книги / Сборник задач по аналитической геометрии.-1

863. Доказать тождество

(Л + т\ + п2) {l\ + т\ + п$) — (1Х12 -Ь тхт2 + п,п2)2 =*

§ 33. Смешанное произведение трех векторов

Тройкой векторов называются три вектора, если указано, какой из них считается первым, какой вторым и какой третьим. Тройку векторов записывают в порядке нумерации; например, запись а, 6, о означает, что вектор а считается первым, Ь — вторым, с — третьим.

Тройка некомпланарных векторов а, Ь, с называется правой, если составляющие ее векторы, будучи приведены к общему началу, располагаются в порядке нумерации аналогично тому, как располо­ жены большой, указательный н средний пальцы правой руки. Если векторы а, Ъ, с расположены аналогично тому, как расположены большой, указательный н средний пальцы левой руки, то тройка зтих векторов называется левой.

Смешанным произведением трех векторов а, Ь, с называется число, равное векторному произведению lab], умноженному скалярно на вектор с, т. е. [од] с.

Имеет место тождество: [adj с = a [Ьс], ввиду чего для обо­

Смешанное произведение abc равно объему параллелепипеда, построенного на векторах о, 6, с, взятому со знаком плюс, если тройка abc правая, со знаком минус, если эта тройка левая. Если векторы а, Ъ, с компланарны (и только в этом случае), смешанное произведение abc равно нулю; иначе говоря, равенство

abc — О

Напомним, что система координатных осей предполагается пра­ вой (вместе с тем является правой и тройка векторов I, /, ft).

865. Определить, какой является тройка а, Ь, с (правой или левой), если

869.Доказать тождество (a + b)(b-}-c){c+a) = 2abc.

870.Доказать тождество ab (с ■+• Ae + \ib) = abc, где

Ли р — какие угодно числа.

871.Доказать, что векторы а, Ь, с, удовлетворяющие условию jab] + [&с] + [са] — 0, компланарны.

872.Доказать, что необходимым п достаточным условием компланарности векторов а, Ь, с является

зависимость аа + Р& + ус — 0, где по крайней мере одно из чисел а, {3, у не равно нулю.

873. Даны три вектора: я = {1; —1; 3}, Ь — {—2; 2; 1},

С— {3; —2; 5}. Вычислить аЬс.

874.Установить, компланарны ли векторы а, Ь, с,

если:

132

878.Объем тетраэдра v — o, три его вершины на-

§ 34. Двойное векторное произведение

Пусть вектор а умножается векторно на вектор Ь, после чего полученный вектор [аб] умножается снова векторно на вектор с. В результате получается так называемое двойное векторное произ­

Д о к а з а т е л ь с т в о . Введем (декартову прямоугольную) си­ стему координат. Чтобы облегчить выкладки, расположим оси ко­ ординат специальным образом, а именно: ось Ох направим по век­ тору а, ось Оу поместим в плоскости векторов а и 6 (считая, что векторы а, 6 приведены к общему началу). В таком случае будем иметь:

880.Решить задачу 864, используя тождества, дан­ ные в начале этого параграфа, и тождество задачи 879.

881.Даны вершины треугольника А (2; —1; —3),

133

Г Л А В А 8

УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ И УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ

§ 33. Уравнение поверхности

Уравнением данной поверхности (в выбранной системе коорди­ нат) называется такое уравнение с тремя переменными

F (х, у, г) =» О,

которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на

этой поверхности, и ие удовлетворяют координаты никакой точки не лежащей на ней.

885._Даны точки М { (2; —3; 6), М2(0; 7; 0), М3(3; 2; —4),

ней? Какая поверхность определена данным уравнением?

равна 2, аиликата равна 2; 4) ордината равна 2, апли-

ката равна 4.

887. Установить, какие геометрические образы опре­ деляются следующими уравнениями в декартовых прямо­

135

величинами; их называют текущими координатами.

Точка М лежит на данной поверхности в том и только в том

случае, когда

которое связывает текущие координаты х, у, г. Это и есть уравне­ ние данной поверхности.

Действительно, для каждой точки М, лежащей на данной по­ верхности, выполняется условие (I) и, следовательно, координаты такой точки будут удовлетворять уравнению (2); для каждой точки,

нию (2). Таким образом, задача решена; дальнейшие выкладки имеют

136

НЛП

ния. Уравнение (4) называется каионаческим уравнением этого эллипсоида.

889. Вывести уравнение сферы, центр которой на­ ходится в начале координат и радиус которой равен г.

890. Вывести уравнение сферы, центр которой

С(а; Р; у) и радиус которой равен г.

891.Из точки Р (2; 6; —5) проведены всевозможные лучи до пересечения с плоскостью Oxz. Составить урав­ нение геометрического места их середин.

892.Из точки Л(3; —5; 7) проведены всевозможные

лучи до пересечения с плоскостью Оху. Составить урав­ нение геометрического места их середин.

893. Из точки С (—3; —5; 9) проведены всевозмож­ ные лучи до пересечения с плоскостью Oyz. Составить уравнение геометрического места их середин.

894. Вывести уравнение геометрического места точек,

F[ (— а; 0; 0) и F2(a\ 0; 0) равна постоянной величине 4а2.

уравнение геометрического места точек, сумма квадра­ тов расстояний которых до граней этого куба есть величина постоянная, равная 8а2.

897.Вывести уравнение геометрического места точек, равноудаленных от двух точек Л1,(1;2; —3) и Л12(3;2; 1).

898.Вывести уравнение геометрического места точек,

137

§ 36. Уравнения линии. Задача о пересечении трех поверхностей

Линия в пространстве определяется совместным заданием двух уравнений

F (x ,y ,z ) = 0, Ф(х, у, г) = 0

как пересечение двух поверхностей F (х, у, *) = 0 и Ф (х, у, г) = 0. Если F (х, у, г) = 0, Ф (х, у, z) — 0, V (х, у, г) = 0 суть уравнения трех поверхностей, то для разыскания точек их пересечения нужно совместно решить систему:

'F (х, у, г) = 0,

Ф(х, у, г) = 0. l\F( x, у, г ) = 0 .

Каждое решение х, у, z этой системы представляет собой коор­ динаты одной из точек пересечения данных поверхностей.

f ( х - 1)2 + ^ + 22= 36,

I 0 + 2 = 0

икакие не лежат на ней.

901.Определить, какие из следующих линий проходят через начало координат:

точку:

1)абсцисса которой равна 3;

2)ордината которой равна 2;

3)апликата которой равна 8.

138

903. Установить, какие линии определяются сле­ дующими уравнениями;

905. Составить уравнения линии пересечения сферы, центр которой находится в начале координат и раднуо равен 5, с плоскостью, параллельной плоскости Oxz и лежащей в левом полупространстве на расстоянии двух единиц от нее.

906.Составить уравнения линии пересечения пло­ скости Oyz и сферы, центр которой находится в точке

С(5; —2; I) и радиус равен 13.

907.Составить уравнения линии пересечения двух

§37. Уравнение цилиндрической поверхности

собразующими, параллельными одной из координатных осей

Уравнение с двумя переменными вида

F(x, 4Г) = 0

в пространственной системе координат определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Ог. На плоскости в системе координат с осями Ох и Оу уравнение F (х, у) = 0

139