книги / Сборник задач по аналитической геометрии.-1

126. Площадь параллелограмма S = 17 кв. ед.; две его вершины суть точки /4(2; i) и В (5; —3). Найти две другие вершины этого параллелограмма при условии, что точка пересечения его диагоналей лежит на оси ординат.

§ 7. Преобразование координат

Преобразование декартовых прямоугольных координат при па­ раллельном сдвиге осей определяется формулами

х = х' + а,

у=у' + ь.

Здесь х, у. суть координаты произвольной точки М плоскости отно­

ординат).

Преобразование декартовых прямоугольных координат при по­ вороте осей на угол а (который надо понимать, как в тригономет­ рии) определяется формулами

х= х" cos а — у' sin а,

у— х' sin а + у' cos а.

Здесь х, у суть координаты произвольной точки М плоскости отно­ сительно старых осей, х', у‘ — координаты той же точки относи­ тельно новых осей.

Формулы

х = х' cos а — у' sin а + а,

у = х' sin а + у' cos а + Ь

определяют преобразование координат при параллельном сдвиге системы осей иа величину а в направлении Ох, на величину Ь в направлении Оу и последующем повороте осей иа угол а. Все указанные формулы соответствуют преобразованию координат при неизменном масштабе. Неизменность масштаба предполагается так­ же в нижеприводимых задачах.

127. Написать формулы преобразования координат, если начало координат (без изменения направления осей) перенесено в точку: 1) /4(3; 4); 2) В(—2; 1);

3)С(—3; 5).

128.Начало координат перенесено (без изменения на­

правления осей) в точку 0 ' ( 3; —4). Координаты точек А(1; 3), В ( —3; 0) и С (— 1; 4) определены в новой си­ стеме. Вычислить координаты этих же точек в старой системе координат.

21

129. Даны точки Л (2; 1), S (—1; 3) и С (—2; 5).

130. Определить старые координаты начала О' новой системы, если формулы преобразования координат за­

4).v — х' — 5, у = у’.

131.Написать формулы преобразования координат, если оси координат повернуты на один из следующих

углов: 1) 60°; 2) -45°; 3) 90°; 4) -90°; 5) 180°.

132. Оси коордпнат_повернуты на угол а — 60°. Ко­

ординаты точек А{2 ^ 3 ; - 4 ) , B ( V 3 ; 0) и С(0; - 2 ] / з ) определены в новой системе. Вычислить координаты этих же точек в старой системе координат.

133. Даны точки М(3; 1), ЛГ(—1; 5) и Р ( - 3; - 1 ) . Найти их координаты в новой системе, если оси ко­ ординат повернуты на угол: 1) —45°; 2) 90°; 3) —90°;

4)180°.

134.Определить угол а, на который повернуты оси,

если формулы преобразования координат заданы сле-

135. Определить координаты точки О' нового начала координат, если точка А (3; —4) лежит на новой оси аб­ сцисс, а точка В (2; 3) лежит на новой оси ординат, при­ чем оси старой и новой систем координат имеют соот­ ветственно одинаковые направления.

136.Написать формулы преобразования координат,

если точка Mi (2; —3) лежит на новой оси абсцисс, а точка Мг(1; —7) лежит на новой оси ординат, причем оси старой и новой систем координат имеют соответ­ ственно одинаковые направления.

137. Две системы координатных осей Ох, Оу и Ох', Оу' имеют общее начало О и преобразуются одна в дру­ гую поворотом на некоторый угол. Координаты точки Л(3; —4) определены относительно первой из них. Вы­ вести формулы преобразования координат, зная, что положительное направление оси Ох' определено отрез­

ком О.4.

22

138. Начало координат перенесено в точку 0 '( —1; 2),

наты точек ЛД(3; 2), М2(2; —3) и Л13(13; —13) опреде­ лены в новой системе. Вычислить координаты этих же точек в старой системе координат.

139. Даны три точки: А (5; 5), В (2; —1) и С( 12; —6). Найти их координаты в новой системе, если начало ко­ ординат перенесено в точку В, а оси координат повер­

нуты на угол a = arctg-|-.

140. Определить старые координаты нового начала и угол а, на который повернуты оси, если формулы пре­ образования координат заданы следующими равенства­ ми: 1) х — —у’ + 3, у — х' — 2; 2) х = —х ' — 1, у —

141. Даны две точки: Alt(9; —3) и Л12(—6; 5). Нача­ ло координат перенесено в точку Л1Ь а оси координат по­ вернуты так, что положительное направление новой оси

абсцисс совпадает с направлением отрезка MiM*. Выве­ сти формулы преобразования координат.

142. Полярная ось полярной системы координат па­ раллельна оси абсцисс декартовой прямоугольной си­ стемы и направлена одинаково с нею. Даны декартовы прямоугольные координаты полюса 0(1; 2) и полярные

точек в декартовой прямоугольной системе.

143. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а по­ лярная ось направлена по биссектрисе первого коорди­ натного угла. Даны полярные координаты точек

ординаты этих точек.

144. Полярная ось полярной системы координат па­ раллельна оси абсцисс декартовой прямоугольной си-

23

Г Л А В А 2

УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ

§ 8. Функция двух переменных

Если указано правило, согласно которому с каждой точкой М плоскости (или какой-нибудь части плоскости) сопоставляется неко­ торое число и, то говорят, что на плоскости (или на части плоско­ сти, «задана функция точки»; задание функции символически выра­ жают равенством вида и = f{M). Число и, сопоставляемое с точкой М, называется значением данной функции в точке М. Напри­ мер, если А — фиксированная точка плоскости, М — произвольная точка, то расстояние от А до М есть функция точки М. В данном

случае f(M) = AM.

Пусть дана некоторая функция и = f(M) и вместе с тем вве­ дена система координат. Тогда произвольная точка М определяется координатами х, у. Соответственно этому и значение данной функ­ ции в точке М определяется координатами л-, у, или, как еще

функции в выбранной системе координат. Так, в предыдущем при­ мере f(M) = AM; если ввести декартову прямоугольную систему координат с началом в точке А, то получим выражение этой

функции:

u = V x 2 + yг .

146. Даны две точки Р и Q, расстояние между ко­

в качестве начала координат принята точка Р, а ось Ох

направлена по отрезку PQ.

147. При условиях задачи 146 определить выражение функции f(M) (непосредственно и при помощи преобра­ зования координат, используя результат задачи 146), если;

25

___I) начало координат выбрано _в_ середине отрезка PQ, ось Ох направлена но отрезку PQ.

2)начало координат выбрано в точке Р, а ось Ох

направлена по отрезку QP.

148. Даны: квадрат ABCD со стороной а и функция

/(.М) = </? + <*! + <$ + <& где dt = MA, d* = MB, d> =

— MC н di = MD. Определить выражение этой функции, если за оси координат приняты диагонали квадрата (при­

мем ось Ох направлена по отрезку АС, ось Оу — по от­ резку BD).

149. При условиях задачи 148 определить выражение для f(M) (непосредственно и при помощи преобразова­ ния координат, используя результат задачи 148), если начало координат выбрано в точке А, а оси координат

направлены по его сторонам (ось Ох — по отрезку АВ,

ось Оу — по отрезку AD),

150. Дана функция f(x,y) = х2+ у2— блг -f- 8у. Опре­ делить выражение этой функции в новой координатной системе, если начало координат перенесено (без измене­ ния направления осей) в точку 0'(3; —4).

151. Дана функция / (х, у) — х- — у2— 1G. Опреде­ лить выражение этой функции в новой координатной системе, если оси координат повернуты па угол —45°.

152. Дана функция f(x,y) — х2А-У2- Определить вы­ ражение этой функции в новой координатной системе,

— 4у2— Qx -f 8у -f- 3 после преобразования не содержало членов первой степени относительно новых переменных.

154. Найти такую точку, чтобы при переносе в нее

после преобразования не содержало члена с произведе­ нием новых переменных?

96

§ 9, Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения

Равенство вида F(x, у) = 0 называется уравнением с двумя

в нуль.

Уравнением данной линии (в назначенной системе координат) называется такое уравнение с двумя переменными, которому удо­

дает все точки их пересечения. Точнее, каждая пара чисел, являю­ щаяся совместным решением этой системы, определяет одну из точек пересечения,

157. Даны точки*) Д1,(2; - 2 ) , М2(2; 2), Л13(2; - 1 ) , Д/*(3; —3), Л15(5; —5), М$(3; —2). Установить, какие из данных точек лежат на линии, определенной уравнением х + у — 0, и какие не лежат на ней. Какая линия опре­ делена данным уравнением? (Изобразить ее на чер­ теже.)

158. На линии, определенной уравнением хг + г/2=3 = 25, найти точки, абсциссы которых равны следующим числам: 1) 0, 2) —3, 3) 5, 4) 7; на этой же линии найти точки, ординаты которых равны следующим числам: 5) 3, 6) —5, 7) —8. Какая линия определена данным урав­ нением? (Изобразить ее на чертеже.)

159. Установить, какие линии определяются следую­ щими уравнениями (построить их на чертеже): 1) х — у— 0; 2 ) х + г / = 0; 3 ) * - 2 = 0; 4) * + 3 = 0; 5) ^ — 5 = 0;

*) В тех случаях, когда система координат не названа, подра­ зумевается, что она — декартова прямоугольная.

27

Определить, какие из них проходят через начало коор­ динат.

— 2л: + 80 + 7 = 0; 7) л:2+ у2- 6 х + 4 у + 12= 0.

Найти точки их пересечения: а) с осью Ох; б) с осью Оу.

Установить, какие из этих точек лежат на линии, опре­

деляется данным уравнением? Изобразить ее на чер­

найти точки, подярные углы которых равны следующим

числам: а) т р б) — тр в) 0, г) Какая линия опреде­ лена данным уравнением? (Построить ее на чертеже.)

165. На Мнии, определенной уравнением р = .* ft ,

найти точки, полярные радиусы_которых равны следую­ щим числам: а) 1, б) 2, в) У 2 . Какая линия опреде­ лена данным уравнением? (Построить ее на чертеже.)

166. Установить, какие линии определяются в по­ лярных координатах следующими уравнениями (по­

28

167. Построить на чертеже следующие спирали Архи­

меда: 1) р = 20; 2) р = 50; 3) р = - |; 4) р = —- i.

168. Построить на чертеже следующие гиперболиче­

ские спирали: 1) р — ^-; 2) р= J-; 3) р = -§-; 4) р = —

169. Построить на чертеже следующие логарифми­

ческие спирали: 1) р = 2е; 2) Р= (у ) •

170. Определить длины отрезков, на которые рассе­ кает спираль Архимеда р = 30 луч, выходящий из по­

люса и наклоненный к полярной оси под углом 0 ==-£■•

Сделать чертеж.

171. На спирали Архимеда р = —0 взята точка С,

полярный радиус которой равен 47. Определить, на сколько частей эта спираль рассекает полярный радиус точки С. Сделать чертеж.

172. На гиперболической спирали p = -g найти точ­

ку Р, полярный радиус которой равен 12. Сделать чертеж.

173. На логарифмической спирали р = З0 найти точ­ ку Q, полярный радиус которой равен 81. Сделать чертеж.

§10. Вывод уравнений заранее данных линий

Взадачах предыдущего параграфа линия определялась при по­ мощи данного уравнения. Здесь мы будем иметь задачи противо­ положного характера: в каждой из них линия определяется чисто геометрически, а уравнение ее требуется найти.

П р и м е р 1. В декартовой прямоугольной системе координат вывести уравнение геометрического места точек, сумма квадратов

может занимать на линии любое положение, то х и у являются переменными величинами; их называют текущими координатами.

Запишем геометрическое свойство линии символически:

В этом соотношении прн движении точки М могут меняться длины МА, и Л4Л2. Выразим их через текущие координаты точки М:

МА, = /(х + а)2 + гД ЛМ2 = У(х -а)* + у \

29