книги / Сборник задач по аналитической геометрии.-1

уравнение этой плоскости в координатах при условии, что п = {А, В, С}.

1123. Даны единичный вектор я0 и число р > 0. До­ казать, что уравнение гя°— р = 0 определяет плоскость, перпендикулярную к вектору я0, и что р есть расстояние от начала координат до плоскости. Написать уравнение этой плоскости в координатах при условии, что век­ тор п° образует с координатными осями углы а, 0 и у.

1124. Вычислить расстояние d от точки М, (г,) до пло­ скости гя° — р = 0. Выразить расстояние d также в ко­

уравнение плоскости, которая проходит через точку М{ перпендикулярно к вектору M,M2. Написать уравнение

ходит через точку М0(г0) параллельно векторам ах и а2. Написать уравнение этой плоскости также в координа­

через три точки Мх(г,), М2 (г2) и М3 (г3). Написать урав­ нение этой плоскости также в координатах при условии,

ходит через точку М0(г0) перпендикулярно к плоскостям:

деляет прямую, которая проходит через точку М0(г0) параллельно вектору а, т. е. что этому уравнению удо­

Пусть г удовлетворяет данному уравнению; по правилу вычитания векторов г — Го =» М„М; так как [(г — г0) в] = 0, то [М0Ма] = 0;

следовательно, вектор МцМ коллинеарен вектору в. Значит, точка М действительно лежит на прямой, которая проходит через М0 в на­

171

удовлетворяет радиус-вектор г точки Af в том и только в том слу­ чае, когда М лежит на указанной прямой (г называется текущим радиус-вектором уравнения).

ИЗО. Доказать, что уравнение [га] = т определяет прямую, параллельную вектору а.

1131. Доказать, что параметрическое уравнение г = = r a-\-at, где t — переменный параметр, определяет пря­ мую, которая проходит через точку М0(г0) (т. е. при изменении t точка М (г) движется по указанной прямой).

через точку М( (ri) перпендикулярно к прямой г = г0 — at. Написать уравнение этой плоскости также в координатах

нение в параметрическом виде. Написать каноническое уравнение этой прямой в координатах при условии, что г0= {х0; у0; ZQ}, я = {Л; В\ С}.

1137. Прямая проходит через точку М0(г0) парал­ лельно плоскостям га, -f- D, — 0, гя2 + D2 = 0. Составить ее уравнение в параметрическом виде. Написать кано­ ническое уравнение этой прямой в координатах при условии, что г0={х0; уу, z0}, п,={Ай By, С,}, га2={Л2; В2\ С2}.

1138. Вывести условие, при котором прямая г =

1141. Найти радиус-вектор точки пересечения прямой r — r 0+ a t и плоскости rn-\- D — Q. Вычислить также

172

этой проекции при условии, что /•)={;*:,; у,; z j, ге={Л; В; С}. 1143. Найти радиус-вектор проекции точки М] (г,) на

ординатах при условии, что n ={xi; у,; г,}, г0={х0; у0: г0},

а — {1; гп; п).

1145. Вычислить кратчайшее расстояние d между двумя скрещивающимися прямыми: г = г1+ в1/ и г = = г2 + с2Л Выразить расстояние d также в координатах

(т. е. что этому уравнению удовлетворяет радиусвектор г точки М в том и только в том случае, когда М лежит на указанной сфере).

1147. Найти радиус-векторы точек пересечения прямой

Составить уравнение касательной плоскости к этой сфере в точке Л4,.

1150. Составить уравнение аферы, которая имеет центр С(Г]) и касается плоскости гл + Д = 0. Написать уравнение этой сферы также в координатах при усло­

m

§ 46. Поверхности второго порядка

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой си­ стеме декартовых прямоугольных координат определяется уравне­ нием

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида. Величины а, Ь, с суть полуоси эллипсоида (рис. 47), Если все они

различны, эллипсоид называется трехосным; в случае, когда какиенибудь две из них одинаковы, эллипсоид является поверхностью вращения. Если, например, а = Ь, то осью вращения будет Ог. При а — Ь < с эллипсоид вращения-называется вытянутым, п р и а = 6 > с— сжатым. В случае, когда а = Ь — с, эллипсоид представляет собой сферу.

Гиперболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовыхпрямоугольных координат определяются урав­ нениями:

Гиперболоид, определяемый уравнением (2), называется одно­ полостным (рис. 48); гиперболоид, определяемый уравнением (3), — двухполостным (рнс. 49); уравнения (2) и (3) называются канониче­ скими уравнениями соответствующих гиперболоидов. Величины а, Ь, с

т

называются полуосями гиперболоида. В случае однополостного гиперболоида, заданного уравненнеы (2), только первые из них (а и Ь) показаны на рис. 48. В случае двухполостного гиперболоида, задан­ ного уравнением (3), одна нз них (именно, с) показана на рис. 49. Гиперболоиды, определяемые уравне­ ниями (2) н (3), при а б являются поверхностями вращения.

Параболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются урав­ нениями:

где р я д — положительные числа, называемые параметрами пара­ болоида. Параболоид, определяемый уравнением (4), называется эллиптическим (рис. 60); параболоид, определяемый уравнением (5),— гиперболическим (рис. 51). Уравнения (4) н (5) называют канониче­ скими уравнениями соответствующих параболоидов. В случае, когда р = д, параболоид, определяемый уравнением (4), является поверх­ ностью вращении (вокруг Ог).

Рассмотрим теперь преобразование пространства, которое назы­ вается равномерным сжатием (или равномерным растяжением).

Выберем какую-нибудь плоскость; обозначим ее буквой о. За­ дадим, кроме того, некоторое положительное число д. Пусть М —

175

произвольная точка пространства, не лежащая на плоскости a, Af0— основание перпендикуляра, опущенного на плоскость а из точки М. Переместим точку М по прямой АШ0 в новое положение М' так, чтобы имело место равенство

М0М' = q ■МаМ

и чтобы после перемещения точка осталась с той же стороны от плоскости а, где она была первоначально (рис. 52). Точно так же мы поступим со всеми точками пространства, не лежащими на пло­ скости а; точки, которые расположены на плоскости а, оставим на

своих местах. Таким образом, все точки пространства, за исключе­ нием тех, что лежат на плоскости а, переместятся; при этом рас­ стояние каждой точки от плоскости а изменится в некоторое опре­ деленное число раз, общее для всех точек. Описываемое сейчас пе­ ремещение точек пространства называется его равномерным сжа­ тием к плоскости а; число q носит название коэффициента сжатия.

Пусть дана некоторая поверх­ ность F; при равномерном сжатии пространства точки, которые ее со­ ставляют, переместятся и в но­ вых положениях составят поверх­ ность F'. Будем говорить, что поверхность F' получена из F

в результате равномерного сжатия пространства. Оказывается, что

17©

в результате двух последовательных равномерных сжатий прост­ ранства к координатным плоскостям: к плоскости Оху с коэффициен-

АГ (х'\ у'; г')—точка, в которую переходит при этом точка М (х; у; г). Выразим координаты х', у', г' точки М' через координаты х, у, г точки М. Так как прямая ММ' перпендикулярна к плоскости Оху, то х' ~ х, у' — у- С другой стороны, так как расстояние от точки М' до плоскости Оху равно расстоянию от точки М до этой плоскости,

Сс

помноженному на число <7i==~> т0 г' = —

Таким образом, мы получаем искомые выражения:

Предположим, что М (х; у, г)—произвольная точка сферы

х2+ ys + г2= а2.

Заменим здесь х, у, z их выражениями (7); мы получим:

Следовательно, точка М' (х'; у'; г') лежит на эллипсоиде вращения. Аналогично, мы должны осуществить сжатие пространства к пло­ скости Охг по формулам:

тогда получим трехосный эллипсоид н именно тот, уравнение кото­ рого дано в условии задачи.

Отметим еще, что однополостный гиперболоид н гиперболиче­ ский параболоид суть линейчатые поверхности, т. е. они состоят нз прцмых; эти прямые называются прямолинейными образующими ^казанных поверхностей.

Однополостный гиперболоид

177

имеет две системы прямолинейных образующих, которые опреде­ ляются уравнениями:

“ (•г+ т ) - Р ( | + т ) -

» ( т - т М - Й -

где а и р — некоторые числа, не равные одновременно нулю. Ги­ перболический параболоид

также имеет две системы прямолинейных образующих, которые определяются уравнениями:

* ( г 7

Конической поверхностью, или конусом, называется поверхность, которая описывается движущейся прямой (образующей) при усло­ вии, что эта прямая проходит через постоянную точку S и пересе­ кает некоторую определенную линию L. Точка S называется вер­ шиной конуса; линия L — направляющей.

Цилиндрической поверхностью, или цилиндром, называется по­ верхность, которая описывается движущейся прямой (образующей) при условии, что эта прямая имеет постоянное направление и пере­ секает некоторую определенную линию L (направляющую).

1153. Установить, что плоскость х — 2 = 0 пересекает

лЛ *,2 £>2

эллипсоид -j-Q- Ч— —i—4~ = 1 по эллипсу; найти его по­

луоси и вершины.

1154. Установить, что плоскость z -f 1 == 0 пересекает

найти ее параметр и вершину.

1156. Найти уравнения проекций на координатные плоскости сечения эллиптического параболоида у2 + г2= х плоскостью х + 2у — z = 0.

176

1158. Установить, какая линия является сечением

и найти центр каждой из них.

1160. Установить, при каких значениях т плоскость х + тг — 1 = 0 пересекает двухполостный гиперболоид х2 + У2 — г2— —1 а) по эллипсу, б) по гиперболе.

1161. Установить, при каких значениях т плоскость х - \ - т у — 2 = 0 пересекает эллиптический параболоид

— + -g- = у а) по эллипсу, б) по параболе.

О4 40

имеет одну общую точку с плоскостью 4х—Зг/+ 12г—54=0,

1 7 9

+ 2 z + 17 = 0; вычислить расстояние между найденными плоскостями.

1168. Коэффициент равномерного сжатия простран*

з

ства к плоскости Oyz равен О Составить уравнение по* верхности, в которую при таком сжатии преобразуется

на ось Оу (рис. 53). Вращением этого перпендикуляра вокруг оси Оу точка М может быть переведена в плоскость Oyz; в этом располо-

жении обозначим ее N (0\ К; Z). Так как СМ = CN и СМ = V хг + z \

*) Задача 1171 решена здесь как типовая.

180