Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сборник задач по аналитической геометрии.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

10.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 246 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

331.		Составить		уравнение		прямых,		параллельных
прямой		3* — 4у — 10 = 0			и отстоящих от нее					на рас
стоянии d = 3.										А (2; 0)
332.		Даны две смежные вершины квадрата
и В ( —1; 4). Составить уравнения его сторон.									квадрата,
333.		Точка	А (5;	—1)	является		вершиной
одна	из	сторон которого			лежит		на прямой		4лг— 3у ~
_ 7 =	0. Составить			уравнения		прямых,		на которых ле
жат остальные стороны этого квадрата.								квадрата 4х —
334. Даны			уравнения		двух	сторон
— 3// + 3 = 0,			4х — Зг/— 17 = 0			и	одна	из его		вершин

/4(2; —3). Составить уравнения двух других сторон этого квадрата.

335. Даны уравнения двух	сторон квадрата 5х +.
+ 12у— 1 0 = 0 , 5х + 12у -j- 29 =	0. Составить уравне

ния двух других его сторон при условии, что точка МД—3; 5) лежит на стороне этого квадрата.

336. Отклонения точки М от прямых 5х— 12// — 13= = 0 и Зх — 4у — 19 = 0 равны соответственно —3 и —5, Определить координаты точки М.

337.Составить уравнение прямой, проходящей через точку Р(—2; 3) на одинаковых расстояниях от точек /4(5; - 1 ) и В(3; 7).

338.Составить уравнение геометрического места то чек, равноудаленных от двух параллельных прямых:

1) Зх — р + 7 = 0,	2 ) х - 2 « / + 3 = 0,
Зх — у — 3 = 0;	х — 2у + 7 = 0;
3) 5х — 2у — 6 = 0 ,
Юх — Ау + 3 = 0.

339. Составить уравнения биссектрис углов, образо ванных двумя пересекающимися прямыми:

1)	х —	Зр +	5 = 0,	2)	х — 2г/ — 3 = 0,
З х — у — 2 = 0;					2х + 4р + 7 = 0;
3) Зх -j- 4у — 1 = О,
5х +		12у — 2 = 0.
340.	Составить		уравнения прямых,			которые прохо
дят через точку Р ( 2; —1)				н вместе с прямыми 2х — у +.
+ 5 =	0,	Зх + 6 р — 1 = 0			образуют	равнобедренные
треугольники.

341. Определить, лежат ли точка М( 1; —2) и начало координат в одном, в смежных или вертикальных уг лах, образованных при пересечении двух прямых:

1)	2 х -	у -	5 =	0,	2) 4х + 3у -	10 = 0,
	3 * +	«/+10 =		0;	1 2 х - 5 у -	5 = 0 ;
3)	.V-	2у -	1 = 0 ,
	Зх —	у —	2 = 0.

342. Определить, лежат ли точки М(2;3) и N(5;—1) в одном, в смежных или вертикальных углах, образо ванных при пересечении двух прямых:

1) х - З у — 5 = 0, 2) 2х + 7 « /- 5 = 0, 2х + 9г/ — 2 = 0; х-+-Зг/ + 7 = 0;

3)12х + у — 1 = 0 ,

13х + 2 у ~ 5 = 0.

343. Определить, лежит ли начало координат вну три или вне треугольника, стороны которого даны урав нениями 7х — Ъу— 1 1 = 0 , 8х + 3//-|-31 = 0, х + 8«/—

—19 = 0.

344.Определить, лежит ли точка М (—3; 2) внутри или вне треугольника, стороны которого даны урав

нениями х + у — 4 = 0, Зх — 7у + 8 = 0, 4х — у — 31 =

=0.

345.Определить, какой из углов, острый или тупой,

образованных двумя прямыми Зх — 2у + 5 = 0 и 2х + + у — 3 = 0, содержит начало координат.

346. Определить, какой из углов, острый или тупой, образованных двумя прямыми Зх — 5у — 4 = 0 и х + + 2у + 3 = 0, содержит точку М (2; —5).

347. Составить уравнение биссектрисы угла между

прямыми	Зх — у — 4 = 0 и 2х + 6«/ + 3 =		0,	в котором
лежит начало координат.
348. Составить уравнение биссектрисы угла между
прямыми	х — Ту + 5 = 0,	5х + 5г/— 3 =	0,	смежного
с углом, содержащим начало координат.
349. Составить уравнение биссектрисы угла между
прямыми х + 2#— 1 1 = 0		и Зх — 6«/ — 5 =	0, в котором

лежит точка М(1: - 3 ) .

350. Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми 2х — 3у — 5 = 0, 6х —4// + 7 = 0, смежного с углом, содержащим точку С(2; —1).

351. Составить уравнение биссектрисы острого угла,

образованного	двумя	прямыми	Зх + 4у — 5 =	0,	5х —
— 12^ + 3 = 0.
352. Составить уравнение биссектрисы тупого угла,
образованного	двумя	прямыми	х — Зу + 5 =	0,	Зх —
— # + 15 = 0.

§ 15. Уравнение пучка прямых

Совокупность прямых, проходящих через некоторую точку S ,

называется пучком прямых с центром S.
Если	A i x + B iy + Ci »= 0 и	А 2х +	В 2у +	Сг = 0 —	уравнения
двух прямых, пересекающихся в точке S, то уравнение
	a (AiX + В \у + C t ) + Р	(А 2х +	В 2У +	С 2) = 0 ,	(I)
где а, р —	какие угодно числа, не равные одновременно нулю, опре

деляет прямую, также проходящую через точку S.

Более того, в уравнении (1) числа а, р всегда возможно подо брать так, чтобы оно определило любую (заранее назначенную)

прямую, проходящую через точку S, иначе говоря, любую прямую пучка с центром S. Поэтому уравнение вида (1) называется урав нением пучка (с центром S ) .

Если а ф 0, то, деля обе части уравнения (1) на а и полагая

Р	1
— =	Л, получим:
	А\Х +	B ty + Ci + Я (А 2х + В 2у +	С 2) = 0.	(2)
Этим уравнением можно определить любую прямую пучка с цен
тром S, кроме той, которая соответствует а =			0, т. е. кроме прямой
А 2х +	В гу + С2 =	0.
353. Найти		центр пучка прямых, данного уравнением
а(2х + 3у — 1 )+ р (х — 2у — 4) = 0.
354. Найти уравнение прямой, принадлежащей пуч
ку прямых а(х-\-2у — 5)+{$(Зх — 2# +			1) = 0 и

1)проходящей через точку /1(3; —1);

2)проходящей через начало координат;

3)параллельной оси Ох;

4)параллельной оси Оу;

5)	параллельной прямой 4х + Ъу + 5 =	0;	7 =	0.
6)	перпендикулярной к прямой 2х +	Ъу +
355. Составить уравнение прямой, проходящей				через
. точку	пересечения прямых Зх — 2у + 5 = 0,		4х + Зу —
— 1 =	0 и отсекающей на оси ординат отрезок Ь — —3.

Решить задачу, не определяя координат точки пересе чения данных прямых.

356. Составить уравнение прямой, которая проходит 'через точку пересечения прямых 2х -f- у — 2 = 0,

х — Ъу — 23 = 0 и делит пополам отрезок, ограниченный точками Afi(5; —6) и —1; —4). Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.

357. Дано уравнение пучка прямых а {Зх— 4у — 3) + + р(2х + 3у — 1) = 0. Написать уравнение прямой это го пучка, проходящей через центр тяжести однородной


треугольной		пластинки,			вершины	которой	суть	точки
А{—1; 2), 5(4; —4) и С (6; —1).
358. Дано			уравнение		пучка прямых а (Зх— 2у — 1) +
+ р(4х— 5г/ +			8) = 0.	Найти прямую этого			пучка,	про
ходящую через середину отрезка прямой х +							2у -)- 4 = 0,
заключенного			между	прямыми		2х 4- Зу + 5 — 0,		х +
+ 7 г /- 1	=	0.	уравнения		сторон треугольника х +			2у —
359. Даны
— 1 = 0 ,	5х +		Ау— 17 =		0, х — 4	у + 1 1 = 0 .	Не	опре

деляя координат его вершин, составить уравнения вы сот этого треугольника.

360. Составить уравнение прямой, проходящей через

точку	пересечения	прямых 2х + 7у — 8 = 0, Зх +	2у +
+ 5 =	0 под углом	в 45° к прямой 2х + 3у — 7 =	0. Ре

шить задачу, не вычисляя координат точки пересечения

данных	прямых.
361.	В треугольнике АВС даны уравнения высоты
AN: х-{-Ъу— 3 = 0, высоты BN: х + //— 1 = 0 и сто

роны АВ: х + Зу — 1 = 0. Не определяя координат вер шин и точки пересечения высот треугольника, составить уравнение двух других сторон и третьей высоты.

362.	Составить уравнения сторон треугольника АВС,
зная одну его вершину		Л (2; —1), а также уравнения
высоты	7х— 10у + 1 =	0 и биссектрисы Зх — 2у + 5 = 0 ,

проведенных из одной вершины. Решить задачу, не вы* числяя координат вершин В и С.


+	363.	Дано		уравнение пучка		прямых а(2х +		г/ + 8) +
	Р(х +		г/ + 3) = 0. Найти прямые этого пучка, отрезки
которых,			заключенные между			прямыми х — у — 5 = 0,
х — у — 2 = 0, равны V^>.						прямых а (Зх +		у — 1) +
+	364.	Дано		уравнение пучка
	Р(2х— у — 9) = 0.				Доказать, что		прямая	х + 3^ +
+	13 =	0 принадлежит этому пучку.
+	365.	Дано уравнение пучка прямых а(5х + 3# + 6) +
	Р(3х — 4г/— 37) = 0. Доказать, что прямая 7 * + 2у —
— 15 =		0 не принадлежит этому пучку.
+	366. Дано			уравнение пучка прямых а (3 * + 2у — 9) +
	р (2х +		5у +	5) = 0.	Найти,	при	каком ‘значении С


прямая	4х— 3f/ + С =				0	будет	принадлежать		этому
пучку.			уравнение		пучка прямых а (5х +			З у ~ 7) +
367. Дано
+ £(3х +		Юу 4- 4) =		0.	Найти, при каких значениях а
прямая	ях + 5у + 9 = 0				не будет		принадлежать		этому
пучку.	Центр		пучка			прямых	а(2х — Зу + 20) +
368.
+ р (Зх +		5у — 27) =		0	является		вершиной	кзадрата,
диагональ		которого		лежит		на прямой х + 7у — 16 = 0.

Составить уравнения сторон и второй диагонали этого

квадрата.	уравнение	пучка прямых а(2х + 5у + 4) +
369. Дано	уравнение	пучка прямых а(2х + 5у + 4) +
+ Р(Зх — 2у +	25) = 0.	Найти прямую этого пучка, от

секающую на координатных осях отличные от нуля от резки равной величины (считая от начала координат).

370. Дано уравнение пучка прямых а(2х + у +	1) +
'+ Р (х — Зу— 10) = 0. Найти прямые этого пучка,	отсе

кающие на координатных осях отрезки равной длины

(считая от начала координат).			прямых	а(21х + 8у —
371. Дано уравнение	=	пучка
— 18) + р(11х + Зу + 12)		0.	Найти	прямые этого

пучка, отсекающие от координатных углов треугольни

ки с площадью, равной 9 кв. ед.	прямых а(2х + у + 4) +
372. Дано уравнение пучка	прямых а(2х + у + 4) +
+ Р(х — 2у — 3) = 0. Доказать,	что среди прямых этого

пучка существует только одна прямая, отстоящая от

точки Р(2; —3)	на	расстоянии		d = V \ 9 - Написать
уравнение этой прямой.			прямых а(2х — у — 6) +
373. Дано уравнение пучка
+ Р(х— У — 4) =	0.	Доказать,	что	среди прямых этого

пучка нет прямой, отстоящей от точки Р(3; —1) на рас стоянии d — 3.

374. Составить уравнение прямой, проходящей					че
рез точку	пересечения прямых	Зх +	у — 5 =	0,	х —
— 2у + 10 =	0 и отстоящей от	точки	С(—1;	—2)	на

расстоянии d = 5. Решить задачу, не вычисляя коор динат точки пересечения данных прямых.

+	375. Дано		уравнение	пучка		прямых а(5х + 2у +
	4) +	р(х +	9у — 25) = 0 . Написать уравнения прямых
этого		пучка,	которые вместе			с прямыми		2х — Зу +
+	5 =	0, 12х+ 8у — 7 =		0	образуют		равнобедренные
треугольники.
.	376.	Составить уравнение прямой, которая проходит
через		точку	пересечения		прямых		11х +	3у — 7 = 0,

12х + у — 19 = 0 на одинаковых расстояниях от точек А ( 3; —2) и В ( —1; 6). Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.

377. Даны уравнения двух пучков прямых а, (5х + Зу — 2) + Pi (Зх — у — 4) = 0,

а2{х — у + 1) + М 2х — У — 2) = 0.

Не определяя их центров, составить уравнение прямой, принадлежащей обоим пучкам.

378. Стороны АВ, ВС, CD и DA четырехугольника

ABCD	заданы			соответственно			уравнениями		5х +	у +
+ 13 =	0,	2х — 7у — 17 =				0,	Зх + 2 ^ — 13 =		0,	Зх —
4г/ + 17 =		0. Не определяя				координат		вершин этого че
тырехугольника,				составить		уравнения		его диагоналей
АС и BD.			пучка		прямых		а(2х + Зу + 5) + р(Зх —
379. Центр
— у + 2) =		0	является		одной		из вершин треугольника,
две высоты которого даны						уравнениями х — 4# + 1 = 0,
2х + у + \		= 0 . Составить				уравнения сторон			этого	тре
угольника.

§ 16. Полярное уравнение прямой

Прямая, проведенная через полюс перпендикулярно к данной прямой, называется ее нормалью. Обозначим буквой Р точку, в ко торой нормаль пересекает прямую; установим на нормали положнтельное направление от точки и к точке Р. Угол, иа который нуж но повернуть полярную ось до

наложения ее на отрезок ОР, бу дем называть полярным углом нормали.

380. Вывести полярное уравнение прямой, зная ее расстояние от полюса р и полярный угол нормали а.

Р е ш е н и е . 1-й с п о с о б . На данной прямой s (рнс. 11) возь Рис. 11. мем произвольную точку М с по лярными координатами р н 0.

Точку пересечения прямой s с ее нормалью обозначим буквой Р. Из прямоугольного треугольника ОР. 4 находим:

Р	Р	— а)	(D
	cos (0

Мы получили уравнение с двумя переменными р и 0, которому удовлетворяют координаты всякой точки М, лежащей на прямой s,

и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой

прямой.	Следовательно,	уравнение (1)	является уравнением пря
мой s. Таким образом, задача решена.			декартову прямоугольную
2-й	с п о с о б . Будем	рассматривать	декартову прямоугольную

систему координат, положительная полуось абсцисс которой совпа дает с полярной осью заданной полярной системы. В этой декарто вой системе имеем нормальное уравнение прямой $:

jtcosa + y s in a — р = 0.

(2)

Воспользуемся формулами преобразования полярных координат в декартовы:

, - p c o s e .

у = р sin 0.

Подставляя в уравнение (2) вместо х и у выражения (3), получим:

или	р (cos 0 cos a +	sin 0 sin a ) = p
или
		p
	p cos (0 — a)
381. Вывести полярное		уравнение	прямой,		если
даны:	угол р наклона прямой к полярной оси				и длина
1)	угол р наклона прямой к полярной оси				и длина
перпендикуляра р, опущенного из полюса на эту пря
мую. Написать уравнение этой прямой в случае				р =	-^-,
/7 = 3;	отрезок а, который отсекает прямая на			поляр
12)	отрезок а, который отсекает прямая на			поляр
ной оси, считая от полюса, и полярный угол				а	нор
мали	этой прямой. Написать уравнение		этой	прямой

вслучае а — 2, a = — л;

3)угол р наклона прямой к полярной оси и отре зок а, который отсекает прямая на полярной оси, счи тая от полюса. Написать уравнение этой прямой в слу

чае р = ~ , а = 6.

382. Вывести полярное уравнение прямой, проходя щей через точку М ^гщ в,) и наклоненной к полярной оси под углом р.

383. Вывести полярное уравнение прямой, проходя щей через точку Afi(p,;6i), полярный угол нормали

которой равен а.	уравнение прямой, проходящей че
384. Составить	уравнение прямой, проходящей че
рез точки Mx(pi;0i)	и А42(р2; 02) .

Г Л ABA 4

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

§	17. Окружность
Уравнение	« ) 2 + (у - р)2 = Я2	(!)
(х -	« ) 2 + (у - р)2 = Я2	(!)

определяет окружность радиуса R с центром С(а; Р).

Если центр окружности совпадает с началом координат, т. е,

если а «*» О, р = 0, то уравнение (1)		принимает вид
	а + У =	Я*.	(2)
385.	Составить уравнение окружности		в каждом	из
следующих случаев:

1)центр окружности совпадает с началом координат

иее радиус R = 3;

2)	центр окружности совпадает	с точкой С(2 ; —3)
и ее радиус R = 7;		начало координат и
3)	окружность проходит через	начало координат и

ее центр совпадает с точкой С (6; —8);

4)окружность проходит через точку /1(2; 6) и ее центр совпадает с точкой С(—1; 2);

5)течки А(3; 2) и В(— 1; 6) являются концами од ного из диаметров окружности;

6)центр окружности совпадает с началом координат

и прямая 3* — 4у + 20 = 0 является касательной к окружности;

7) центр окружности совпадает с точкой C(I; —1) и прямая 5х — 12у -f- 9 = 0 является касательной к окруж ности;


8)	окружность		проходит	через	точки А(3; 1)		и
В ( — 1; 3),		а се центр лежит		на прямой		Зх — у — 2 =	0;
9)	окружность		проходит	через	три	точки А( 1;	1),
В(1; - 1 )		И С (2; 0);
10)	окружность проходит через три точки: МЛ — 1; 5),

Мг(—2 ; - 2 ) и Ms(5; 5).

386. Точка С(3; —1) является центром окружности, отсекающей на прямой 2х— 5у + 18 — 0 хорду, длина которой равна 6. Составить уравнение этой окружности.

387. Записать уравнения окружностей радиуса R = Y 5, касающихся прямой х — 2у — 1 = 0 в точке

Afi(3; 1).

388. Составить уравнение окружности, касающейся двух параллельных прямых: 2х -f- У — 5 = 0, 2х -J- у + -f- 15 = 0, причем одной из них — в точке А ( 2 ; 1).

389.Составить уравнения окружностей, которые про ходят через точку /1(1; 0) и касаются двух параллель ных прямых: 2х + у + 2 = 0, 2х + У — 18 = 0.

390.Составить уравнение окружности, которая, имея

центр на прямой 2х-\-у = 0, касается прямых 4х —

—Зу + 10 = 0, 4х — Зу — 30 = 0.

391.Составить уравнения окружностей, касающихся

двух пересекающихся прямых: 7х — у — 5 =		0, х-\-у-{*.
-f- 13 =	0, причем одной из них — в точке Mt ( 1; 2).
392.	Составить уравнения окружностей,	проходящих

через начало координат и касающихся двух пересекаю


щихся прямых: х + 2у — 9 =			0, 2х — у 4-2 =		0.
393.	Составить уравнения окружностей, которые, имея
центры	на прямой	4 х —■5у — 3 = 0, касаются прямых
2х — Зу — 10 = 0, Зх — 2у + 5 = 0.					проходящих
394.	Написать уравнения		окружностей,
через точку Л (—1;		5) и касающихся		двух	пересекаю
щихся	прямых: Зх +	4у — 35 = 0, 4х +		3у +	14 = 0.
395.	Написать уравнения		окружностей,		касающихся
трех прямых: 4х — Зу — 10 =			0, Зх — 4у — 5 = 0 и Зх —

—4у — 15 = 0.

396.Написать уравнения окружностей, касающихся

трех прямых: 3х \ у — 35 = 0, Зх — 4у — 35 = 0 и х —

—1 = 0.

397.Какие из нижеприводимых уравнений опреде ляют окружности? Найти центр С и радиус R каждой

из них:

1)	( х	- 5? + (y + 2 f =	25;	2)	(х +	2)2 У2 — 64;
3)	(х -	5)2 + (*/+ 2)2 =	0;	4)	х2 +	( у - 5 ) 2 = 5;

5)х2Аг У2— 2х + 4# — 20 = 0;

6)х2-\- У — 2х + 4# -f- 14 = 0;

7)	x2 + t/2 +	4 x - 2 y +	5 =	0;	8)	х? + у*+ Х = 0;
9)	x2+ , f - \	6 х - 4 у +	14=	0;	10)	х2 + у2 + у=*0.

398. Установить, какие линии определяются следую щими уравнениями:

1)	у	= + / 9 —х2;					6)	0 =	1 5 - / 6 4
2)	у	— — / 2 5			— х2;		7 )х =		- 2 — / 9	— у2;
3)	л- = - / Г					Г	8)	х = - 2 + / 9 - г / 2;
4)	х =		+	/1 6	-	02;	9) 0 =		— 3 — / 2 1 — 4 х — х2.
5)	0	=	1 5	+ / 6 4		- х	2; 10)	х =	- 5 + /	4 0 - 6 0 - /

Изобразить эти линии на чертеже.

399. Установить, как расположена точка Л(1; —2) относительно каждой из следующих окружностей — вну

три,	вне	или	на	контуре:	1) х2 + 02= 1; 2)	х2 +	02 = 5;
3)	х2 +	02 =	9;	4) х2 +	02 — 8х —40 — 5 =	0;	5) х2 +

+02 — 10х + 80 = 0.

400.Определить уравнение линии центров двух окружностей, заданных уравнениями:

1)	( х - 3 )2 +	02 =	9		и (х +	2)2 +	(0 -	1)2=	1;
2) (х + 2 )Ч		( 0 - 1 ) 2= 1 6			и (х +	2)2 +	(0 +	5)2 =	25;
3)	х2 + 02 —4х +		60 =	0	и х2 + 0®—6х =			0;
4)	х2 + 02 —х +		20 = О		и х2 + 02 +		5х + 20—I = 0 .
401. Составить уравнение диаметра окружности х2 +
+ 02 + 4х — 60 — 17 = 0,				перпендикулярного				к прямой
5х + 20 — 13 =		0.
402. Вычислить кратчайшее расстояние от точки до
окружности в каждом из следующих случаев:
а)	Л (6; - 8), х2 + 02 =			9;	300 +	313 = 0;
б)	В (3; 9), х2 +		02 — 26х +
в)	С (—7; 2 ),х 2 + 02-			1Ох— 140— 151 = 0.
403. Определить координаты точек пересечения пря
мой 7х — 0 + 12 = 0 и окружности (х — 2)2+								{у — I)2 =

=25.

404.Определить, как расположена прямая относи тельно окружности (пересекает ли, касается или прохо дит вне ее), если прямая и окружность заданы следую щими уравнениями:

1) у — 2х — 3 и х2 + 02 — Зх + 20 — 3 = 0;

2) 0 = + * - +

и х2 + 02- 8 х + 2 0 + 12 = 0;

3) 0 = х + 10 и х2 + 02 — 1 = 0.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 246 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20237.12 Mб0Сбор и промысловая подготовка нефти, газа и воды..pdf
#
12.11.20231.62 Mб8Сбор и промысловая подготовка скважинной продукции..pdf
#
12.11.202318.91 Mб55Сборник задач и примеров по резанию металлов и режущему инструменту..pdf
#
12.11.20232.54 Mб34Сборник задач и примеров по технологии машиностроения..pdf
#
12.11.202313.31 Mб18Сборник задач и упражнений по импульсной технике..pdf
#
20.11.202310.44 Mб2Сборник задач по аналитической геометрии.-1.pdf
#
12.11.20238.94 Mб9Сборник задач по аналитической геометрии..pdf
#
19.11.202327 Mб25Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс..pdf
#
19.11.202346.05 Mб2Сборник задач по высшей математике. 2 курс.pdf
#
20.11.202318.36 Mб4Сборник задач по курсу математического анализа.-1.pdf
#
12.11.202319.54 Mб35Сборник задач по курсу математического анализа..pdf