книги / Сборник задач по аналитической геометрии.-1

1051. Найти точку Q, симметричную точке Р (4; 1: 6) относительно прямой

1052. Найти точку Q, симметричную точке Р (2; —5; 7) относительно прямой, проходящей через точки Mj (5; 4; 6) и М2( - 2 ; -1 7 ; - 8 ) .

1053. Найти проекцию точки Р(5; 2; —1) на пло­ скость 2х — у + Зг + 23 = 0.

1054. Найти точку Q, симметричную точке Р(1; 3; —4) относительно плоскости Зл: + у — 2z = 0.

1055. На плоскости Оху найти такую точку Р, сумма расстояний которой до точек Л(—1; 2; 5) и В(11; —16; 10)

Л(3; —4; 7) и В (—5; —14; 17) была бы наименьшей. 1058. На плоскости 2.v + Зу — 4z — 15= 0 найти такую

точку Р, разность расстояний которой до точек Alj (5; 2; —7) и М2(7; —25; 10) была бы наибольшей.

1059. Точка М(х-, у, г ) движется прямолинейно и равномерно из начального положения М0(15; —24; —16) со скоростью v = 12 в направлении вектора s = {—2; 2; 1). Убедившись, что траектория точки М пересекает пло­ скость Зх + 4у + 7г — 17 = 0, найти:

1)точку Р их пересечения;

2)время, затраченное на движение точки М от М0

до Р-,

3)длину отрезка М^Р.

1060. Точка М(х; у\ z) движется прямолинейно и равномерно из начального положения М0(28; —30; —27) со скоростью о = 1 2 ,5 по перпендикуляру, опущенному из точки М0 на плоскость 15а: — 16у — 12г + 26 = 0. Со­ ставить уравнения движения точки М и определить:

1) точку Р пересечения ее траектории с этой пло­ скостью;

2)время, затраченное на движение точки М от М0

до Р;

3)длину отрезка MQP.

162

1067. Доказать, что 'уравнение плоскости, проходя­ щей через точки у х\ 2,) и М 2(х2; у2; z2) парал­ лельно прямой

пересекаются, то уравнение плоскости, в которой они

1072. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые

1077. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую х = 3 ^ + 1 , y = 2t + 3, z — — t — 2 парал­ лельно прямой

( 2х — у + z — 3 = 0,

( х + 2у — z — 5 = 0.

1078. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей

1079. Составить уравнение плоскости, проходящей

к плоскости Зх + 2у — z — 5 = 0.

164

1080. Доказать, что уравнение плоскости, проходя­ щей через прямую х = лг0 + Д, У = Уо + mt, z = z0-\-nt перпендикулярно к плоскости Ах By Cz D — О, может быть представлено в следующем виде:

х — х0 у — у0 z — z0

I т п = 0.

АВ С

1081. Составить канонические уравнения прямой,

двумя прямыми в каждом из следующих случаев:

х = 6 Н -9 , y = - 2t, z = - t + 2.

§44. Сфера

Вдекартовых прямоугольных координатах сфера, имеющая

3)сфера проходит через начало координат и имеет центр С (4; —4; —2);

4)сфера проходит через точку Л(2; — 1; —3) и имеет центр С (3; —2; 1);

163

6) центром сферы является начало координат, н

М2(—2; 4; 1) и М3(—5; 0; 0), а ее центр лежит на пло­ скости 2* + # — z + 3 — 0;

1086. Вычислить радиус R сферы, которая касается

хорду, имеющую длину, равную 16.

1090. Определить координаты центра С и радиус г сферы, заданной одним из следующих уравнений:

1091. Составить параметрические уравнения диаметра

166

1092. Составить канонические уравнения диаметра сферы х2 + у2 + г2 — х ■+• Зу 4- г — 13 = 0, параллельного прямой x = 2 f— 1, y — —3t + 5, г — 4t + 7.

1093. Установить, как расположена точка А (2 ; —1;3) относительно каждой из следующих сфер — внутри, вне или на поверхности:

1) ( х - 3 ) 2+ (*/+1)2 + ( г - 1 ) 2 = 4;

2) (х + 14)2 + {у - 1 I f + (г + 12^ = 625; 3) (х —б)2 + (г/ — I)2 + (г — г)2 = 25;

4) х2 + у2 + z2 — 4х + 6 у — 8z -\г 22 — 0;

5) х2 + у2 + г2 — х -г Зг/ — 2z — 3 = 0.

1094. Вычислить кратчайшее расстояние от точки А до данной сферы в следующих случаях:

1095. Определить, как расположена плоскость отно­ сительно сферы — пересекает ли, касается или прохо­ дит вне ее; плоскость и сфера заданы следующими уравнениями:

1) г = 3, х2 -{- У2 + г2 — 6х + 2у — Юг + 22 = 0; 2) у — 1, х2 + У2 + z2 + 4х — 2у — 6г -f 14 = 0; 3) х = 5, х2+ у 2 + г2 — 2х + 4у — 2г — 4 — 0.

1096. Определить, как расположена прямая относи­ тельно сферы — пересекает ли, касается или проходит вне ее; прямая и сфера заданы следующими уравне­ ниями:

1) х = —2 t -f 2, y = 3 t - j , z — t — 2 , X2 + у2 + г2 + X — 4у — Зг + -^-= 0;

167

1099. Точки Л(3; —2; 5) и В ( — 1; 6; —3) являются концами диаметра окружности, проходящей через точку С(1; —4; 1). Составить уравнения этой окружности.

1100. Точка С(1; —1; —2) является центром окруж­ ности, отсекающей от прямой

| 2х - y + 2z - 12 = 0, I 4* — ly — 2 + 6 = 0

хорду, длина которой равна 8. Составить уравнения этой окружности.

1101. Составить уравнения окружности, проходящей через три точки Мх(3; —1; —2), М2(1; 1; —2) и М-л(— 1; 3; 0).

1102. Даны две сферы

(х — niif + { у - tiif + {z — Pif == Ru

(x — tn-z? + (У — n2f + (z ~ p2f = R l

которые пересекаются по окружности, лежащей в неко­ торой плоскости т. Доказать, что любая сфера, про­ ходящая через окружность пересечения данных сфер, а также плоскость т могут быть представлены урав­ нением вида

а [(х — triif -f (у — n t f + (2 ~ p i f — /??] +

+ Р [(* — mzf + (У — п2? + (2 — p2f — Rl\ = 0

при надлежащем выборе чисел а и р .

1103. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения двух сфер:

2х2 + 2у2 + 2z2 + Зх - 2у + 2 - 5 = 0, х2 + у2 + 22 — х + Зг/ — 2z + 1 = 0 .

1104. Составить уравнение сферы, проходящей через начало координат и окружность

\ 2х — Ъу-\~Ьг — 5 = 0.

J68

1105. Составить уравнение сферы, проходящей через окружность

| х2 + у 2 + z 2 — 2х + Зу — Ьг — 5 = 0,

1106. Составить уравнение сферы, проходящей через две окружности:

касается сферы х2 4- у2 + г 2= 49. Вычислить координаты точки касания.

1109. При каких значениях а плоскость х -\- у -\-г = а касается сферы x2 + y2 + z2= 12.

1110. Составить уравнение касательной плоскости к сфере (х—3)2-\-(у— 1)2+ (г+ 2 )2= 24 в точке М, (—1; 3; 0).

1111. Точка Mj (jtj; г/,; z,) лежит на сфере х24 -y2-\-z2= r 2. Составить уравнение касательной плоскости к этой сфере в точке М,.

1112. Вывести условие, при котором плоскость Ах-\- +Дг/ + Cz + D — 0 касается сферы х2 + У2 + z 2 = R2.

1113. Точка Ai, (JCJ; г/,; г,) лежит на сфере (х — а)2 + + (у —Р)2 4- (г — у)2 == г2. Составить уравнение касатель­ ной плоскости к этой сфере в точке Л4|.

сфере. Составить их уравнения.

1115. Составить уравнения плоскостей, касательных к сфере х2 + у2 4* z2 — 9 и параллельных плоскости

+ 2у —12z 4" 15 = 0.

1116. Составить уравнения плоскостей, касательных

ксфере (х — З)2 + {у 4- 2)2 4- (г — I)2 = 25 и параллельных плоскости 4х 4- Зг — 17 = 0.

1117. Составить уравнения плоскостей, касательных

ксфере x24-y24-z2—10х+2г/4-2бг—113=0 и параллель-

169

1118 . Доказать, что через прямую

Ш 9. Доказать, что через прямую —— ■= г/+ 3 = 2+1

нельзя провести плоскость, касательную к сфере *2+ ^ + + 22 - Ах + 2у — 42 + 4 = 0.

+ 2z + 8 = 0, и составить ее уравнение.

§45. Уравнения плоскости, прямой и сферы

ввекторной символике

Вдальнейшем символ М (г) означает, что г есть радиус-вектор точки М.

1121. Составить уравнение плоскости а, которая проходит через точку М0(^о) и имеет нормальный вектор я.

Р е ш е н и е *). Пусть М (г) — произвольная точка. Она лежит

в плоскости а в том и только в том случае, когда вектор МйМ перпендикулярен к п. Признаком перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения. Таким обра­

зом, MQM i. я в том и только в том случае, когда

Выразим вектор МаМ через радиусы-векторы его конца и начала:

МоМ= г — гй.

Отсюда и из (1) находим:

Это есть уравнение плоскости а в векторной символике; ему удо­ влетворяет радиус-вектор г точки М в том и только в том случае, когда М лежит на плоскости а [г называется текущим радиусомвектором уравнения (2)].

1122. Доказать, что уравнение rn + D = 0 определяет плоскость, перпендикулярную к вектору я. Написать

*) Задачи 1121 и 1129 существенны для правильного понимания задач этого параграфа. Их решения приводятся в тексте.

170