состоящей из проводника и |
конденсатору С |
источника постоянного тока |
По проводнику пойдет ток I и конденсатор начнет быстро разряжатъся. Ток прекратится, как только разность потенциалов станет равной нулю <pi-<p2=0.
Для удобства рассуждений будем считать, что ток I обу словлен упорядоченным движением положительных зарядов.
Для того, чтобы ток I в проводнике оставался постоянным нужно, чтобы разность потенциалов ф1-ф2 на его концах не и менялась. Этого можно достичь, возвращая положительные за-' ряды с электрода 2 на электрод 1 по пути 2-3-1 (рис. 2.6). То есть в цепи должен существовать круговорот зарядов - носителе! тока. Для этого цепь должна быть замкнутой, причем на участке 2-3-1 носители тока должны двигаться против электрического поля. Двигаться против поля носитель может только под дейст вием силы неэлектростатического происхождения, направленной против кулоновской силы Fk. Такая сила неэлектростатического происхождения называется сторонней силой. Ис-| точник тока представляет собой устройство, в котором на до, сители тока действуют сторонние силы.
Сторонние силы в разных источниках тока возникают и -за разных причин. В химических источниках они обусловлены хв мическими реакциями на границе соприкосновения электродов( электролитом. В электромагнитном генераторе они создают^ электрическими полями, порожденными переменными магнит ными полями. В фотоэлементе они возникают в результате дей ствия света.
Сначала установим закон Ома в дифференциальной форм^ для участка цепи, на котором на носитель тока кроме кулонов*
ской силы Fk и силы сопротивления Fc действует еще и сторон
няя сила Fpjop. Для этого по аналогии с (2.8) запишем уравнен^ I равномерного движения для отдельного носителя тока с заряд''
+q:
F t+ F c + F c o ^ O - |
(2-25) |
9t
Стороннюю силу F ^ p , действующую на заряд q, можно пред ставить в виде
crop |
9Ё< |
(2.26) |
crop * |
|
где Ё^р - напряженность поля сторонних сил. Тогда уравнение (2.25) принимает вид
qE - аи + qECIop = 0 ,
откуда находим связь скорости й упорядоченного движения но сителя тока с напряженностью результирующего поля Ё + :
й = х(^ + ^стор)» |
(2.27) |
q где х = — ■
а
Подставляя выражение (2.27) в (2.11) и учитывая, что в нашем случае носитель тока положительный, получаем
j = q(E + ECTOp) |
(2.28) |
Формула (2.28) выражает обобщенный закон Ома в диф ференциальной (локальной) форме для участка цепи, на ко тором на носители тока кроме кулоновских сил действуют сторонние силы.
Умножим скалярно обе части равенства (2.28) на вектор
dl, направленный в ту же сторону, что и вектор j : |
|
|
j *dl = 0 (6 • d l + Ёсгор • dT) |
(2.29) |
|
Перепишем (2.29) с учетом (2.5): |
|
|
dl |
• d l . |
(2.30) |
I — = Ё • dl + |
||
CTS
Интегрируя (2.30) по замкнутой цепи и учитывая, что сила тока I во всех ее сечениях одинаковая, получим
i < f ^ = ^ . d I + ^ OTp-dT. |
(2.31) |
На основании теоремы о циркуляции вектора Ё потенци ального поля (1.20) можно записать
<§Ъ• dT= 0. |
(2.32) |
Интеграл |
|
* 4 = Rno™ |
<12-33) |
ста |
|
называется полным сопротивлением замкнутой цепи. Обычно полное сопротивление записывают в виде суммы
Rnojrn R + r> |
(2.34) |
где г - внутреннее сопротивление источника тока, R - |
сопротив |
ление внешнего участка цепи. |
|
Интеграл___________________ |
|
-<Н = 4Еиор dl-cos<x = s |
(2.35) |
называется электродвижущей силой (э.д.с.), действующей в замкнутой цепи. Электродвижущая сила 8 численно равна работе, совершаемой сторонними силами по перемещению единичного положительного заряда по замкнутой цепи. Если эта работа совершается только внутри источника тока, то в на зывают э.д.с. источника тока и интегрирование производят только по участку цепи внутри него, так как вне источника тока
= 0 :
1 _
Р^стор^ ~ ^ист
2
В СИ э.д.с. 8 измеряется в тех же единицах, что и разность потенциалов - в вольтах (В).
Схематическое изображение источника тока с э.д.с. е 0 внутренним сопротивлением г, который входит в замкнутую цепь, показано рис. 2.7.
Переписывая уравнение (2.31) с учетом (2.33), (2.35) 0 (2.34), окончательно получим
|
(2.36) |
(2.36) |
выражает закон Ома дл |
цепи: сила тока в цепи равна отношению электродвижущей
Умножим скалярно обе части равенства (2.37) на вектор d l, на
правленный одинаково с вектором j :
j • dl = с(Ё • d l + Ё ^р • d l ) . |
(2.38) |
Перепишем (2.38) с учетом (2.5):
(2.39)
oS
Интегрируя (2.39) по длине участка и учитывая, что сила тока I во всех сечениях одинаковая, получим
(2.40)
Рассмотрим физический смысл всех членов уравнения (2.40):
интеграл
|
(2-41) |
представляет собой сопротивление участка; |
|
интеграл |
|
2 |
|
/Ё - dT= ч>! —q>2 |
(2.42) |
равен разности потенциалов на концах участка; интеграл
2
(2.43)
1 называется электродвижущей силой, действующей на участке
(э.д.с. источника тока, включенного в участок).
Переписывая уравнение (2.40) с учетом (2.41), (2.42) и (2.43), получим
IR = (p,-(p2 + 6i2 |
(2.44) |
или
j _ 9 l ~ Ф 2 + g 12 |
(2.45) |
|
R |
||
|