книги / Физические основы электромагнитных процессов в технических средствах автоматизации

При оценке распределения электронов по энергетическим уровням следует также учитывать, что система электронов стремится занять состояние с минимальной в данных условиях энергией. Поэтому заполнение электронами энергетических уровней начинается снизу: сначала заполняются уровни с наи­ меньшими значениями энергии. В основном (невозбужденном) состоянии атома верхние разрешенные уровни остаются неза­ полненными (рис. 3.4). На эти уровни переходят электроны при сообщении им энергии, т.е. при возбуждении атома.

По мере сближения отдельных атомов между ними возни­ кает взаимодействие, в результате которого их одинаковые энергетические уровни несколько смещаются друг относительно друга, образуя энергетические зоны из близко расположенных уровней.

Рассмотрим подробное возникновение этих зон в вообра­ жаемом процессе формирования кристалла из отдельных атомов при их сближении. Схема этого процесса изображена на рис. 3.5.

Рис. 3.5. Схсма^образования энергетических зон^ кристалле (а) из энергетик ческих уровней атомов (в) при их сближении в процессе формирования кри­ сталла (б)

Е - энергия электрона; г - расстояние между атомами в процессе их сближения; d - расстояние между атомами в кристаллической решетке

Пусть, например, кристалл образуется из N отдельных одинаковых атомов, условная энергетическая диаграмма каждого из которых изображена на рис. 3.5,в. При этом энергетиче­ ские уровни 2, 3 и 4 принадлежат внешним (валентным) элек­ тронам атома. В основном состоянии атома уровни 2 и 3 запол­ нены электронами, а уровень 4 остается свободным. Уровень 1 принадлежит внутренним электронам, расположенным ближе к ядру атома.

При сближении атомов усиливается взаимодействие их электронных оболочек. При достижении расстояния ri между атомами начинается расщепление уровней валентных электро­ нов: каждый уровень расщепляется на N близко расположенных уровней (рис. 3.5,6). Уровни внутренних электронов атомов на­ чинают расщепляться при значительно меньших расстояниях между атомами (уровень 1 на рис. 3.5,6).

При дальнейшем сближении атомов расщепление энерге­ тических уровней усиливается - происходит образование энер­ гетических зон. При малых расстояниях между атомами может произойти перекрытие зон, получающихся из двух соседних уровней (уровни 2 и 3 на рис. 3.5,6). Число уровней в такой слившейся зоне равно сумме числа уровней, на которые расще­ пляются оба уровня атома. В конце концов при достижении оп­ ределенного расстояния между атомами, соответствующего их равновесному расположению и равного d, формирование кри­ сталла заканчивается.

На рис. 3.5,а изображена энергетическая диаграмма кри­ сталла, имеющего равновесное расстояние между атомами, рав­ ное d. На этой диаграмме видно, что в результате расщепления энергетического уровня 4 отдельного атома в кристалле образу­ ется энергетическая зона 4, называемая разрешенной зоной. В результате расщепления уровней 2 и 3 отдельного атома и пере­ крытия образовавшихся при этом зон, в кристалле появляется разрешенная зона 2-3. Эти зоны разделены промежутками, в ко­ торых разрешенных значений энергии электронов нет. Такие промежутки называются запрещенными зонами. Поскольку в данном кристалле уровень 1 в зону не расщепляется, постольку

в дальнейшем он и подобные ему уровни нас интересовать не будут.

На энергетической диаграмме некоторого кристалла (рис. 3.6) изображены для простоты только две разрешенные зоны. Нижняя зона образовалась из уровня, на котором находились один или два валентных электрона в основном состоянии атома. Эту зону мы будем называть валентной. Верхняя зона образо­ валась из уровня, не занятого валентными электронами в основ­ ном состоянии атома. Эту зону мы будем называть свободной. Междуэтими зонами расположена запрещенная зона с шириной

АЕ.

Рис. 3.6. Энергетические зоны кристалла, образовавшиеся из свободного и

занятого уровней валентных электронов отдельного атома

Оказывается, что ширина разрешенных и запрещенных зон не зависит от размеров кристалла. Ширина разрешенных зон имеетвеличину порядка несколько электронвольт (1эВ=1,6-10'19 Дж). Следовательно густота расположения уровней в зоне зави­ сит от размеров кристалла. В кристалле размером в 1 см3 содер­ житсяпримерно 1022 атомов. При ширине разрешенной зоны в 1 эВ уровни в ней будут располагаться на расстоянии 10'22 эВ друг от друга. Это значение расстояния между энергетическими Уровнями в зоне мы будем использовать в дальнейшем.

дящимся в валентной зоне, дополнительную энергию порядка до'20 эВ. Этой энергии оказывается достаточно для перевода электронов на более высокие свободные уровни. Такие перехо­ ды эквивалентны приобретению ими скорости упорядоченного движения против электрического поля, т.е. возникновению электрического тока. Кристалл с подобной энергетической диа­ граммой представляет собой металл, а валентная зона на ней называется зоной проводимости.

2.Валентная зона при Т=0 К заполнена полностью, а ши­ рина запрещенной зоны АЕ не превышает 2-3 эВ (рис.

Е, эВ

Зона vпрово­ димости

ТХ)К

Рис. 3.8. Энергетические диаграммы полупроводника:

а- при температуре Т=0 К;

б- при температуре Т>0 К

Вэтом случае для увеличения энергии электронов их надо перевести из заполненной валентной зоны на незанятые уровни свободной зоны. Это можно сделать лишь сообщив им энергию,

неменьшую, чем ширина АЕ запрещенной зоны. Электрическое поле сообщить электронам такую энергию не в состоянии. По­ этому дри Т=0 К перевода электронов через запрещенную зону нети полупроводник ведет себя как изолятор (рис. 3.8,а).

При температуре больше нуля энергии теплового движе­ ния оказывается достаточно для того, чтобы перевести часть электронов из валентной зоны в свободную. Электроны, переве­ денные в свободную зону и частично ее заполняющую, будут находиться в условиях, аналогичных тем, в которых находятся электроны валентной зоны в металле (рис. 3.8,6). Поэтому сво­ бодная зона становится зоной проводимости. Вследствие ухода некоторого количества электронов из валентной зоны в ней ос­ вобождается такое же количество мест на верхних уровнях (рис. 3.8,6). В результате в валентной зоне появляется возможность перехода электронов с нижних уровней на освободившиеся мес­ та верхних уровней.

Количественные оценки, однако, показывают, что число электронов, переведенных в свободную зону при комнатной температуре сравнительно невелико. Следовательно, невелики будут концентрация носителей тока п в кристалле и его электро­ проводность о~п. Из-за сравнительно невысокой электропро­ водности такие кристаллы называют полупроводниками.

3.Валентная зона при Т=0 К заполнена полностью, а ши­ рина запрещенной зоны АЁ больше 3 эВ (рис. 3.9).

ловный характер. Четкая граница между ними отсутствует.

Функция распределения электронов по разрешенным энер­ гетическим уровням, учитывающая принцип Паули, была полу­ чена итальянским физиком Э.Ферми и независимо от него анг­ лийским физиком П.Дираком. Она называется функцией распределения Ферми-Дирака и имеет вид:

где W - среднее по времени число электронов на энергетиче­ ском уровне; Б - энергия уровня; F - энергия уровня Ферми; Т- температура кристалла; к - постоянная Больцмана.

Уровнем Ферми называется последний занятый электро­ нами уровень на энергетической диаграмме (рис. 3.10,6). Он со­ ответствует максимальной энергии F, которой может обладать электрон в металле при Т=0 К. Энергию F называют энергией Ферми. Численное значение F для металлов составляет не­ сколько электронвольт. Например, для меди, широко исполь­ зуемой для изготовления проводников, энергия Ферми F=7,l эВ.

Из функции Ферми-Дирака (3.14) следует, что при темпе­ ратуре Т=0 К для значений энергии электронов Е, меньших энергии Ферми F (E<F), число электронов на каждом энергети­ ческом уровне W=2, а для значений энергии, больших энергии Ферми (E>F), число электронов на уровне W=0. График функ­ ции W(E) Ферми-Дирака при Т=0 К приведен на рис. 3.10,а. Для большей наглядности он совмещен с энергетической диаграм­ мой.

С повышением температуры электроны подвергаются теп­ ловому возбуждению и переходят на более высокие энергетиче­ ские уровни. Такие переходы изменяют распределение электро­ нов по уровням, установившееся при Т=0 К. Для того чтобы по­ нять характер этого изменения сравним энергшо, которую полу­ чает электрон при повышении Т, с величиной энергии Ферми F. Средняя энергия, передаваемая электрону при нагревании, име­ ет порядок величины, равный кТ. При температуре Т=1000 К величина кТ равна 0,086 эВ. Для металлов энергия Ферми F со-

ставляет в среднем 5 эВ. Следовательно, для металлических проводников выполняется неравенство

k T « F

в широком диапазоне температур, используемых в технике. Это неравенство показывает, что тепловому возбуждению могут подвергаться липа электроны, расположенные на энергетиче­ ских уровнях в сравнительно узкой полосе шириной кТ, примы­ кающей к уровню Ферми (рис. 3.11,6).

Рис. 3.11. Распределение электронов по уровням зоны проводимости в

металле при Т>0 К:

а- график функции распределения W(E) Ферми-Дирака;

б- энергетическая диа1рамма

Врезультате теплового возбуждения часть электронов с энергией, меньшей энергии Ферми (E<F), переходит на уровни с энергией, большей энергии Ферми (E>F), и устанавливается но­ вое распределение электронов по энергетическим уровням. Гра­ фик такого распределения, построенного по формуле Ферми-

Дирака (3.14), показан на рис. 3.11,а. (Для наглядности график совмещен с энергетической диаграммой.) Ордината W на гра­ фике W(E) характеризует среднюю по времени занятость уров­ ня, имеющего соответствующую энергию Е. Например, ордина-

w 1

та W = — означает, что этот уровень только половину времени

занят одним электроном (или — часть времени - двумя электро- 4

нами), а остальное время пустует. Чем выше температура, тем шире полоса кТ, тем более полого пойдет участок графика W(E) в пределах этой (рис. 3.11,а).

Оценим приближенно число электронов N0, которые в ре­ зультате теплового возбуждения окажутся выше уровня Ферми,

N

Разделив энергию F на число занятых уровней — в зоне прово-

2

димости (рис. 3.10,6) получим среднее расстояние 5Е между со­ седними уровнями:

Затем, разделив ширину полосы кТ на 5Е, найдем число уровней в этой полосе:

кТ

5Е В соответствии с принципом Паули число электронов на этих

уровнях будет равно

2KT = kTN

SE F N ‘

Предположим, что при тепловом возбуждении на уровни, рас­ положенные выше уровня Ферми, переходит в среднем полови­ на всех электронов, расположенных в полосе кТ ниже уровня Ферми. Тогда число NBэлектронов, испытавших тепловое воз­ буждение, равно

1 кТ

N в

2 F