книги / Сборник задач по аналитической геометрии.-1

F{2; —1). Положительное направление полярной оси из­ менено на противоположное. Определить полярные ко­

лить координаты заданных точек в новой (полярной)

Mi(pt; 0i) и Мг(рг; 02). Вычислить расстояние d между ними.

жду ними.

36. В полярной системе координат даны две смежные

вершины квадрата А/3^ 12; — и М2 ^3; jg-j. Опре­

делить его площадь.

37. В полярной системе координат даны две противо­

положные вершины квадрата Р^б; — ^ nj и Q ^4; 4 л) 1

Определить его площадь.

38. В полярной системе координат даны две вершины

лярных координатах.

II

42. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а по­ лярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс.

—. Определить декартовы координаты этих точек.

43. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а по­ лярная ось совпадает с положительной полуосью аб­ сцисс. В декартовой прямоугольной системе координат

даны точкиMi(0; 5), М2(—3; 0), Af3(j/3; i), М4( ~ У 2;

— / 2 ) , Ms(l; — УЪ). Определить полярные координаты этих точек.

§ 4. Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции отрезка

на оси координат. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками

Прямолинейный отрезок называется направленным, если указа­ но, какая из ограничивающих его точек считается началом, какая — концом. Направленный отрезок, имеющий точку А своим началом

сти задана система декартовых прямоугольных координат, то про­ екция отрезка на ось Ох обозначается символом X, его проекция на ось Оу — символом У.

Если известны координаты точек Afi(xi;*/i) и М2(х2\ Уг), то

проекции X и У на оси координат направленного отрезка М\М2 могут быть вычислены по формулам

Х = х2 — х,, У = у 2 — у х.

Таким образом, чтобы найти проекции направленного отрезка на оси координат нужно от координат его конца отнять соответствую­ щие координаты начала.

12

Угол 0, на который нужно повернуть положительную полу­ ось Ох так, чтобы се направление совпало с направлением отрезка

М,Мй, называется полярным углом отрезка М<М2.

Угол 0 понимается, как в тригонометрии. Соответственно этому 0 имеет бесконечно много возможных значений, которые от­ личаются друг от друга на величину вида ±2п я (где п — целое положительное число). Главным значением полярного угла назы­

выражают проекции произвольного отрезка на координатные оси

которые выражают длину и полярный угол отрезка через его проек­ ции на оси координат.

Если на плоскости даны две точки Mt(xt;yi) и М2(х2; у2), то расе тояпие d между ними определяется формулой

d= V ( x 2— хх)г + (у2— у,)г.

44.Вычислить проекцию отрезка на ось и, если даны

ото длина d и угол ф наклона к оси: 1) d — Q, Ф = -д-;

15. Построить на чертеже отрезки, исходящие из на­ чала координат, зная их проекции на координатные оси:

46. Построить на чертеже отрезки, имеющие нача­ лом точку М ( 2; —1), зная их проекции на координатные

ные оси следующих отрезков: 1) MtM2, 2) М3Л1ь 3) /VI4M5,

найти координаты его конца.

13

58. Длина отрезка MN равна 17, его конец в точке Л’(—7; 3), проекция на ось ординат равна 15. Найти ко­ ординаты начала этого отрезка при условии, что он

60. Даны две точки М|( I ; —5) и М2(4; —1). Найти проекцию отрезка Л1|Л12 на ось, которая составляет

сосью Ох угол 6 = — ~ .

61.Даны две точки Р (—5; 2) и Q (3; 1). Найти проек­ цию отрезка PQ на ось, которая составляет с осью Ох

угол 8 = a rc tg -j.

62. Даны две точки А1Д2; —2) и МД7; —3). Найти проекцию отрезка Aff.412 на ось, проходящую через точки

иD; 6) D и Е.

64.Даны две смежные вершины квадрата 4(3; —7)

иВ ( — 1; 4). Вычислить его площадь.

65.Даны две противоположные вершины квадрата Р(3; 5) и Q(I; —3). Вычислить его площадь.

66.Вычислить площадь правильного треугольника, две вершины которого суть 4 ( —3; 2) и £(1; 6).

67.Даньг три вершины 4(3; —7), В (5; —7), С(—2; 5), параллелограмма ABCD, четвертая вершина которого D противоположна В. Определить длину диагоналей этого параллелограмма.

68.Сторона ромба равна 5 у 10, две его противопо­ ложные вершины суть точки Р(4; 9) и Q (—2; 1). Вычис­ лить площадь этого ромба.

69.Сторона ромба равна 5 У 2 , две его противопо­ ложные вершины суть точки Р{3; —4) и Q (l; 2). Вычис­ лить длину высоты этого ромба.

70.Доказать, что точки 4(3; —5), £ ( —2; —7) и С(18; 1) лежат на одной прямой.

15

71. Доказать, что треугольник с вершинами ЛД1; 1), Аг(2\ 3) и Л3(5; —1) прямоугольный.

72. Доказать, что точки Л (2; 2), В ( — 1; 6), С(—5; 3)

и£)(—2; —1) являются вершинами квадрата.

73.Определить, есть ли среди внутренних углоз тре­ угольника с вершинами МД1; 1), М2(0; 2) и М3(2; —1) тупой угол.

74.Доказать, что все внутренние углы треугольника

77.На оси абсцисс найти такую точку М, расстояние которой до точки N(2; —3) равнялось бы 5.

78.На оси ординат найти такую точку М, расстояние которой до точки N ( —8; 13) равнялось бы 17.

179. Даны две точки М(2; 2) и N {5; —2); на оси абсцисс найти такую точку Р, чтобы угол MPN был прямым.

80.Через точку Л (4; 2) проведена окружность, ка­

сающаяся обеих координатных осей. Определить ее центр С и радиус R.

81.Через точку Afi (1; —2) проведена окружность ра­ диуса 5, касающаяся оси Ох. Определить центр С окружности.

82.Определить координаты точки М2, симметричной точке Afi(1; 2) относительно прямой, щроходящей через точки Л (1; 0) и В ( — 1; —2).

83.Даны две противоположные вершины квадрата

Л(3; 0) и С (—4; 1). Найти две его другие вершины. 84. Даны две смежные вершины квадрата Л (2; —1)

16

определяются по формулам

Если точка Л1 является серединой отрезка Л1|ЛЬ, то ее координаты определяются по формулам

86. Даны концы А ( 3; —5) и 5 ( —1; 1) однородного стержня. Определить координаты его центра тяжести.

87. Центр тяжести однородного стержня находится в точке М( 1; 4), один из его концов в точке Р ( —2; 2). Определить координаты точки Q другого конца этого стержня.

88.Даны вершины треугольника /4(1; —3), 5(3; —5)

иС (—5; 7). Определить середины его сторон.

89.Даны две точки /1(3; —1) и 5(2; 1). Определить:

1) координаты точки Af, симметричной точке А отно­ сительно точки 5;

2) координаты точки N, симметричной точке 5 отно­ сительно точки А.

90.Точки М (2; —1), N ( — 1; 4) и Р ( —2; 2) являются серединами сторон треугольника. Определить его вер­ шины.

91.Даны три вершины параллелограмма /1(3; —5),

5(5; —3), С(— 1; 3). Определить четвертую вершину D, противоположную 5.

92.Даны две смежные вершины параллелограмма /4(—3; 5), 5(1; 7) и точка пересечения его диагоналей М( 1; 1). Определить две другие вершины.

93.Даны три вершины Л(2; 3), 5(4; —1) и С(0; 5) параллелограмма ABCD. Найти его четвертую верши­

ну D.

94. Даны вершины треугольника /4(1; 4), 5(3; —9), С(—5; 2). Определить длину его медианы, проведенной из вершины 5.

95. Отрезок, ограниченный точками /4(1; —3) и 5(4; 3), разделен на три равные части. Определить ко­ ординаты точек деления.

86. Даны вершины треугольника /4(2; —5), 5(1; —2), С(4; 7). Найти точку пересечения со стороной АС бис­ сектрисы его внутреннего угла при вершине 5.

17

97. Даны вершины треугольника /4(3; —5), В (—3; 3)

роны ВС биссектрисы его внешнего угла при вершине А. 99. Даны вершины треугольника Л (3; —5), В(\; —3), С(2; —2). Определить длину биссектрисы его внешнего

угла при вершине В.

100. Даны три точки /4(1; —1), В(3; 3) и С(4; 5), лежащие на одной прямой. Определить отношение К, в котором каждая из них делит отрезок, ограниченный двумя другими.

101. Определить координаты концов Л и В отрезка, который точками Р(2; 2) и Q (1; 5) разделен на три рав­ ные части.

102. Прямая проходит через точки Л/Д—12; —13) и Л/2(—2; —5). На этой прямой найти точку, абсцисса ко­

5(23; —6). Найти точку пересечения этой прямой с осью абсцйСа

105; Прямая проходит через точки /4(5; 2) и В (—4; —7). Найти точку пересечения этой прямой с осью ординат.

106. Даны вершины четырехугольника /4(—3; 12), 5(3; —4), С(5; —4) и 5(5; 8). Определить, в каком от­ ношении его диагональ АС делит диагональ 55 .

107. Даны вершины четырехугольника А (—2; 14), 5(4; —2), С(6; —2) и 5(6; 10). Определить точку пере­ сечения его диагоналей АС и 5 5 .

109. Точка М пересечения медиан треугольника ле­ жит па оси абсцисс, две вершины его — точки /4(2; —3) и В(—5; 1), третья вершина С лежит на оси ординат. Определить координаты точек Л/ и С, ...

18

110. Даны вершины однородной треугольной пласти ­ ки A(Xi; t/i), В (,v2; у2) н С(х3; у3). Если соединить сере­ дины ее сторон, то образуется новая однородная тре­ угольная пластинка. Доказать, что центры тяжести обеих пластинок совпадают.

У к а з а н и е . Воспользоваться результатом задачи 108.

111. Однородная пластинка имеет форму квадрата со стороной, равной 12, в которой сделан квадратный вы­ рез, прямые разреза проходят через центр квадрата, оси

координат направлены по ребрам пластинки (рис. 4). Определить центр тяжести этой пластинки.

112. Однородная пластинка имеет форму прямоуголь­ ника со сторонами, равными а и Ь, в котором сделан прямоугольный вырез; прямые раз­ реза проходят через центр, оси ко­ ординат направлены по ребрам пла­ стинки (рис. 5). Определить центр тяжести этой пластинки.

ИЗ. Однородная пластинка имеет форму квадрата со стороной, равной 2а, от которого отрезан тре­ угольник; прямая разреза соеди­ няет середины двух смежных сто­ рон, оси координат направлены по

ребрам пластинки (рис. 6). Определить центр тяжести пластинки.,

114. В следующих точках Л(хь у\), В(х2\ у2) и С(х3‘, уз) сосредоточены массы т, п и р. Определить координаты центра тяжести этой системы трех масс.

115. Точки /4(4; 2), В ( 7; —2) и С(1; 6) являются вершинами треугольника, сделанного из однородной про­ волоки. Определить центр тяжести этого треугольника.

19

§ 6- Площадь треугольника

Каковы бы ни были три точки А(х\\ у,), В (х2; уг), С(х3; у3), площадь S треугольника АВС дается формулой

± S = J_| хг — х, Уг — Ук I

122.Площадь треугольника 5 = 3, две его вершины суть точки Л(3; 1) и 6(1; —3), а третья вершина С ле­ жит на оси Оу. Определить координаты вершины С.

123.Площадь треугольника 5 = 4, две его вершины

124.Площадь треугольника S = 3, две его вершины суть точки Л(3; 1) и 6(1; —3), центр тяжести этого тре­ угольника лежит на оси Ох. Определить координаты третьей вершины С.

125.Площадь параллелограмма S = 12 кв. ед.; две

его вершины суть точки Л (—1; 3) и 6 (—2; 4). Найти две другие вершины этого параллелограмма при усло­ вии, что точка пересечения его диагоналей лежит на оси абсцисс.

20