книги / Сборник задач по аналитической геометрии.-1

определяется

заданием

линейной единицы для измерения длни и

трех пересекающихся в

одной

точке

взаимно

перпендикулярных

осей, занумерованных в каком-либо порядке.

Точка пересечения осей называется началом координат, а сами

оси — осями

координат. Первая

координатная ось

называется

осью

абсцисс, вторая — осью ординат,

тре­

тья — осью апликат.

обозначается бук­

Начало

координат

вой О, оси координат обозначаются со­

ответственно символами Ох, Оу, Ог.

Пусть

М — произвольная

точка про­

странства,

Мх, Му и

Мг — ее

проекции

на координатные оси (рис. 38).

Координатами точки М в заданной

системе

называются

числа:

х =

ОМх У >

ОМу,

z =

0М2

(рис. 38), где ОМх есть величина отрез­

ка ОМх оси абсцисс, ОМу — величина от­

резка ОМу оси ординат,

ОМг — величи­

на отрезка OMz оси апликат. Число х

называется абсциссой, у — ординатой, z — апликатой

точки Af. Сим­

вол М (х;у;г)

обозначает, что точка М имеет координаты х, у, г.

Плоскость

Оуг разделяет все

пространство на

два

полупро­

то

из

них, которое расположено в положительном

направлении

оси

Оу,

называется правым, другое — левым. Наконец,

и плоскость

В ( - 5; 3; 1), С(1;

- 3 ; - 5 ) ,

0(0; - 3 ; 5), Е ( - 3;

- 5 ; 0)

и F ( - 1; - 5 ; - 3 ) .

720. Найти

координаты

проекций точек Л (4;

3;

5),

fi( - 3 ; 2; 1), С(2; - 3 ; 0) и

D(0; 0; —3): 1) на пло­

скость Оху; 2) на плоскость

Oxz; 3)

на плоскость Оуг;

4) на ось абсцисс;

5)

на

ось

ординат; 6) на ось апликат.

721. Найти

координаты

точек,

симметричных

точ­

кам Л (2; 3; 1), В (5;

- 3 ;

2),

Рис.

39.

С(—3;

2; —1)

и В (а; Ь; с)

Оху, 2)

плоскости

Oxz;

относительно:

1)

плоскости

3) плоскости

Оуг;

4)

оси

абсцисс;

5)

оси ординат;

6) оси апликат; 7) начала координат.

— а),

722. Даны четыре вершины куба: А (— а; — а;

В (а; —а; —а);

С (—а; а; —а) и D(a; а; а). Определить

=

0; 4) х -f z = 0; 5)

у — z =

0; 6)

у + z =

0.

ки,

724. В каких октантах могут быть расположены точ­

если: 1) х у > 0;

2) xz <

0; 3)

y z > 0;

4) x y z > 0;

Деление отрезка в данном

отношении

Расстояние d

между двумя точками Mi(xi; 1/1; z,) и М2(Х2\ у2\ г2)

в пространстве определяется формулой

d =

— X,)- + (у2 — уi f +

(z2 - Z])2.

* 1 + ^ * 2

!h + A.I/2

___ г1+

А.2*

1 +А . '

у

1 + Х

'

1 + к

’

В частности,

при

А, =

1

имеем

координаты

середины

данного от­

резка:

*1

+ х.г

..

+ Уг

_

^I +

22

’

*

* ------- 2

У------ 2

’

--------2

726.

Даны

точки: /4(1;

—2;

—3),

5(2;

—3;

0),

С(3; 1; — 9), D (— 1; I; 12). Вычислить расстояние меж­

ду 1) Л и С; 2)

В и О; 3)

С и D.

727. Вычислить расстояния от начала координат О до

точек:

А{4;

- 2 ;

- 4 ) ,

В ( - 4 ;

12;

6),

С(12;

- 4 ;

3),

0(12; 16; —15).

что

треугольник

с

вершинами

728.

Доказать,

729.

Доказать,

что

треугольник

с

вершинами

Д1 (3; —1; 6), /42(—1; 7; —2) и Л3(1;

—3;

2)

прямо­

угольный.

730. Определить, есть ли тупой угол среди внутренних

углов треугольника Ali(4; —1; 4),

/М2(0;

7;

—4),

М3(3; 1; - 2 ) .

что

внутренние углы

треугольника

731.

Доказать,

736.

Даны вершины /4(2;

—1;

4),

5(3;

2;

—6),

С(—5; 0; 2) треугольника. Вычислить длину

его-меди­

аны, проведенной из вершины А.

737. Центр тяжести однородного стержня находится

в точке

С(1; —1; 5), один из

его

концов есть

точка

А (—2;

—1; 7). Определить координаты

другого

конца

стержня.

—3; —5), 5 ( —1 3 ; 2)

738. Даны две вершины /4(2;

шими латинскими буквами с общей

чертой

наверху

при условии,

что первая

из

них

обозначает начало, вторая — конец

вектора. На­

ряду с этим

мы

будем также

обозначать вектор одной малой

латинской буквой

полужирного

шрифта,

которая на чертежах ставится у конца

стрелки,

изображающей

вектор

(см.

рис. 40,

где

изображен вектор а с нача­

лом А и концом В). Начало вектора часто

будет называться также его точкой прило­

Рис.

40.

жения.

Векторы

называются равными,

если

онн имеют

одинаковые длины,

лежат

на

сторону.

равное

длине вектора (прн

заданном масштабе), назы­

Число,

вается его

модулем. Модуль вектора а

обозначается символом |о |

или а. Если

|а |

=

1, то вектор а называется единичным.

Единичный

вектор, имеющий одинаковое направление с данным

Проекция вектора а на ось и выражается через

его модуль

и угол (р наклона к оси а формулой

пр«а = | в | <cos <р.

(О

тора а, то

его

координаты X, У, Z определяются по формулам

Х = хг — х,,

У — Уг — Уи

Х — гг — гх.

Формула

____________

I а | = VX* +

У2 +

Z*

(2)

позволяет по координатам вектора определить его модуль.

Если ос, р,

у — углы,

которые составляет вектор а с координат­

ными осями (рис. 41), то

cos a,

cos р, cosy называются

направляю­

щими косинусами вектора а.

Вследствие формулы

(1)

A = |a |c o s a ,

У = | a |cos р,

Z = | a | c o s y .

Отсюда и

из формулы

(2)

следует,

что

cos2 a +

cos2 р +

cos2 у =

1 •

Последнее

равенство позволяет

определить

одни из углов а, р, у, если известны два

других.

748.

Вычислить

модуль

вектора

a = {6; 3; -2 } .

век­

749.. Даны

две координаты

тора X = 4,

Y = —12. Определить

его третью координату

Z

при усло­

вии, что

|а |

=

13.

А (3; —-1;

2)

и В(- •1; 2;

1). Найти

750. Даны

точки

кой М( 1; 2;

- 3 ) .

начало вектора

а = {2; — 3; — 1},

7Я2. Определить

если его конец совпадает с точкой (1;

—I; 2).

45°,

753., Дан

модуль

вектора | а | = 2

и углы а =

р =ГбО°, у =

120°. Вычислить проекции вектора а на

ко­

ординатные оси.

754.-Вычислить направляющие косинусы вектора а =

— {12; - 1 5 ;

-16}.

755-Вычислить направляющие косинусы вектора а =

= J J L .

JL -

Щ

( 13 ’

13 ’

13 / •

750. Может ли вектор составлять с координатными

осями следующие

углы:

1)

а = 45°,

0 =

60°,

у — 120°}

2)

a =

45°,

0 =

135°,

у =

60°; 3)

a =

90°,

р = 1 5 0 °;

у =

60°?

то сумма в -)- Ь есть вектор, совпадающий

с диагональю этого па­

d

раллелограмма,

идущей из общего на-

чала а и Ъ (рис. 43). Отсюда сразу сле-

у ■*

у Л е дует, что а Ь = Ь -(- а.

дится

при

помощи

последовательного

применения

правила

треугольника

(см.

рис. 44,

где

изображено построение сум­

мы четырех векторов а, Ь, с, d).

Разностью а — Ь

двух

векторов а

и Ь называется вектор, который в сум­

ме с вектором Ь составляет вектор а.

Если два вектора а и 6 приведены к

общему

началу, то

разность их

а — Ь

есть вектор, идущий нз конца Ь («вычи­

таемого») к концу а («уменьшаемого»). Два вектора

равной

дли­

тора а

на

модуль числа

а; он параллелен вектору

а

или

лежит

с ним

на

одной прямой

и

направлен так же,

как

вектор

а,

если

а — число

положительное,

и

противоположно

вектору а,

если

а —

их проекций на эту же ось:

при (« 1 +

« 2 +

•■■ + а п) = пр„а, + приа2 +

... + пр„а„.

2. При умножении вектора на число его проекция умножается

на то же число:

пр„ (аа)

-- а прив.

В частности,

если

то

« - { * , : У,; 2,},

Ь = [Х2,

У2, Z2h

а + Ь = {Х1+ X»;

У, +

У2;

Z, +

Z,}

и

а -

Ь = {X, - Х2;

У, -

У2; Z, -

Z2).

Если а = {Х;

У; Z), то для любого числа а

аа = (аХ;

аУ;

aZ}.

Х2 У2

Z2

х, _ 77“

zT*

Каким бы

ни был вектор а,

он всегда может быть разложен

по базису i, /,

ft, т. е. может быть представлен в виде:

а = Xi +

Yj + Zk-

из

761. По данным векторам а и Ь построить каждый

следующих векторов:

1) а + Ь;

2)

а — Ь;

3) Ь ~ а ;

4)

~ а — Ь.

| 6 | = 1 9

и

| а +

& [ =

24.

Вычи­

762.

Даны: | а | = 1 3 ,

слить | а — Ь | .

| b | =

23 и | а -

Ъ| =

30.

Опре­

763.

Даны: | а | = 11,

делить | а +

Ъ| .

а

и Ь взаимно перпендикулярны, при­

/764. Векторы

чем | а | = 5

и | & | =

12.

Определить

\а + Ь\ и \а — Ь\.

765.

Векторы

а

и 6 образуют угол <р =

60°, причем

|а | = 5

и | 6 1= 8.

Определить | a - f & |

и \а — Ь |.

|л |

766.

Векторы а

и 6 образуют угол <р =

120°, причем

== 3

и | & | = 5 .

Определить

|a +

6 1 и

\а — Ь\.

а

767. Какому условию

должны

удовлетворять векторы

и Ь,

чтобы имели место

следующие

соотношения:

1) | а+Ь | = | а —Ь 1; 2) I а+Ь \ > \ а - Ь | ; 3) | а+Ь | < |

а - Ь |.

768. Какому условию должны удовлетворять век­

торы а

и Ь, чтобы вектор а + Ь делил

пополам угол

между векторами а и Ь.

а и Ь построить каждый

769.

По данным

векторам

из

следующих векторов:

1) За;

2) —^-6;

3) 2а + у й ;

4)

~ а - З Ь .

__ 770.

В треугольнике

АВС вектор

АВ — т и

вектор

АС — п. Построить

каждый

из

следующих

векторов:

I)

2— ;

— 2— ;

— 2

-------Принимая

в качестве масштабной единицы -~ -|я|,

построить также

векторы: 5)

|я |« а +

| т | л ;

6) |«| от — | т |л .

треуголь­

771.

Точка О является _центром

тяжести

ника АВС. Доказать, что

ОА + ОВ +

ОС = 0.

772.

В

правильном

пятиугольнике

ABCDE заданы