книги / Сборник задач по аналитической геометрии.-1

405. Определить, при каких значениях углового ко­ эффициента k прямая у = кх

1) пересекает окружность х2 -f у2 — 10* -f- 16 = 0;

2)касается этой окружности;

3)проходит вне этой окружности.

406. Вывести условие, при котором прямая у = kx -f-'

которых окружность х2 -)- у2 — 2х -(- 2у — 14 — 0 отсекает

хорды длиною 2 УЪ .

411. Даны две окружности (х — tn^f -f (г/ — /г,)2 = R2X, (х — т 2)2 + (у — п?У — Я» пересекающиеся в точках

Mi(xi; У1) и Л12(*у, уг). Доказать, что любая окруж­ ность, проходящая через точки Mi, М2, а также прямая

—0 при надлежащем выборе чисел а и р .

412.Составить уравнение окружности, проходящей через точку /1(1; —1) и точки пересечения двух окруж­

ностей: х2 -f Уг + 2х — 2у — 23 = 0, х2 -\-у2 — 6х -f-12</ —

-35 = 0.

413.Составить уравнение окружности, проходящей

через начало координат и точки пересечения двух окруж­

точки пересечения двух окружностей: х2 -f у2 -f Зх — у = = 0, Зх2 + 3^2 + 2х + у = 0.

415. Вычислить расстояние от центра окружности х2 + у2 = 2х до прямой, проходящей через точки пересе­

(.1

417. Центр окружности лежит на прямой x + f/ = 0« Составить уравнение этой окружности, если известно,

=10.

418.Составить уравнение касательной к окружности х2 + у2 = 5 в точке А (— 1; 2).

419.Составить уравнение касательной к окружности

найти точку Ми ближайшую к прямой 8х — 4у -f- 73 = 0, и вычислить расстояние d от точки Mi до этой пря­ мой.

называется угол между прямой и касательной к окруж­ ности, проведенной в точке их пересечения).

зывается угол между их касательными в точке пересе­

пересекаются под прямым углом.

нокружности х2 -\-У2 = 5. Составить их уравнения.

428.Из точки Л(1; 6) проведены касательные к

окружности х2^}-у2^ - 2х — 19 = 0. Составить их урав­ нения.

« 2

ный этими касательными.

431. Из точки Р(2; —3) проведены касательные к

точки С до хорды, соединяющей точки касания.

433.Из точки Р ( —9; 3) проведены касательные к окружности хг + у2 — 6* + 4у — 78 = 0. Вычислить рас­ стояние d от центра окружности до хорды, соединяющей точки касания.

434.Из точки М(4;—4) проведены касательные к

окружности хг + уг — 6* + 2у + 5 = 0. Вычислить дли­ ну d хорды, соединяющей точки касания.

435. Вычислить длину касательной, проведенной иэ точки А ( 1; —2) к окружности хг + уг Ц- х — Зу — 3 = 0.

436. Составить уравнения касательных к окружности х2 + Ф + 10х — 2у + 6 = 0, параллельных прямой 2х +

+У— 7 = 0.

437.Составить уравнения касательных к окружности

х2 + У2 — 2х + 4у = 0, перпендикулярных к прямой х —

~2у + 9 = 0.

438.Составить уравнение окружности в полярных ко­ ординатах по данному радиусу R и полярным координа­ там центра C(R; 0о).

439.Составить уравнение окружности в полярных ко­ ординатах по данному радиусу R и полярным координа­

там центра окружности: 1) C(R; 0); 2) C(R; л);

3)4) c(R-, - - J ) .

8!,я( т ~ в ) .

3)' р = cos 0 — sin 0. Составить их уравнения в декарто­ вых прямоугольных координатах при условии, что полярная ось совпадает с положительной полуосью Ох,

аполюс — с началом координат.

442.Окружности заданы уравнениями в декартовых

полярных координатах при условии, что полярная ось совпадает с положительной полуосью Ох, а полюс —

сначалом координат.

443.Составить полярное уравнение касательной к

окружности р = R в точке Mi (Я; 0о).

§ 18. Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, назы­ ваемых фокусами, есть постоянная величина, большая, чем расстоя-| иие между фокусами. Постоянную сумму расстояний произвольной] точки эллипса до фокусов принято обозначать через 2а. Фокусы

Пусть дан эллипс. Если оси декартовой прямоугольной системы координат выбраны так, что фокусы данного эллипса располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат уравнение данного эллипса имеет вид

(О

где b = Y a 2 — с 2 ; очевидно, a > b . Уравнение вида (1) называется каноническим уравнением эллипса.

При указанном выборе системы координат осн координат являются осями симметрии эллипса, а начало координат — его цен­ тром симметрии (рис. 12). Оси симметрии эллипса называются

64

просто его осями, центр симметрии — просто центром. Точки, в ко­ торых эллипс пересекает своп оси, называются его вершинами. На

относительно начала координат), то уравнение эллипса имеет тот же вид (1), но в этом случае Ь > а; следовательно, если мы желаем буквой а обозначать большую полуось, то в уравнении (1) нужно буквы а и 6 поменять местами. Однако для удобства формулировок задач мы условимся буквой а всегда обозначать полуось, располо­ женную на оси Ох , буквой 6 — полуось, расположенную на оси О у , независимо от того, что больше, а или 6. Если а = 6, то уравне­ ние (1) определяет окружность, рассматриваемую как частный слу­ чай эллипса.

Число

с

е = —,

а

где а — большая полуось, называется эксцентриситетом эллипса. Очевидно, 8 < 1 (для окружности е = 0). Если М ( х \ у ) — произ­ вольная точка эллипса, то отрезки F\M — г\ и F2M = г2 (рис. 12) называются фокальными радиусами точки А1. Фокальные радиусы

могут быть вычислены по фор­ мулам

Г{ = а + ех, г2 = а — ех.

Если эллипс определен уравнением (1) и а > 6, то прямые

(рис. 12) называются дирек­ трисами эллипса (если 6 > а, то директрисы определяются уравнениями

Каждая директриса обладает следующим свойством: если г — расстояние произвольной точки эллипса до некоторого фокуса, d — расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом

директрисы, то отношение г есть постоянная величина, равная

эксцентриситету эллипса

г

Если две плоскости а и р образуют острый угол <р, то проек­ цией на плоскость р окружности радиуса а , лежащей на плоско­ сти а, является эллипс с большой полуосью а \ малая полуось 6

втого эллипса определяется по формуле

b = a cos <р

(рис. 13).

Если круглый цилиндр имеет в качестве направляющей окруж­ ность радиуса Ь, то в сечении этого цилиндра плоскостью, накло­ ненной к оси цилиндра под острым углом <р, будет эллипс, малая полуось которого равна 6; большая полу-

'ось а этого эллипса определяется по формуле

а -

Ь

sin ф

(рис. 14).

444.Составить уравнение эл­

7)расстояние между его директрисами равно 5 и расстояние между фокусами 2с = 4;

8)его большая ось равна 8, а расстояние между ди­ ректрисами равно 16;

9)его малая ось равна 6, а расстояние между дирек­ трисами равно 13^

10)расстояние между его директрисами равно 32 и

445. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат, симметрично относительно на­ чала координат, зная, кроме того, что:

1)его полуоси равны соответственно 7 и 2;

2)его большая ось равна 10, а расстояние между фо­ кусами 2 с.= 8;

66

иэксцентриситет e — -зj.

446.Определить полуоси каждого из следующих эл­

липсов:

l ) 4 + T e l i 2) Т + У2 = 1> 3) *2 + 25у2 = 25;

447.Дан эллипс 9x2 -f 25t/2 = 225. Найти: 1) его полуоси; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения ди­ ректрис.

448.Вычислить площадь четырехугольника, две вер­

шины которого лежат в фокусах эллипса х2 4- 5у2 = 20,

адве другие совпадают с концами его малой оси.

449.Дан эллипс 9х2 4- 5г/2 = 45. Найти: 1) его полу­ оси; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения дирек­ трис.

450.Вычислить площадь четырехугольника, две вер­ шины которого лежат в фокусах эллипса 9х24-5#2= 1, две другие совпадают с концами его малой оси.

451.Вычислить расстояние от фокуса F(c\ 0) эллипса

до односторонней с этим фокусом директрисы.

452. Пользуясь одним циркулем, построить фокусы эллипса -jg 4- g = 1 (считая, что изображены оси коор­

динат и задана масштабная единица).

454. Определить, какие из точек ЛД—2;3), Аг(2 ;—2), Л3(2; - 4 ) , Ль(—1; 3), Л3(—4; —3), Л6(3 ;- 1 ), Л7< 3;-2),

диус точки М эллипса равен 10. Вычислить расстояние от точки М до односторонней с этим фокусом дирек­

трисы.

2

457. Эксцентриситет эллипса е = -g , расстояние от

точки М эллипса до директрисы равно 20. Вычислить расстояние от точки М до фокуса, одностороннего с этой директрисой.

458. Дана точка Afj (2; — -jj на эллипсе + -=g- = 1;

составить уравнения прямых, на которых лежат фокаль­

Вычислить расстояние от точки АД эллипса с абсциссой, равной 2, до директрисы, односторонней с данным фо­ кусом.

v 461. Эксцентриситет эллипса е — - j, центр его совпа­

дает с началом координат, одна из директрис дана урав­ нением .г — 16. Вычислить расстояние от точки Mi эл­ липса с абсциссой, равной —4, до фокуса, односторон­ него с данной директрисой.

стояние которых до левого фокуса равно 2,5.

68

пендикуляр к его большой оси. Определить расстояния от точек пересечения этого перпендикуляра с эллипсом до фокусов.

465. Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если даны:

о= 4;

3)точки М,(4; — Y 3) и М2(2 ]/2- 3) эллипса;

4)точка /Vf,(l/l5; — l) эллипса и расстояние между

его фокусами 2с = 8;

1)его малая ось вид­ на из фокусов под углом

в60°;

2)отрезок между фоку­

сами виден из вершин ма- лой-оси под прямым углом;

3)расстояние между директрисами в три раза боль­ ше расстояния между фокусами;

4)отрезок перпендикуляра, опущенного из центра эллипса на его директрису, делится вершиной эллипса

пополам.

467. Через фокус F эллипса проведен перпендикуляр к его большой оси (рис. 15). Определить, при каком зна­

чении эксцентриситета эллипса отрезки АВ и ОС будут параллельны.

69

468.Составить уравнение эллипса с полуосями а, Ь и центром С(х0; у<>), если известно, что оси симметрии эл­ липса параллельны осям координат.

469.Эллипс касается оси абсцисс в точке Л(3; 0) и

оси ординат в точке 5(0; — 4). Составить уравнение этого эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны координатным осям.

470.Точка С(— 3; 2) является центром эллипса, ка­ сающегося обеих координатных осей. Составить урав­ нение этого эллипса, зная, что его оси симметрии парал­ лельны координатным осям.

471.Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис:

3)* = — 2 \ — 5 — 6// — у2',

4)х =■ — 5 4—д* \/8 4- 2у - у й.

Изобразить эти линии на чертеже.

473. Составить уравнение эллипса, зная, что:

70