книги / Сборник задач по аналитической геометрии.-1

C N = \ Z ] , то

j = У x2+ г2

( 1)

Кроме того, очевидно, что

У = У.

( 2)

Точка М лежит на рассматриваемой поверхности

вращения в том

и только в том случае, когда

N лежит на данном эллипсе, т. е.

когда

Z 2

Y2

(3)

b2 +

с2

У2 .

x2 + z 2

(4)

Ь2

с2

Из предыдущего ясно, что

оно удовлетворяется в том и только

1172. Составить уравнение поверхности, образован-

ной

j^2

JJ2

2 =

0

вокруг

вращением эллипса -^- + --5- = 1,

оси

Ох.

уравнение

поверхности,

образован-

1173. Составить

х 2

г2

у = 0

вокруг

ной вращением гиперболы

— ^ - = 1,

оси

Ог.

что

трехосный

эллипсоид,

опреде-

1174. Доказать,

ляемый уравнением

^2

у2

=

1, может быть по­

+ — ■+

лучен в результате

вращения эллипса

+

l,z = 0

пространства к

плоскости

Оху.

гиперболоид,

1175. Доказать,

что

однополостный

определяемый

Х‘2

f/2

z2

может

уравнением

+ ф ----- -т = 1,

быть

получен

в

результате

вращения

гиперболы

д^2

£.2

0 вокруг оси Ог и последующего равно­

— р- = 1, у =

мерного сжатия пространства к плоскости Охг.

1176. Доказать,

что

двухполостный

гиперболоид,

определяемый уравнением

X2

у2

z2

может

+

-р- —

= — 1,

быть

получен

в

результате

вращения

гиперболы

деляемый уравнением -^- +

= 2г, может быть полу­

чен в результате вращения

параболы х2 = 2pz, у — О

*/=

0.

что

уравнение z = xy

определяет

1179. Доказать,

гиперболический параболоид.

1180.

Найти точки пересечения поверхности и прямой:

r2

i,2

~2

х — 3 _ у - 4

2 + 2 .

п —— и У-__ |_ JL — 1

И

' 81

^

36 ^

9

3

—6

4

'

2)

4 - JC _

4

= 1

И

х __ у __ z + 2 .

16 + 9

1

4 — —3 — 4 ’

* + 1

у -

2

2 +

3 .

2

- 1

—

- 2

*

х __

г/ — 2 __

г + 1

3 —

- 2

~

2 ‘

1181.

Доказать,

что плоскость 2 х — 12у — г +

16 =

0

пересекает

гиперболический

параболоид

x2 — 4y2 = 2z

по

прямолинейным

образующим. Составить уравнения

этих прямолинейных образующих.

0

1182.

Доказать, что плоскость 4х — 5 у — Юг — 20 =

пересекает

однополостный гиперболоид

у2

2/2

g2

1

25 +

f g

f =

ниями х2 — 2 z + 1 =

0, у — z +

1 = 0.

1189. Составить уравнение конуса с вершиной в точке

(0; 0; с),

направляющая

которого

дана

уравнениями

1190.

Составить уравнение конуса, вершина которого

находится в

точке (3; —1; —2), а направляющая дана

уравнениями x2 + y2 — z2 = 1, x — y - \- z — 0 .

1191.

Ось

Oz

является

осью

круглого конуса

с вершиной

в начале

координат,

точка

М, (3; —4; 7)

под углом в 60°

к осн

Оу. Составить уравнение

этого

конуса.

ГГ

х — 2

U+ 1

г+ 1

..па

■является

осью

1193. Прямая

—g— =

круглого

конуса,

вершина которого лежит на плоско­

сти Oyz. Составить уравнение

этого конуса, зная, что

точка

лежит на

его поверхности.

волом

а,

bi

а2

соответственно имеем:

bt \

(2)

I — dib2 — aibi

«1

Ъi

hi

^

Ад

ai

hi

(4)

й2

Ь2

h2

Ь2

•

й2

h2

ворят, уравнения этой системы несовместимы).

Если же Д =

0, но также

Ах — Ау = 0, то система (3) имеет

бесконечно много

решений (в

этом случае одно из уравнений

си­

стемы есть следствие другого).

h2=

0; тогда система (3)

Пусть в уравнениях системы (3) A, =

будет иметь вид:

а , х + Ьху = 0,

а2х +

Ь2у =

0.

( 6)

1) — 1 4

2)

3

-4

9

3 >

3

6

- 5

2

1

2

5

10

’*

4)

3

16

5)

а

1

1

6)

1

1

!

5

10

а 2

а

х 2

7) J , a + l

b — с

l

8)

cos a

— sin a

] a2 +

a

ab — ас

sin a

cos a

1205.

Решить уравнения:

1)

2

л : - 4

2)

1

4

1

4

= 0;

За:

х -+■ 22 = 0;

3)

х x-j- 1

4) Зх

- 1

-4

лг+ 1 =

0;

х

2х — 3

2 ’

5)

x -J- 1

- 5

___A,

6)

A:2 - 4

— 1

1

x — 1 V-- U,

x — 4 x + 2

7)

4 sin x

1

=

0;

8)

cos 8 A:

—sin 5 A:

1

cos A:

sin 8л:

cos 5 A:

1206. Решить

неравенства:

1) I Зх — 3 2

> 0 ;

2)

1 х + 5

х

1

2

х

< 0 ;

2х — 2

1

> 5 ;

4)

х

Зх

< 14.

7х

2

4

2х

^1207 . Найти все решения каждой из

следующих

систем уравнений:

1)

Г З х - 5 у =

13,

2)

Зу — 4 х = 1 ,

{ 2х + 7у =

81;

Зх + 4у = 18;

3)1\ 2х — Зу — 6,

4)

1

*

1 4х — 6у =

5;

U

5 ) !\ ах + Ьу = с,

6) 1\ *

1[ Ъх — ау — d\

1

У / 5 = 5.

U

1208. Определить,

при каких

значениях

а и & си­

стема

уравнений

Зх — a y = l ,

6х +

4y =

b

1) имеет

единственное

решение; 2) не имеет решений;

3) имеет

бесконечно много

решений.

1209. Определить,

при каком значении а система

однородных уравнений

13x-j-2</ =

0,

5х +

ау = 0 имеет

ненулевое решение.

(

агх +

bxy +

CiZ = О,

I

a2x +

b2y + 'c2z = 0

•

с тремя неизвестными х, у, г. Введем обозначения:

Cl

,

.

1 “ 1

С1 1

Аз =

Ьх

ca

Дг —

1

с2 Г

Да ^2

1 а2

1210.

Найти все решения каждой из следующих си­

стем уравнений:

!>

1 Зх — 2у + 5z =

0,

2)f З х - 2 у - \ -

2 =

0,

х +

2у — Зг =

0;

l 6х — 4«/ +

Зг =

0;

3)

х — Зу + 2 = 0,

4) \ З х - 2 у - { - z = 0,

. 2х — 9у + 3z = 0;

1 х + 2 # — 2 = 0;

5)

!' Зх — 2у-\- 2 =

0,

6)

1

1

а

о II

. х + 2у — 3z = 0;

\ х — Ъу -J- 2z = 0

х -f- 2у — 2 = 0,

8) ( Зх — 5у -J- z = 0

? ) 1. Зх — 5у 2z = 0;

1 х + 2у — z = 0

9)!

х + Зу — 2 =

0,

10)

J ах -f- г/ +

z = 0

. 5х — Зу + 2 = 0;

1 х — у -{-аг — 0

И)

' ах +

2у — z =

0,

12)

Г х — Зу +

аг = 0

, 2х -f- by — 3z = 0;

[ Ьх + 6у — 2 = 0

§ 3. Определители третьего порядка

Пусть дана квадратная таблица из девяти чисел

аи аь аг, Ь{,

b2t b2, с1, с2, с2

[ «1

Ьх с,\

I

а2

b2 с2 .

(1)

\

п3

Ь2 с2*

в определяемое

равенством

в1

ь ,

C l

а*

с2 =

а ф 2Съ + fciC2a3+

с ^ Ь з — с ф ф з — Ь ^ С з — а ^ ф з .

(2)

а3

С 3

Числа

вь а2, а3,

Ьи Ь2, Ь3,

сь

с2, с3 называются элементами опре­

делителя. Элементы at, Ь2,

с3 расположены на диагонали определи­

теля,

называемой

главной;

элементы а3, b2, ct составляют его

по­

Г \

/

\

Ч,/ '

/<*,..

А

/ Л

X

Ч //''

\

\

У'

QX

„.-V*.

/ S s

А

\

у*

/

*

^.'^2

у .

. . ч

;

/

\

У\

W - " " 4

V

/

У

' ' - У

показано различными пунктирами на той же

схеме

справа, после

чего у каждого нз найденных произведений изменить знак.

В задачах 1211 — 1216

требуется

вычислить

опреде

лители третьего

порядка.

V1211

3

- 2

1

,

1

2

0

1212

- 2

1

3

0

1

3

2

0

- 2

5

0

- 1

1213.

2

0

5

1214.

2

—1 3

1

3

16

- 2

3

2 .

0

- 1

10

О

2

5

1215.

2

1

0

\/1216. 0

а

а

1

0

3

•

а

0

а

0

5

—1

а

а

0

а.

bi

Cl

Oi

0>2

а3

CLj

Ьг

сг

— bi

Ьз

Ьз

аъ

Ьз

Сз

Cl

с2

С з

С в о й с т в о 2. Перестановка двух столбцов или двух

строк

определителя равносильна умножению его на —1. Например,

ь,

C l

в| Cl

bi

Q-3

Ь2

Сз

= — а2 Сг

Ьг

ал

ьг

С з

а3 Сз

Ь з

С в о й с т в о

3.

Если определитель имеет два одинаковых

столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

С в о й с т в о

4.

Умножение всех элементов одного столбца

или одной строки

определителя на любое число k равносильно

С в о й с т в о

5. Если все элементы некоторого столбца или

некоторой

строки

равны

нулю,

то

сам определитель равен нулю.

Это свойство есть частный случай предыдущего (прн к = 0).

цов

С в о й с т в о

6.

Если соответствующие

элементы двух столб­

илн двух

строк

определителя пропорциональны, то определи­

тель

равен

нулю.

7.

Если

каждый

элемент я-го

столбца

или

С в о й с т в о

я-й строки определителя представляет

собой сумму двух

слагае­

мых, то определитель может быть

представлен

в

виде

суммы

двух определителей, из которых один в я-м

столбце, или соответ­

ственно в

я-й строке, имеет первые

из упомянутых слагаемых, а

другой — вторые;

элементы,

стоящие

на остальных местах, у всех

трех

определителей одни и те же. Например,

/

ГГ

С1

Ь\

С\

ГГ

Ь1

С1

Я] *4"

а\

Г

ГГ

Ьг

С2

=

«2

ь2

е2

+

ГГ

Ьг

С2

^ " Г

а2

а2

Г

+

Н

Ьз

с3

а3

ь$

с3

п

Ьз

с3

аз

а3

аз

С в о й с т в о

8.

Если

к

элементам

некоторого

столбца

(нли