книги / Физические основы электромагнитных процессов в технических средствах автоматизации
..pdfПотенциал ф электростатического поля есть физическая ве личина, численно равная потенциальной энергии, которой обладает точечный единичный положительный заряд, по мещенный в данную точку поля. Это утверждение можно рас сматривать в качестве одного из определений потенциала..
Единицей потенциала в СИ является вольт (В):
rn -S fe .
1Кл На основании (1.22) и (1.23) можно записать формулу для
работы, совершаемой силами электростатического поля по пе ремещению точечного заряда q из точки поля с потенциалом (pi
в точку с потенциалом ф2‘ |
(1.24) |
А = g(tpi - ф2) |
Из выражения (1.24) вытекает физический смысл разности потенциалов:
разность потенциалов Ф1-Ф2 между двумя точками электро статического поля численно равна работе, которую совер шают силы поля по перемещению точечного единичного по ложительного заряда из одной точки в другую.
На основании (1.16), (1.18) и (1.24) можно записать
2
q(<Pi ~Ф2)= JqEdlcosa,
или
2 |
(1.25) |
Ф, -ф 2 = jEdlcosa . |
|
1 |
|
где a - угол между вектором Ё и вектором d l.
Формула (1.25) устанавливает связь разности потенциалов ф1-ф2 между двумя точками электростатического поля с напряженно
стью Ё этого поля. Соотношение (1.25) справедливо не только для конечных перемещений, но и для бесконечно малых d l . Ес-
ли точки 1 и 2 расположены бесконечно близко друг к другу, то приращение потенциала будет равно его дифференциалу со зна ком минус, а в правой части (1.25) останется лишь подинте гральное выражение:
-d<p = E dlcosa. (1.26) Потенциал, как и потенциальная энергия, определяется с
точностью до произвольной постоянной С. В теории эту посто янную выбирают так, чтобы потенциал точки был равен нулю при бесконечном удалении ее от заряда, создающего поле (q>oo=0). Это означает, что С=0.
Следовательно,
СО- |
|
|E dlcosa = cp1—фад =cpj. |
(1.27) |
1
Выражение (1.27) позволяет дать еще одно определение потен циала, чаще используемое при решении задач: потенциал ф электростатического поля численно равен работе, которую совершает поле над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки на бесконечность.
1.9. Потенциал электростатического поля точечного заряда
Найдем потенциал ф электростатического поля точечного заряда +q в точке А, положение который относительно заряда задается радиус-вектором ? (рис. 1.13).
Рис. 1.13. Перемещение единичного положительного пробного заряда из
точки А на бесконечность
Для этого на основании (1.27) вычислим работу по пере мещению единичного положительного заряда из этой точки на бесконечность по наиболее удобному направлению г, совпа
дающему с направлением вектора Ё :
оо |
Я |
. 1 я |
|
|
Ф= jEdr |
(1.28) |
|||
4718о г Г |
4 TCS0 г |
|||
|
|
Таким образом, потенциал поля точечного заряда равен (1.29)
Знак потенциала <р в (1.29) определяется знаком заряда q.
1.10. Суперпозиция потенциалов
Рассмотрим электростатическое поле, созданное системой неподвижных точечных зарядов (рис. 1.14).
Рис. 1.14. Электростатическое поле системы точечных зарядов
Согласно принципу суперпозиции в любой точке поля, например, в точке А результирующая напряженность Е равна
Е = Ej + Е2 + Е3+... + Еп.
Умножив скалярно обе части этого равенства на вектор элемен-
тарного перемещения d l, получаем: |
|
E-dI = Er dl+E2-dl+E3-dI + ... |
+ Endl. |
Тогда на основании (1.26) можно записать |
|
—dq> = —d<pt —dq>2—d<p3—... —d<pn, |
|
ИЛИ |
|
dtp = d((p1+q>2+ (p3+...+cpn). |
(1.30) |
Из формулы (1.30) вытекает, что |
|
ф = ф 1 + ф 2 + ф з + . . . + фп , |
|
или |
|
П |
(1.31) |
q > = 2 > i |
|
i=l |
|
Выражение (1.31) означает, что принцип суперпозиции оказы вается справедливым и для потенциала: потенциал электроста тического поля, созданного системой точечных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов полей, созданных каждым зарядом в отдельности.
Формула для потенциала поля точечного заряда (1.29) и принцип суперпозиции (1.31) позволяют вычислить потенциал поля любого неточечного заряженного тела, например, тонкого стержня в точке А (рис. 1.5). Разбивая стержень на элементар ные отрезки dl с зарядом dq получают систему точечных зарядов (dl « г). В этом случае потенциал dф поля каждого такого заря да согласно (1.29) находится по формуле
1 dq
4л£0 г
а потенциал ф поля всего стержня согласно принципу суперпо зиции - по формуле
Ф = J&p.
L
Эквипотенциальной называется поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал. С помощью этих по верхностей можно графически изображать электростатические поля.
Выясним, как ориентированы эквипотенциальные поверх ности по отношению к линиям напряженности, с помощью ко торых также графически изображаются электростатические по ля. Для этого воспользуемся связью (1.26) разности потенциалов dtp между двумя точками одной эквипотенциальной поверхно сти, находящихся на расстоянии dl друг от друга, с напряженно
стью Е в этом месте:
d<p = |
-Е dl cosa =0. |
|
Равенство |
Edlcosa=0 будет выполняться только в том случае, |
|
когда угол а между вектором |
Е и эквипотенциальной поверх |
|
ностью будет прямым a = — |
. Следовательно, вектор Ё все- |
|
2J
гда нормален к эквипотенциальным поверхностям, а линии напряженности всегда перпендикулярны к ним. Именно так проведены эквипотенциальные поверхности электростатическо го поля точечного заряда (рис. 1.15).
Рис. 1.15. Эквипотенциальные поверхности электростатического поля
точечного заряда
в сторону возрастания потенциала ф, т.е. противоположно век тору Ё . Перепишем выражение (1.26) для случая элементарного
перемещения dn |
вдоль линии напряженности в направлении |
вектора п , учитывая, что при этом d(p>0, a cos а = - 1: |
|
d<p = -E-dn, |
(1.32) |
Из (1.32) вытекает |
|
dq>
(1.33)
Еd n ’
или в векторном виде
(1.34)
Вектор — п называется градиентом потенциала <р, поэтому вы
ражение (1.34) обычно записывается в виде
Е = - grad ф (1.35) Градиент потенциала ф(х,у,г) есть вектор, направлен
ный в сторону максимально быстрого возрастания потен циала. Это направление указывается единичным вектором п.
Модуль градиента — показывает быстроту изменения потенdn
циала в этом направлении.
Знак минус в (1.34) и (1.35) говорит о том, что вектор Ё и вектор grad© направлены в противоположные стороны: вектор Ё - в сторону максимально быстрого убывания потенциала ф вдоль силовой линии, а вектор gradф - в сторону максимально быстрого увеличения потенциала (рис. 1.16).
Правую часть формулы (1.35) можно записать через составляющие вектора grad©:
(1.36)
где
Е . = |
<5ф |
Е = - ^ ‘ |
Эф |
|
|
|
|
э х 9 |
Е , = |
|
|
|
|||
|
у |
ду ’ |
дъ |
|
|
|
|
|
ч — |
|
|
|
|
|
|
|
щ— |
|
|
|
На |
рис. |
1.17 |
|
* |
|
|
изображено однород |
|||
|
|
|
|
ное |
электростатиче |
||
-q |
л |
|
|
ское поле, |
образован |
||
|
+q |
ное однородно и раз |
|||||
|
|
||||||
|
* |
|
|
ноименно |
заряжен |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
ными плоскостями, во |
|||
|
а |
|
|
всех |
точках которого |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d------------ |
|
|
напряженность |
Е |
||
|
|
|
одинакова. |
|
|
||
|
фз ф2 ф! |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 1.17. Однородное электростатическое |
|
|
|
||||
|
|
поле |
|
|
|
|
|
Для однородного поля связь (1.33) записывается проще: |
|
||||||
е = _ ^ = _ ф1 - ф, = ф1- ф1 |
|
(137) |
|
||||
|
Ап |
Ап |
|
Ап |
|
|
|
Формула (1.37) показывает, что модуль вектора напряженности
Ё равен падению потенциала фз - ф2 на единицу длины вдоль
линии напряженности. Это выражение делает понятной назва- g
ние единицы напряженности в СИ — .
м
1.13.Проводники в электростатическом поле
Впроводниках заряды могут перемещаться под действием сколь угодно слабого электрического поля. Такие заряды назы ваются Свободными. В металлах роль этих зарядов выполняют электроны проводимости, а в электролитах - положительные 0 отрицательные ионы.
(Имея в виду последующие темы, в которых рассматрива ются диэлектрики, следует сразу же заметить, что под свобод ными там понимаются заряды, нанесенные извне на поверх ность диэлектриков или внесенные внутрь них и нарушающие их электрическую нейтральность).
Опыт показывает, что если незаряженный проводник вне сти во внешнее электростатическое поле, то под действием сил поля внутри проводника очень быстро происходит перераспре деление зарядов, которое приводит к их равновесию (рис. 1.18). Это явление называется электростатической индукцией.
Рис. 1.18. Незаряженный проводник помещен во внешнее однородное
электростатическое п оле. В результате этого поле искажается
Перемещение зарядов (электрический ток) внутри провод ника будет продолжаться до тех пор, пока не установится такое их равновесное распределение, при котором напряженность по ля во всех точках внутри проводника будет равна нулю Ёцнухр = О (условие отсутствия перемещения зарядов в объеме
проводника) и тангенциальная составляющая вектора напря женности на поверхности проводника тоже будет равна нулю
—»
Ет = 0 (условие отсутствия перемещения зарядов по поверхно сти проводника). Равенство Ет = О означает, что вектор напря женности на внешней поверхности проводника направлен по нормали к ней в каждой её точке: Ё = Ёп
Следовательно, в электростатическом поле поверхность проводника представляет собой эквипотенциальную по
верхность (Ё т = 0 ), а весь проводник - эквипотенциальный
объем (Ё вну1р = 0 ).
Эти же условия равновесия зарядов выполняются и в слу чае, когда проводник заряжается каким-либо образом, например, путем его соприкосновения с другим заряженным телом (рис. 1.19).
Рис. 1.19. Электростатическое поле заряженного проводника
В состоянии равновесия заряд внутри проводника будет отсутствовать. Если бы внутри проводника находился объемный заряд, то он создал бы вокруг себя электрическое поле, в то вре мя как поле внутри проводника должно отсутствовать. Поэтому в проводнике, находящемся в электростатическом поле, за ряды располагаются только на его поверхности (рис. 1.18 и 1.19).
Так как внутри проводника, находящегося во внешнем электростатическом поле, зарядов нет, то создание внутри него полости никак не скажется на распределении индуцированных на его поверхности зарядов (рис. 1.18). Следовательно, напря женность поля как в самом проводнике, так и в полости будет по прежнему равна нулю. Измерительные приборы, помещенные в такую полость, будет экранированы от влияния внешних элек тростатических полей. Обычно проводящую оболочку заземля