книги / Сборник задач по аналитической геометрии.-1

углах. 342. 1)^В во/чмктлькых углах; 2)

в смежных углах; 3) в од-

мом

углу.

<>43.

Внутри

треугольника.

344.

Вне

треугольника.

345.

Острый

угол.

346.

Тупой

угол.

347.

8х +

4р — 5 =

0.

348.

х +

3i/ — 2 =

о.

349.

Зх — 19 =

0.

350.

10х— Юр — 3 =

0.

351.

7х +

5Ьр — 40 =

о.

352.

х + у + 5 =

0.

353.

S (2;

—1).

334.

1) ох +

2!/ — 7 =

0;

2)2х — р =

0;

3)

у — 2 =

0;

4)

х — 1

=

0;

0)

4х +

Зг/ — 10 =

0;

6 ) Зх — 2# +

1 =

0.

355.

74х +

1Зр +

39 =

0.

356.

х -

у -

7 =

0.

357.

7 х + 1 9 р — 2 =

0.

358.

х -

1/ +

1

=

0,

359.

4х -

5.7 +

22 = 0. 4х +

у -

18 +

0,

2х -

у +

1 =

0.

360. х - 5 р +

+

13 — 0,

Ох +

у +

1з в, о.

361.

5 х — V — 5 =

0

(ВС),

х — и +

+

3 =

0 (ЛС),

Зх — р — 1= О (CN).

362. х -

5р -

7 = 0, 5х +

у +

+

17 =

0,

Юх +

7;/ — 13 =

0.

363. 2х +

у +

8 =

0,

х +

2р +

1 =

0.

366.

С =

—29.

0,

367. а ф — 2.

368. Уравнения

сторон

квадрата:

•1х +

Зр — 14 =

З х -4 р +

27 =

О, 3х —4у +

2 =

0, 4х +

Зу +

1 1=0;

уравнение его в горой диагонали: 7х—у +

13 =

0.

369. х +

у +

5 =

0.

370.

х +

у +

2 =

0,

х — у — 4 =

0,

Зх +

у =

0.

371.

2х +

у — б =

О,

9х +

2р +

18 =

0.

372. Зх — у +

1 =

0.

374. Зх — 4у +

20 =

О,

4х +

3у ~

15 =

0.

375. х +

5у — 13 = 0,

5х — у +.13 = 0.

376.

Усло­

вию задачи удовлетворяют две прямые: 7х +

у—9 =

0, 2 х + // + 1=0.

377.

5х -

2р -

7 =

0. 378. АС: Зх +

8р — 7 =

О, BD: 8 х -3 р + 7 =

0.

379.

lx + i/ +

5 =

0,

х — 2у — 1 = 0 ,

2х +

5// — 1 1 = 0.

381.

1) р sin ({1 — 0 ) =

р,

р sin ^

— 0j = 3;

2 )

р cos (0 — а) =

a cos а,

р cos ^0 +

-g-

=

— I;

3)

р sin (р — 0) =

a sin р,

р sin ^

— 0^ =

3.

582. р sin О — 0) =

р; sin (0 — 0,).

383.

р cos (0 — а) = р, cos (0! — а).

384.

р sin (0 — 0 ,)

V V

+

pf —2рр, cos(0—0|)

385.

|)

х-’+ Г = 9 ;

------- ^--------— =

'

Г.

п

"Г*—

1 ----- Ч

Pa sin (0^ — 0,)

V p|+p?—2p2Pj cos (02-

0,)

■2)

(x -

2)2 +

(,, +

3)2 =

49; 3 )

(* _ 6)2 +

(p + 8)2 =

100; 4) (x +

l )2 +

+ ( : / -

2)2 =

25;

5)

(x -

i )2 +

(y -

4)2 = 8;

6)x2 + p2= 1 6 ;

7)

( x -

l)2 +

(p +

П’ =

4; 8)

(x — 2)2 +

(p — 4)2 =

10;

9) (x -

1)2 +

+

y - '=

1;

10) ( x -

2)s +

( i / -

l)2 =

25.

386.

(x -

3)2 +

{у +

l)2= 38.

387. (x — 4)2 +

(у +

l)2 = 5 и (x — 2)2 +

(у — 3)2=

5. 388. (x +

2)2+

+ (У+ 1)2 =

20.

389.

(x — 5)2 +

(p +

2)2 =

20

и

( x - - | ) 2 +

+

( i' ~

T

' )

=

~°-

390.

( x -

l )2 +

(p +

2)2=

16.

391.

( x + 6)2+

+ (У ~ 3)5 = 50 и (x -

29)2 + (i/ +

2У =

800. 392. ( x - 2 )2 +

( p - 1 )

-

( -

5

/

+

( У +

f

)

S =

f

.

393.

(x -

2)2 +

ip -

, ,* =

"

P

+

\"

' 13‘

394.

(x — 2)2 +

(p — 1 )2 =

25 it (-v +

^

(x + 8)2+ (y

7)-';

.

U n i

I .. ...

0 \2 _J_ / . ___I \2

_

..

/

1

2 0 2 +

\ y

349 +

395, (x +

'

•

\

+

y )

+

(у +

у

" ( *

- y

) ‘ +

49/

) ' =

1

+ (

396.

(x — 5)2 +

p" =

16,

( x +

15)2 +

y- ~

256,

32 \-

,

r ,

,

T J ~ \ - T ) " р - х Ы ^ + т М т ) -

.597.

\ равнения

1),

2),

4),

5),

8)

и (10)

определяют

окружности;

i!

C (5;

2),

l\ ■= 5,

2) C (—2;

0),

/? =

8;

3)

уравнение определяет

4

1

']

)

Рис. 90.

Рис. 91.

Рис.

92.

8)

Р — т г i 9) уравнение

не определяет никакого гео­

метрического

образа на

плоскости;

10) С ^0; — - j ) ,

R —

5)

полуокружность

радиуса

А? =

8 с центром С (0;

15), расположен­

ная

над прямой

/ / — 15 = 0

(рис. 87); 8 ) полуокружность радиуса

А? =

8

с центром С (0; 15),

расположенная

под прямой у —

15 = 0

(ряс. W); 7) полуокружность радиуса

R =

3 с центром'С (—2; 0),

расположенная

плево

от прямой

х + 2 =

0 (рис. 89);

8) полуокруж­

ность

ра п:уса

/? =

3

с центром

С {—2; 0),

расположенная

вправо

от

прямой * +

2 =

0

(рис. 90):

9) полуокружность

радиуса

R — о

5)

внутри

окружности.

400.

I)

* 4 - 5 у —

0;

2)

* +

2 =

0;

3)

Зх — // — 9 =

0;

4)

у -f

1 = 0 .

401. 2х — 5# 4-19 =

0.

402. а)

7:

6)

17;

в) 2.

403.

М, (—1; 5)

и й/2 (—2 : —2). 404.

1)

Пересекает

окружность;

2) касается окружности;

3) проходит вне окружности.

405.

1 > ! * К - | ;

2 ) к =

± ~ - ,

3,

I * ! > - | -

406.

R *.

407. 2х 4- у — 3 =

0. 408. 11* — Ту—69 — 0. 409. 2 У 5 . 410. 2х —Зу +

4 - 8 = 0.

Зх +

2у — 14 =

0.

0.

412.

х- 4- у- 4 - 6* — 9у — 17 =

0.

413.

13.V- 4- 13т/2 4- 3* 4- 71// =

414.

7х -

4у =

0.

415.

2.

416.

10.

417.

<.* 4-3)* 4(11 — 3)* = 1 0 .

4IS-

* — 2т/+

5 =

0.

419.

Зх -

Ау +

4- 43 =

0.

420.

М, ( — у ;

j

) ;

(1 =

2 1 5 .

421.

*,* 4- у ху =

/?-.

422.

(х, — а )(х — а) 4- (in ~

(!) ~ Р ) ^

423-

45°

*24.

903.

425.

(а, — а ,) 2 -f (Р, — Р2)“ =

Я? + Щ:

427>

х — 2у - 5

=

0

и

ох _

, , _

о =

о. 428. 2х +

и — 5 = 0 н х — 2у 4 11

=

о. 429. 2х 4

//—

— 5 =

0,

х —■2у — 0.

430.

907

431.

х 4- 2у 4-5 =

0.

432. d =

7.5.

433.

A =

7.

434.

А =

уТо.

435. 3.

43ri. 2.г 4

У ~

1 = 0

«

2х + у +

+

19 =

0.

437.

2х 4- / / — 5 =

0 и 2х4-//4-о =

0.

438.

р = 2tf cos (0 -

0.)

(рис. 93).

439.

I)

р =

2/? cos 0

(рис. 941; 2)

Р = — 2Rcos0

(рис. 45);

3)

p =

2/?sin0

(рис. 96);

4)

p =

-2A ?sm 0

(рис.

97). 440.

1) (2;

0)

и /? = 2: 2)

И

3 >

4> ( у ; — | ) я

=

4

(з;

и

R =

3;

6 ) ( • » ; £ * )

Н

/? =

4:

7)

(й;

- • £ )

и

/? =

4 .

441.

1)

х! +

4

-

Л.с =

0;’

2) х- +

У 2 + 4у

~

0;

3)

х2 +

у

' -

— х 4- // — 0.

442.

1)

Р =

СО5 0;

2)

Р — -

3^.8 0;

3)

p = 5sm 0;

4)

р = — sin 0:

5)

р =

cos 0 4- sm 0.

443.

р = /?sec (0 — н„).

1;

2 )

V

(Г _ р

3)

444.

1)

95

г

л

15 + 1Г

169 +

144 ~

8) I ii 4: 9) - I

ii ~ ;

10) д,- и i. 447. I) 5 и 3: 2) /',! — ! 01,

0

•}

<.*

4

‘>5

Ft <4; 0); 3} * — T ; 4} x ^

i — . 448. 1<> кв. t\i. 449. !) | 5 u 3;

O

4

2) f ,

(0; - 2 ), Fs (0; 2);

3) e = - | ;

4)

//= ±

450.

-iig ? -

кв.

ед.

451.

— . 452.

См. рис.

98.

453.

3;

3; -~ j. 454. Томки

Л, и

.46 лежат

на эллипсе;

Аъ A t и

Ав — внутри эллипса;

,-1s,

Л4,

Аъ Аа и Л,о — вне эллипса. 455. 1) Половина эллипса

х‘*

и'

-jg- +

— 1,

расположенная

в верхней полуплоскости

(рис. 99);

2)

половина эл-

х’^

11^

л-шса ■К- +

5

Й - 1' расположенная в нижней полуплоскости (рис. 109);

У

ZO

3) половина

эллипса

- у - +

=

1. расположенная

в левой гюлу-

1!Л0СК(.С1И

(рис.

10!);

4) половина

эллипса х2 Ч—

=

!.

располо­

женная в

правой

полуплоскости (рис. 102). 458.

15,

457.

8.

458.

5,v +

12г/ +

10 =

0, х — 2 =

0.

459.

ту =

2,6, гг =

7,4.

460.

20.

461.

10.

462.

( - 5 ;

з К з )

и

( - 5 ; - з / з ) .

463.

( - 2 ;

Л р - )

и

467.

±

2_

468.

(х — А'о )2

,

(у — уо)-

469.

(х — 3)

,

(у + 4)~

1.

0

+

10

»

у

471.

1)

С (3; —1).

полуоси

3

и

уравнения

У 5 ,

е= -^-р

директрис: 2 х — 15 =

0, 2х +

3 =

0;

2)

С ( — 1; 2),

полуоси

5 и 4,

е =

уравнения директрис: Зх — 22 =

0, Зх +

28 =

0; 3 ) С ( 1 ;—2),

полуоси

2 / 3

и 4, е =

у ,

уравнения

директрис: у —6=0, у +10=0 .

472.

1) Половина

(х — З)2

(н + 7)2

1,

расположенная

эллипса- — —

т----- =

над

прямой у + 7 = 0 (рис.

JI)

2)

*

эллипса

(

1 0)2

103);

половина

- — ------- Ь

+

( у - О2

=1,

расположенная

под прямой

у — 1— 0 (рис. 104);

16

л*

\У+ З)2

3)

половина

. расположенная в левой

эллипеа -jg-Н— 1

^-----= 1

полуплоскости (рис. 105); 4) половина эллипса v

- +

--у

' ■= 1,

расположенная

вправо

от

прямой

* +

5 = 0

(рис.

106).

473.

1)

(* ~ 2)г

2)

2*2 - 2 * 0

+

202- 3 =

О;

3) 68*2+

+

48*0 +

169

0; 4)

II*2+ 2 * 0 +

1102 -

48* -4 8 0 - 24 =

0.

82i/2- 6 2 5 =

474. 5* 2 +

902 +

4* -

180 — 55 = 0. 475. 4*2+30=+32* -

140+59=0.

476.

4* 2 +

502 +

14* +

400 +

81 =

0.

477.

7* 2 — 2*0 +

7у2 — 46* +

+

20 +

7 1 = 0 .

478. 17*2 +

8*0 +

2302 +

ЗО* — 400— 175 =

0.

479.

* 2 +

202 -

6* +

240+31 = 0 .

480.

^4; - |J ,

(3; 2).

481.

(з;

-

прямая

касается

эллипса.

482.

Прямая

проходит

вие

эллипса.

483.

1)

Прямая

пересекает

эллипс;

2) проходит

вне

эллипса;

3)

касается

эллипса.

484.

1)

При

| т | < 5 — пересекает эллипс;

2)

мри /л =

± 5 — касается эллипса; 3) при | т \ > 5 — проходит вне

эллипса. 485. k2a2+b2= m 2. 486.

а2

о2

1.

488. З х + 20-Ю = О

и 3* + 2 0 +

10 =

0.

489. * +

0 — 5 =

0 и * +

0 + 5 =

0.

490. 2* —

-

0 - 12 =

0, 2*—0+12 = 0; d =

24 l/'>f

491.

Л М ~3; 2);

,___

—

d = \

13.

492.

д + 0

— 5 =

0

и

* +

40 — 10 =

0.

493.

4* — 5 0 — 10 =

0.

.J>

..О

О

"

"

494.

0 =

18.

495.

^

+

i L

: 1

или 80

скости (рис. 109); 4) вег В/. ГШЗОрООЛЫ ~^zz.' ■”

=а

],

PeiC-'K »ТПчССП®

25

4

мая и верхней

полуплоскости

(рис. ПО).

522.

д: — 4 ] '5 у +

10 =

0

„ хг_ 1 0 = 0.

523. r i = 2 - i - ,

тг = 10-4_.

524.

8.

525.

12.

526.

10.

527. 27. 528. (lO; J - ) и ^10;

529. ( - 6; 4 \ '¥ )

и ( - 0 ; -

4 Г З

.)•

530. 2 -^ - и 26-jV.

531. См. рис. 1U.

532. !) —

Рис. ПО.

Рис.

111.

асимптот;

4х — 3</ — 17 =

0, 4д- +

3</ + 1 =

0;

2)

С (—5; 1),

а — 8,

/>~в,

е =

1,25,

уравнения директрис: х ~ ~

11,4

н х = 1 ,4 ,

уравне­

ния

асимптот:

Здс -+- 4у 4- 11 == 0

и

Зх — 4у +

19 =

0; 3) С (2; — I ),

я =

3,

b — 4,

е= 1 ,2 5 ,

уравнения

директрис:

</= — 4,2,

у — 2,2,

уравнения асимптот: 4д- + ’зу — 5 =

0, 4.v — Зу — 11 = 0 . 542. 1) Часть

гиперболы

(х — 2)2

(у 4-

1)г

—

расположенная

над

прямой

-—

- ----------

Ч

у -J- 1 = 0

(рнс.

112); 2 ) ветвь

гиперболы - * -------

—-

— — 1,

/ у _д\ 2

_1_ 2)2

--------- '-------——------ = 1, расположенная влево от прямой * — 9 = 0

16

4

(* ~ 5)г

(у + 2)2

(рис. 114); 4)

часть гиперболы

; — 1 , располо­

9

16

женная

влево от прямой

* — 5 = 0 (рис.

115).

543.

1) (лг- З ) -

(У - 2)2 =

144

1; 2) 24ху +

7у- — 144 =

0;

3) 2ху +

2* — 2у +

7 = 0.

25

544

2

545

j .2

„2

546.

х- — 4у- — 6*

9

—

___ ^ _____ 1

’

-

16

‘

25

144 “

0. 548. 91*2-

24у -

47 =

0. 547. 7* 2 -

6ху - у2 + 26* - 18^—17 =

— 100*^ + 16г/2 — 136* +

86у — 47 = 0.

549. ху — •—

при повороте

старых

осей на угол —45°;

ху = ---- при повороте на угол +45°.

559. 1)

С (0; 0),

а = Ь = 6, уравнения

асимптот:

* = 0 и

у = 0;

2)

С (0; 0), а = Ь=

3, уравнения асимптот: * =

0 в у =

0, 3) С (0; 0),

14

*>\

(—, — —1