книги / Сборник задач по аналитической геометрии.-1

уравнением:

677. То же задание, что и в предыдущей задаче, выполнить для уравнений:

678. Не проводя преобразования координат, уста» новить, что каждое из следующих уравнений опреде­ ляет эллипс, и найти величины его полуосей:

679. Не проводя преобразования координат, уста­ новить, что каждое из следующих уравнений опреде­ ляет единственную точку (вырожденный эллипс), и найти ее координаты:

680. Не проводя преобразования координат, устано­ вить, что каждое из следующих уравнений определяет

101

гиперболу, и найти величины ее полуосей!

4)*2 — 6*0 — 702 + Ю* — 300 + 23 = 0.

681.Не проводя преобразования координат, устано­ вить, что каждое из следующих уравнений определяет пару пересекающихся прямых (вырожденную гипер­ болу), и найти их уравнения:

1) 3*2 + 4 * 0 + 0 2 - 2 * - 1 = 0 ; 2) *2 - 6*0 + 802- 40 - 4 = 0; 3) *2 — 4*0 + 302 = 0;

4) *2 + 4*0 + 302 - 6* - 120 + 9 = 0.

682. Не проводя преобразования координат, устано­ вить, какие геометрические образы определяются сле­ дующими уравнениями:

683.Для любого эллиптического уравнения доказать, что ни один из коэффициентов Л и С не может обра­ щаться в нуль и что они суть числа одного знака.

684.Доказать, что эллиптическое уравнение второй степени (б > 0) определяет эллипс в том и только в том случае, когда Л и А суть числа разных знаков.

685.Доказать, что эллиптическое уравнение второй

степени (б > 0) является уравнением мнимого эллипса в том и только в том случае, когда Л и А суть числа одинаковых знаков.

686. Доказать, что эллиптическое уравнение второй

687. Доказать, что гиперболическое уравнение второй степени (б < 0) определяет гиперболу в том и только в том случае, когда А ф 0.

102

688. Доказать, что гиперболическое уравнение второй степени (б < 0) определяет вырожденную гиперболу (пару пересекающихся прямых) в том и только в том случае, когда Д = 0.

§ 25. Приведение к простейшему виду параболического уравнения

центра, либо имеет бесконечно много центров. Упрощение парабо­ лического уравнения целесообразно начать с поворота координат­

ных осей, т. е. сначала преобразовать уравнение (1) при помощи

тогда в новых координатах уравнение (1) приводится либо к виду

где С Ф 0.

Дальнейшее упрощение уравнений (4) и (5) достигается путем параллельного перенесения (повернутых) осей.

689. Установить, что каждое из следующих уравнений является параболическим; каждое из них привести к про­ стейшему виду; установить, какие геометрические образы они определяют; для каждого случая изобразить на чер­ теже оси первоначальной координатной системы, оси других координатных систем, которые вводятся по ходу решения, и геометрический образ, определяемый данным уравнением:

1*03

690. То же задание, что и в предыдущей задаче, вы­ полнить для уравнений:

691.Для любого параболического уравнения дока­ зать, что коэффициенты Л и С не могут быть числами разных знаков и что они одновременно не могут обра­ щаться в нуль.

692.Доказать, что любое параболическое уравнение может быть написано в виде:

(а х + ру ) 2 + 2D x + 2Е у + F — 0.

Доказать также, что эллиптические и гиперболиче­ ские уравнения в таком виде не могут быть написаны.

693. Установить, что следующие уравнения являются параболическими, и записать каждое из них в виде, ука­ занном в задаче 692:

694. Доказать, что если уравнение второй степени является параболическим и написано в виде

(а* + рг/)2 + 2D* + 2Еу + F = 0,

то дискриминант его левой части определяется фор­ мулой

Д= — (D p — Д а ) 2.

695.Доказать, что параболическое уравнение

104

где

а Д — дискриминант левой части данного уравнения.

696.Доказать, что параболическое уравнение опреде­

ляет параболу в том и только в том случае, когда А ^ 0. Доказать, что в этом случае параметр параболы опре­ деляется формулой

697. Не проводя преобразования координат, устано­ вить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти параметр этой параболы:

1) 9*2 4- 24ху + 16?/2 - 120;с + 90?/ = 0; 2) 9*2 - 24ху + 16;/2 - 54* - 178у + 181 = 0; 3) г 2- 2ху + if 4- 6* — \ \ у + 29 = 0;

4) Э*2 - 6ху + у2 — 50* + 500 - 275 = 0.

698.Доказать, что уравнение второй степени является уравнением вырожденной линии в том и только в том случае, когда Д = 0.

699.Не проводя преобразования координат, устано­ вить, что каждое из следующих уравнений определяет пару параллельных прямых, и найти их уравнения:

1) 4х2 -|- 4ху у2 — 12* — 6?/ + 5 = 0; 2) 4х2 — 12ху + 9у2 + 20* — 30у — П = 0;

3) 25х2 — 10*?/ + у2 + 10* - 2у - 15 = 0.

700. Не проводя преобразования координат, устано­ вить, что каждое из следующих уравнений определяет одну прямую (пару слившихся прямых), и найти урав­ нение этой прямой:

1) *2 — 6ху 4- 9у2 4- 4* — 120 + 4 = 0; 2) Э*2 4- 30*0 4- 2502 + 42* + 700 4- 49 = 0;

3)16*2 — 16*0 4- 402 — 72* 4- 360 4-81 = 0 .

§26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся

вматематике и ее приложениях

701. Составить уравнение геометрического места то­ чек, произведение расстояний которых до двух данных точек F i(— с\ 0) и Fz(c\ 0) есть постоянная величина а2.

105

лемнискаты в полярных координатах, совмещая поляр­ ную ось с положительной полуосью Ох и полюс с нача­

лом координат.

703. Составить уравнение геометрического места оснований перпендикуляров, опущенных из начала коор­ динат на прямые, отсекающие от координатного угла треугольники постоянной площади S.

У к а з а н и е . Составить уравнение сначала в полярных коор­ динатах, совмещая полюс с началом координат н полярную ось

сположительной полуосью Ох.

704.Доказать, что геометрическое место точек задачи 703 есть лемниската (см. задачу 702).

У к а з а н и е . Повернуть координаты оси на угол в 45°.

705. Луч а, в начальном положении совпадающий с полярной осью, вращается вокруг полюса О с постоян­ ной угловой скоростью со.

Составить в данной системе полярных координат уравнение траектории точки М, которая, имея начальное положение в О, движется по лучу а равномерно со ско­

которая проходит через начало координат О и касается данной прямой. Из точки О проведен луч, пересекающий

106

данную окружность в точке В и данную прямую в точке С, на котором отложен отрезок ОМ = ВС (рис. 26). При вращении луча длина отрезка ОМ меняется и точка М

метра а, проходящая через начало координат О и ка­ сающаяся данной прямой. Из точки О проведен луч, пе­ ресекающий окружность в точке А и данную прямую в точке В. Из точек А и В проведены прямые, параллель­ ные соответственно осям Оу и Ох (рис. 27). Точка М

Рис. 25. Рис. 26. Рис. 27.

пересечения этих прямых при вращении луча описывает

(рис. 28), на котором по обе стороны от точки В отло­ жены отрезки B M u B N одинаковой длины b (b= const). При вращении луча точки М и N описывают кривую, на­ зываемую к о н х о и д о й . Составить ее уравнение сна­ чала в полярных координатах, помещая полюс в точку А и направляя полярную ось в положительном направле­ нии оси Ох, а затем перейти к данной системе декарто­ вых прямоугольных координат.

709. Из точки А (— а; 0), где а > 0 , проведен луч А В (рис. 29), на котором по обе стороны от точки В отло­ жены отрезки ВМ и BN, равные ОВ. При вращении луча

107

точки М и N описывают кривую, называемую с т р о ф о ­ идой. Составить ее уравнение сначала в полярных ко­ ординатах, помещая полюс в точке А н направляя поляр­ ную ось в положительном направлении оси Ох, а затем перейти к данной системе декартовых прямоугольных координат.

710. Из начала координат проведен луч, пересекаю­ щий данную окружность хг+ у2= 2ах (а > 0) в точке В (рис. 30); на луче по обе стороны от точки В отложены равные между собой отрезки ВМ и BN постоянной дли­ ны Ь. При вращении луча точки М и N описывают кри­ вую, называемую у л и т к о й П а с к а л я (рис. 30). Со­ ставить ее уравнение сначала в полярных координатах, совмещая полюс с началом координат и полярную ось с положительной полуосью Ох, а затем перейти к данной системе декартовых прямоугольных координат.

711. Отрезок длины 2а движется так, что его концы все время находятся на координатных осях. Составить уравнение траектории основания М перпендикуляра, опу­ щенного из начала координат на отрезок (рис. 31), сна­ чала в полярных координатах, совмещая полюс с нача­ лом координат и полярную ось с положительной полу­ осью Ох, а затем перейти к данной системе декартовых прямоугольных координат. Точка М описывает кривую, называемую ч е т ы р е х л е п е с т к о в о й р о з о й .

712. Отрезок длины а движется так, что его концы все время находятся на координатных осях (рис. 32). Че­ рез концы отрезка проведены прямые, параллельные координатным осям, до их взаимного пересечения в точ-

108

ке Р. Составить уравнение траектории основания М пер­

У к а з а н и е . Составить сначала параметрические уравнения астроиды, выбирая параметр 1, как указано на рис. 32 (затем исклю­ чить параметр t).

713.Из точки В пересечения луча ОВ с окружностью

х2-|- и 2 = ах опущен перпендикуляр ВС на ось Ох. Из точки С на луч ОВ опущен перпендикуляр СМ. Вы­ вести уравнение траектории точки М сначала в по­ лярных координатах, сов­ мещая полюс с началом ко­ ординат и полярную ось с

положительной полуосью Ох, а затем перейти к данной

№