книги / Сборник задач по аналитической геометрии.-1

где р, 0 — полярные координаты произвольной точки линии, р — фо­

кальный параметр (половина фокальной хорды линии, перпендику­ лярной к ее оси), е — эксцентриситет (в случае параболы е = 1). Полярная система координат прн этом выбрана так, что полюс нахо­ дится в фокусе, а полярная ось направлена по оси линии в сторону, противоположную ближайшей к этому фокусу директрисы.

х2 „2 628. Дано уравнение эллипса тцг-Ч- -|^-==1. Соста­

вить его полярное уравнение, считая, что направление полярной оси совпадает с положительным направле­ нием оси абсцисс, а полюс находится:

I)в левом фокусе эллипса; 2) в правом фокусе,

что направление полярной оси совпадает с положитель­

ставить полярное уравнение ее левой ветви, считая, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится:

I)в левом фокусе гиперболы; 2) в правом фокусе.

631. Дано уравнение параболы у2 = 6х. Составить ее полярное уравнение, считая, что направление поляр­ ной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится в фокусе параболы.

632. Определить, какие линии даны следующими

деляет правую ветвь гиперболы, и найти ее полуоси.

01

635. Установить, что уравнение р = __ 9CQ^J опре­

деляет эллипс, и составить полярные уравнения его директрис.

636. Установить, что уравнение р = опре­

деляет правую ветвь гиперболы, и составить полярные

1)с наименьшим полярным радиусом;

2)с полярным радиусом, равным параметру пара­

болы.

X2 Ц2

640. Дано уравнениеэллипса + -р -— 1 • Соста­

вить его полярное уравнение при условии, что направ­ ление полярной оси совпа'дает с положительным на­ правлением оси абсцисс, а полюс находится в центре эллипса.

641. Дано уравнение гиперболы -р— ~ = 1 . Со­

ставить ее полярное уравнение при условии, что на­ правление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится в центре гиперболы.

642. Дано уравнение параболы у2 = 2рх. Составить ее полярное уравнение при условии, что направление полярной оси совпадает с положительным направле­ нием оси абсцисс, а полюс находится в вершине параболы.

§22. Диаметры линий второго порядка

Вкурсе аналитической геометрии доказывается, что середины параллельных хорд линии второго порядка лежат на одной прямой. Эта прямая называется диаметром линии второго порядка. Диаметр,

делящий пополам какую-нибудь хорду (а значит, и все параллель­ ные ей), называется сопряженным этой хорде (и всем хордам, ко­ торые ей параллельны). Все диаметры эллипса и гиперболы прохо-

92

дят через центр, исли эллипс задач уравнением

та его диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом к,

определяется уравнением

62

у = ~ 1 л х-

Если гипербола задана уравнением

то ее диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом к,

определяется уравнением

ft2

Нее диаметры параболы параллельны ее оси. Если парабола задана уравнением

у 2 = 2р х ,

то ее диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом к,

определяется уравнением

Если один из двух диаметров эллипса или гиперболы делит по­ полам хорды, параллельные другому, то второй диаметр делит по­ полам хорды, параллельные первому. Такие два диаметра назы­ ваются взаимно сопряженными.

Если k и к ' — угловые коэффициенты двух взаимно сопряжен­

ных диаметров гиперболы (2), то

Соотношения (3) и (4) называются условиями сопряженности диа­ метров соответственно для эллипса и для гиперболы.

Диаметр линии второго порядка, перпендикулярный к сопря­

секаемой на прямой 2х — у — 3 = 0.

93

j^2 иЧ

644. Составить уравнение хорды эллипса 'jg’+ s T 3

= 1, проходящей через точку Л(1; —2) и делящейся ею пополам.

645.Составить уравнения двух взаимно сопряжен­ ных диаметров эллипса х2 -(- 4г/2 = 1, из которых один образует с осью Ох угол в 45°.

646.Составить уравнения двух взаимно сопряжен­ ных диаметров эллипса 4х2-|-9г/2 = 1, из которых один параллелен прямой х -\-2у — 5 = 0.

647.Составить уравнения двух взаимно сопряжен­ ных диаметров эллипса х2 -|- Зт/2 = 1, из которых один перпендикулярен к прямой 2>х + 2у — 7 — 0.

648.На чертеже изображен эллипс. Пользуясь цир­ кулем и линейкой, построить его центр.

649.Доказать, что оси эллипса являются единст­ венной парой его главных диаметров.

650.Пользуясь свойствами сопряженных диаметров,

доказать, что каждый диаметр окружности является главным.

651. а) В эллипс вписан равнобедренный треуголь­ ник так, что его вершина совпадает с одной из вершин эллипса. Доказать, что основание этого треугольника параллельно одной из осей эллипса.

б) Доказать, что стороны прямоугольника, вписан­ ного в эллипс, параллельны осям этого эллипса.

в) На чертеже изображен эллипс. Пользуясь цир­ кулем и линейкой, построить его главные диаметры.

652. Доказать, что хорды эллипса, соединяющие его произвольную точку с концами любого диаметра этого эллипса, параллельны паре его сопряженных диаметров.

653. а) Доказать, что сумма квадратов двух сопря­ женных полудиаметров эллипса есть величина постоян­ ная (равная сумме квадратов его полуосей).

б) Доказать, что площадь параллелограмма, по­ строенного на двух сопряженных полудиаметрах эл­ липса, есть величина постоянная (равная площади прямоугольника, построенного на его полуосях).

х г

654. Составить уравнение диаметра гиперболы ----

— ^ - = 1 , проходящего через середину ее хорды, от­

секаемой на прямой 2х — I/+ 3 = 0.

94

Г Л А В А 5

У П Р О Щ Е Н И Е О Б Щ Е Г О У Р А В Н Е Н И Я Л И Н И И ВТО РО ГО П О Р Я Д К А . У Р А В Н Е Н И Я

Н Е К О Т О Р Ы Х К Р И В Ы Х , В С Т Р Е Ч А Ю Щ И Х С Я В М А ТЕ М А ТИ К Е И ЕЕ П Р И Л О Ж Е Н И Я Х

§ 23. Центр линии второго порядка

Линия, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением второй степени, называется линией вто­ рого порядка. Общее уравнение второй степени (с двумя перемен­ ными) принято записывать в виде:

по отношению к которой точки этой линии расположены симме­ трично парами. Линин второго порядка, обладающие единственным центром, называются центральными.

Точка S(xo\ (/о) является центром линии, определяемой урав­ нением (I), в том и только в том случае, когда ее координаты удо­ влетворяют уравнениям:

A.v0 + 5г/о + D = 0, |

Bx0 + Cy0 + E = 0. J

Обозначим через б определитель этой системы:

Величина б составляется из коэффициентов при старших членах уравнения (1) и называется дискриминантом старших членов этого уравнения.

Если б ф 0, то система (2) является совместной и определен­ ной. т. е. имеет решение и притом единственное. В этом случае координаты центра могут быть определены по формулам:

Неравенство б ф 0 служит признаком нейтральной линии второго порядка.

96

Если S(xt>; tjo) — центр линии второго порядка, то в результате

преобразования координат по формулам

(что соответствует переносу начала координат в центр линии) ее уравнение примет вид

Ах- + 2Вху + Су2 + F = О,

где А, В , С — те же, что в данном уравнении (1), a F определяется формулой

Р = Dx0 + Еуа + F.

В случае 8 ф 0 имеет место также следующая формула:

где

АВ D

А= В С Е .

D Е F

Определитель А пазыиается дискриминантом левой части общего уравнения второй степени.

665. Установить, какие из следующих линий являются центральными (т. е, имеют единственный центр), какие не имеют центра, какие имеют бесконечно много центров:

центральными, и для каждой из них найти координаты центра:

составить уравнение геометрического места центров: 1) 4 — 6xij 4 9у2 — 12* 4 36у 4 20 = 0;

2) 4х2 + 4 x1/ -f- у2 — 8х — 4у — 21 = 0; 3) 25л:2 — 10ху + у2 + 40,к — 8у + 7 = 0.

668.Установить, что следующие уравнения опреде­

1)центральную линию;

2)линию без центра;

3)линию, имеющую бесконечно много центров.

нию в одной точке; 2) касается этой линии; 3) пересе­ кает эту линию в двух точках; 4) не имеет общих то­ чек с этой линией.

671. Составить уравнение линии второго порядка, которая, имея центр в начале координат, проходит че­

и касается оси Ох в начале координат. Составить урав­ нение этой линии.

§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка

определяющее центральную линию второго порядка ( Ь = А С — В 2Ф 0 ) . Перенося начало координат в центр S(*o; Уа) этой линия и

98

Для вычисления F можно пользоваться формулой

которые позволяют определить коэффициенты А' и С', ие проводя

Уравнение центральной линии может быть только эллиптиче­ ским или гиперболическим.

Каждое эллиптическое уравнение является уравнением либо обыкновенного эллипса, либо вырожденного эллипса (т. е. опреде­ ляет единственную точку), либо мнимого эллипса (в этом случае уравнение не определяет никакого геометрического образа).

Каждое гиперболическое уравнение определяет либо обыкно­ венную гиперболу, либо вырожденную гиперболу (т. е. пару пере­ секающихся прямых).

673. Определить тип каждого из следующих урав­ нений*); каждое из них путем параллельного переноса

*) То есть установить, какие из них являются эллиптическими, какие гиперболическими и какие параболическими,

осей координат привести к простейшему виду; устано­ вить, какие геометрические образы они определяют, и изобразить на чертеже расположение этих образов от­ носительно старых и новых осей координат:

к простейшему виду; определить тип каждого из них; установить, какие геометрические образы они опреде­ ляют, и изобразить на чертеже расположение этих об­ разов относительно старых и новых осей координат:

1) 32х2 + 52ху — 7у2 + 180 = 0;

2) 5х2 — бху + Ъу2 — 32 = 0;

3)17х2 — 12ху -f- 8у2 == 0;

4)5х2 + 24ху — 5у2 — 0;

5) 5х2 - бху + Ъу2 + 8 = 0.

675. Определить тип каждого из следующих урав­ нений при помощи вычисления дискриминанта старших

676. Каждое из следующих уравнений привести к каноническому виду; определить тип каждого из них; установить, какие геометрические образы они опреде­ ляют; для каждого случая изобразить на чертеже оси первоначальной координатной системы, оси других ко­ ординатных систем, которые вводятся по ходу реше­ ния, и геометрический образ, определяемый данным

100