книги / Физические основы электромагнитных процессов в технических средствах автоматизации

Рис. 2.10. Схема простейшей разветвленной цепи

Первое правило Кирхгофа относится к узлу разветвлен­ ной цепи. Под узлом понимают точку цепи, в которой сходятся не менее трех проводников с током (точки А, В, С на рис. 2.9). При этом ток, входящий в узел, считается положительным, а ток, выходящий из узла - отрицательным.

В случае постоянного тока ни в одной точке цепи не долж­ ны накапливаться электрические заряды, иначе токи не будут оставаться постоянными. Следовательно, величина заряда, вте­ кающего в узел в единицу времени должна быть равна заряду, выходящему из узла за тот же промежуток времени. Например,

В общем случае для любого узла цепи записывают так

(2.48)

Уравнение (2.48) выражает первое правило Кирхгоф# алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна ну­ лю.

Второе правило Кирхгофа получается из закона Ома яР участка цепи, содержащего э.д.с., (2.45) и относится к любому выделенному в разветвленной цепи замкнутому контуру. Рас*

смотрим такой контур на рис. 2.9. Произвольно выбираем на­ правление обхода этого контура, например по часовой стрелке. Всетоки, совпадающие по направлению с направлением обхода контура, считаются положительными, не совпадающие - отри­ цательными. Э.д.с. считается положительной, если при обходе контура источник тока проходится от минуса к плюсу. Если ис­ точник проходится от плюса к минусу, то э.д.с. считается отри­ цательной. Применяя к участкам контура закон Ома (2.44), за­ пишем:

IiRj ~ Фд ~Фв +si>

' “ I2R2 = Фв “ Фс ” S2 >

I3R3 = Ф с ~ Ф а “ 8з*

Складывая почленно эти уравнения, получим

Уравнение (2.49) выражает второе правило Кирхгофа: в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в раз­ ветвленной цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов Ij в отдельных участках контура на их сопротивления Rj равна алгебраической сумме э.д.с. % действующих в этом контуре.

Составление системы уравнений. Уравнений (2.48) и (2.49) для конкретной цепи надо составлять столько, чтобы их число было равно числу искомых величин. При этом надо сле­ дить, чтобы одни уравнения не являлись следствием других:

1) если в цепи имеется N узлов, то независимых урав­ нений (2.48) можно составить лишь для N-1 узлов;

2) если в разветвленной цепи можно выделить несколь­ козамкнутых контуров, то независимые уравнения (2.49) можно составить лишь для тех контуров, которые не получаются в ре­ зультате наложения уже рассмотренных. Например, для цепи,

изображенной на рис. 2.10, можно составить 1 независимое уравнение типа (2.48) и 2 независимых уравнения типа (2.49).

При составлении уравнений (2.48) и (2.49) необходимо придерживаться следующих правил:

1) Обозначить стремами предположительные направ­ ления токов. Если в результате вычислений искомый ток ока­ жется положительным, то это значит, что его направление вы­ брано правильно. Если вычисленный ток окажется отрицатель­ ным, то его истинное направление противоположно выбранно­ му.

2) Выбрав контур, все его участки обходят в одном на­ правлении. Если предположительное направление тока совпада­ ет с выбранным направлением обхода, то произведение I • R в уравнении (2.49) берется со знаком плюс, если не совпадает, то со знаком минус. Если э.д.с. при обходе проходится от минуса к плюсу, то она берется со знаком плюс, если наоборот, то со зна­ ком минус.

Проиллюстрируем приведенные правила составления уравнений на примере цепи, изображенной на рис. 2.10. Все э.д.с. и сопротивления этой цепи известны, требуется найти токи Ii, Ь и 1з во всех трех ее участках. Для нахождения трех неиз­ вестных токов составим три независимых уравнения типа (2.48)

и(2.49):

1)Произвольно обозначаемстремами предположи­ тельные направления токов Ii, I2 и I3.

2)Так как цепь содержит два узла, то составляем только 1 независимое уравнение типа (2.48), например для узла D:

3) В цепи можно выделить 3 контура: ABCD; ADEF и BCEF. Так как последний контур получается путем наложения первых двух, то можно составить только 2 независимых уравнения типа (2.49). Составим их для контуров ABCD и ADEF, вы­ брав направление обхода каждого контура по часовой стреме:

Таким образом, мы получили систему из трех независимых уравнений с тремя неизвестными 1ь h и I3. Решая эту систему будем следить за знаками полученных токов. Если они положи­ тельные, то направление токов выбраны нами верно, если они Отрицательные, то предположительно выбранные направления надо изменить на обратные.

2.7. Работа и мощность тока. Закон Джоуля - Ленца

Рассмотрим проводник в цепи постоянного тока I, к кото­ ромуприложено напряжение U (рис. 2.11,а).

Рис. 2.11. Проводник в цепи постоянного тока:

а) верь рассматриваемый проводник;

б) элементарный цилиндрический объем dV, выделенный в окрестности

рассматриваемой точки В проводника

За время t через каждое сечение проводника переносится заряд q=It. Это равносильно переносу заряда q из одного конца про­ водника в другой. При этом кулоновские силы совершают рабо­ ту

Принимая сопротивление проводника равным R и исполь­ зуя закон Ома, из выражения (2.53) получим две другие форму­

Применение той или другой из этих формул определяется уело* вием и удобством решения задачи.

Разделив работу А на время t, за которое она совершается, найдем соответственно три формулы для мощности, развивае­ мой током в рассматриваемом проводнике:

(2.55)

Эта мощность может расходоваться на нагревание проводника, на протекание в нем химических реакций и на совершение рас­ сматриваемым проводником работы над внешними телами. В последнем случае проводник должен перемещаться в простран­ стве, что имеет место, например, в электродвигателях.

Если проводник неподвижен и химических реакций в нем не происходит, то работа тока (2.54) идет только на уве­ личение внутренней энергии проводника, в результате чего он нагревается. В этом случае принято говорить, что при проте­ кании тока по проводнику в нем выделяется теплота

Соотношение (2.57) было впервые обнаружено экспери­ ментально английским физиком Дж.Джоулем и, независимо от него, российским физиком Э.Ленцем и носит название закова Джоуля-Ленца.

От формулы (2.57), выражающей закон Джоуля - Ленца в интегральной форме для всего проводника, перейдем к диффе­ ренциальной (локальной) форме этого закона, характеризующей выделение тепла в различных точках проводника. Для этого выделим в проводнике в окрестности некоторой точки В элемен­ тарный цилиндрический объем dV = dl • dS, ось которого совпа­ дает с направлением вектора плотности тока j в данной точке

(рис. 2.11, а, б). Удельное сопротивление р и плотность тока j в пределах этого элементарного цилиндра будем считать неиз­

м енны м и. Обозначим сопротивление элементарного цилиндра

через R„ = р — , а силу тока через него 1Ц= j-dS (рис. 2.11,6). dS

Завремя dt в объеме цилиндра dV выделится теплота:

dQ = I„R„dt = (j • dS)2 'P~"dt = p -j2 - dV-dt. (2.58) db

Разделив (2.58) на dV и dt, найдем количество теплоты, выде­ ляющееся в единице объема проводника в единицу времени, ко­ тороеназывается удельной тепловой мощностью тока:

Используя дифференциальную форму закона Ома j = аЕ и со­

Формулы (2.60) выражают закон Джоуля - Ленца в диф­ ференциальной форме.

2.8. Квазистационарные токи

Закон Ома, установленный для постоянного тока, оказыва­ ется справедливым и для изменяющегося тока, если он меняется не очень быстро. Опыт показывает, что электромагнитные воз­ мущения распространяются по цепи со скоростью, близкой к скорости света с. Время, необходимое для передачи возмущения всамую отдаленную точку цепи длиной £, составляет величину

порядка т = —. Если за время т сила тока меняется незначи-

с

тельно, то мгновенные значения силы тока во всех сечениях цепи будут практически одинаковыми. Токи, удовлетворяю­ щие такому условию, называются квазистационарными.

Для периодически изменяющихся токов условие квазистаЦионарности имеет вид

где I - мгновенное значение силы тока в цепи, U - мгновенное значение напряжения на конденсаторе.

Кроме этого закона воспользуемся ранее установленными соот­ ношениями:

где q - мгновенное значение заряда на положительно заряжен­ ной обкладке конденсатора,

В формулу (2.63) входит знак минус, так как указанное на рис. 2.12,а положительное направления тока соответствует уменьше­

Уравнение (2.64) является линейным однородным диффе­ ренциальным уравнением первого порядка. Разделяя перемен­ ныеи интегрируя, найдем общее решение этого уравнения:

Постоянная интегрирования А находится из начальных условий: при Н ) напряжение на конденсаторе равно Uo. В этом случае A=IJQ. Окончательно зависимость напряжения на конденсаторе

Зависимость (2.66) показывает, что после замыкания про­ водником обкладок заряженного конденсатора напряжение на нем не исчезает мгновенно, а убывает постепенно по экспонен­ циальному закону.

График зависимости U(t) приведен на рис. 2.12,6. Скорость убывания напряжения определяется величиной