книги / Сборник задач по аналитической геометрии.-1

.174. Вывести уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от координатных осей.

175.Вывести уравнение геометрического места точек, находящихся на расстоянии а от оси Оу.

176.Вывести уравнение геометрического места точек, находящихся на расстоянии b от оси Ох.

177. Из точки Р (6; —8) проведены всевозможные лучи до пересечения с осью абсцисс. Составить уравне­ ние геометрического места их середин.

178. Из точки С(10; —3) проведены всевозможные лучи до пересечения с осью ординат. Составить уравне­ ние геометрического места их середин.

179. Вывести уравнение траектории точки, которая в каждый момент движения одинаково удалена от точек:

Л(—щ;0) и В (о; 0) равна с.

181.Вывести уравнение окружности, имеющей центр в начале координат н радиус г.

182.Вывести уравнение окружности, имеющей центр

С(а; Р) и радиус г.

183.Дано уравнение окружности х2 + #2 = 25. Со­ ставить уравнение геометрического места середин тех хорд этой окружности, длина которых равна 8.

184.Составить уравнение геометрического места то­

чек, сумма квадратов расстояний которых до точек

А(-—3; 0) и В{3; 0) равна 50.

185.Вершины квадрата суть точки Л (о; а), В ( —а; а), С(—а; —а) и D(a; —о). Составить уравнение геометри­ ческого места точек, сумма квадратов расстояний кото­ рых до сторон этого квадрата есть величина постоянная, равная 6а1.

.188. Вывести уравнение геометрического места точек, разность расстояний которых до двух данных точек Fi{—5; 0) и F‘i( 5; 0) есть величина постоянная, равная 6.

31

189.Вывести уравнение геометрического места точек, для которых расстояние до данной точки F(3‘, 0) равно расстоянию до данной прямой х + 3 = 0.

190.Вывести уравнение геометрического места точек,

2а. Это геометрическое место называется эллипсом, точ­ ки Fi и F2 — фокусами эллипса.

191. Вывести уравнение геометрического места точек, разность расстояний которых до двух данных точек F\(—c\ 0) и F2(c\ 0) есть величина постоянная, равная 2а. Это геометрическое место называется гиперболой, точки Fi и F2— фокусами гиперболы.

Доказать, что уравнение гиперболы имеет вид

—-fr = 1. где Ь2 = с2 — а2.

192.Вывести уравнение геометрического места точек,

для которых расстояние до данной точки F { ^ \ oj равно

расстоянию до данной прямой х — — у . Это геометри­

ческое место называется параболой, точка F — фокусом параболы, данная прямая — ее директрисой.

193. Вывести уравнение геометрического места точек, для которых отношение расстояния до данной точки /•’(—4; 0) к расстоянию до данной прямой Ах + 25 = О

4

равно — .

194. Вывести уравнение геометрического места точек, для которых отношение расстояния до данной точки F(—5; 0) к расстоянию до данной прямой 5 х + 16 = 0

5

равно у .

195. Вывести уравнение геометрического места точек, для которых кратчайшие расстояния до двух данных окружностей (х + 3)2 + у2= 1, {х — 3)2 + у2 = 81 равны между собой.

196. Вывести уравнение геометрического места точек, для которых кратчайшие расстояния до двух данных окружностей (х + 10)2 + у2 ~ 289, (х — Ю)2 + у2 == I равны между собой.

32

197. Вывести уравнение геометрического места точек, для которых кратчайшие расстояния до данной окруж­ ности (х — 5)2 + t/2 = 9 и до данной прямой х + 2 = 0 равны между собой.

198.Прямая перпендикулярна полярной оси и отсе­ кает на ней отрезок, равный 3. Составить уравнение этой прямой в полярных координатах.

199.Луч выходит из полюса и наклонен к полярной

оси под углом - j. Составить уравнение этого луча в по­

лярных координатах.

200.Прямая проходит через полюс и наклонена к по­ лярной оси под углом 45°. Составить уравнение этой прямой в полярных координатах.

201.В полярных координатах составить уравнение геометрического места точек, расстояния которых от по­ лярной оси равны 5.

202.Окружность радиуса R — 5 проходит через по­ люс, ее центр лежит на полярной оси. Составить уравне­ ние этой окружности в полярной системе координат.

203.Окружность радиуса R — 3 касается полярной оси в полюсе. Составить уравнение этой окружности в полярной системе координат.

§ 11. Параметрические уравнения линии

Обозначим буквами х и у координаты некоторой точки М; рас­ смотрим две функции аргумента t:

При изменении t величины х и у будут, вообще говоря, ме­ няться, следовательно, точка М будет перемещаться. Равенства (1) называются параметрическими уравнениями линии, которая является траекторией точ­

ки Af; аргумент t носит название парамет­ ра. Если из равенств (I) можно исключить параметр t, то получим уравнение траекто­ рии точки М в виде

F (х, у) = 0.

204. Стержень АВ скользит свои­ ми концами Л и В по координат­ ным осям. Точка М делит стержень на две части AM = а и ВМ = Ь.

Вывести параметрические уравнения траектории точки М, приняв в качестве параметра угол t = <£ОВЛ (рис. 8). Исключить затем параметр t и найти уравнение траектории точки М в виде F(x,y) = 0 .

205. Траекторией точки М является эллипс, уравнение которого -^- + - ^ = 1 (см. задачу 190). Вывести параметрические уравнения траектории точки М, прини­ мая в качестве параметра t угол наклона отрезка ОМ

коси Ох.

206.Траекторией точки М является гипербола, урав-

параметрические уравнения траектории точки М, прини­ мая в качестве параметра t угол наклона отрезка ОМ

коси Ох.

207.Траекторией точки М является парабола, урав­ нение которой уг = 2рх (см. задачу 192). Вывести пара­

метрические уравнения траектории точки М, принимая в качестве параметра t:

1) ординату точки М; ___

2)угол наклона отрезка ОМ к оси Ох;

3)угол наклона отрезка FM к оси Ох, где точка F — фокус параболы.

208. Даны полярные уравнения следующих линий:

1) p — 2R cos 9; 2) p = 2/?sin0; 3)

Составить параметрические уравнения этих линий в декартовых прямоугольных координатах, совмещая по­ ложительную полуось абсцисс с полярной осью и выби­ рая в качестве параметра полярный угол.

209. Даны параметрические уравнения линий:

исключив параметр t, найти уравнения этих линий в виде

Г Л А В А 3

ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

§12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой

сугловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми.

Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых

В декартовых координатах каждая прямая определяется урав­ нением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой сте­ пени определяет прямую.

Уравнение вида

к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой; его обычно обозначают буквой k:

k — \ga.

торая проходит через точку Мо(*0; </о) и имеет угловой коэффи­

циент к.

Если прямая проходит через точки Mi(xi; yt) и М2(х2; у2), то се угловой коэффициент определяется по формуле

Уг~У\

Уравнение

является уравнением прямой, проходящей через две точки

Мх(я,; у х) и Мг (хг; у г).

Сели известны угловые коэффициенты двух прямых ki и к2, то один из углов ф между этими прямыми определяется по формуле

Признаком параллельности двух прямых является равенство их

угловых коэффициентов

кх=к.2.

Признаком перпендикулярности двух прямых является соотно­

Л1,<(6; 3), М4(—3; —3), Л15(3; —1), М6(—2; 1) лежат на прямой 2х — 3у — 3 = 0 и какие не лежат на ней.

211. Точки Ри Р?., Ра, Pi и Р5 расположены на прямой Зх — 2у — 6 = 0; их абсциссы соответственно равны чис­ лам; 4, 0, 2, —2 и —6. Определить ординаты этих точек.

212. Точки Qi, Qz, Q3, Qi и Qs расположены на пря­ мой х — Зу -f 2 = 0; их ординаты соответственно равны числам: 1, 0, 2, —1, 3. Определить абсциссы этих точек.

213. Определить точки пересечения прямой 2х — 3у —

шин.

216. Даны уравнения двух сторон параллелограмма 8.V- -J- Зу 1 = 0, 2х + у — 1 = 0 и уравнение одной из

*) Здесь и везде в дальнейшем под уравнением сторон мы бу­ дем понимать уравнения прямых, на которых лежат стороны.

ЗС

сти этого треугольника лежит на прямой Зх — у — 8 = 0 . Определить координаты третьей вершины С.

220. Составить уравнение прямой и построить пря­ мую на чертеже, зная ее угловой коэффициент k и от­

1)параллельной данной прямой;

2)перпендикулярной к данной прямой.

223.Дана прямая 2х + Зу + 4 = 0. Составить урав­ нение прямой, проходящей через точку Afo(2; 1):

1)параллельно данной прямой;

37

227. Найти точку Q, симметричную точке Р (—5; 13) относительно прямой 2 х — Зу — 3 = 0.

228. В каждом из следующих случаев составить уравнение прямой, параллельной двум данным прямым и проходящей посередине между ними:

С(—3; —2) параллельно противоположным сторонам.

232. Даны две точки: Р(2; 3) и Q(—1; 0). Составить уравнение прямой, проходящей через точку Q перпен­

дикулярно к отрезку PQ.

233. Составить уравнение прямой, если точка Р ( 2; 3) служит основанием перпендикуляра, опущенного из

236.Даны вершины треугольника Л (1;—1),В (—2;1)

иС(3; 5). Составить уравнение перпендикуляра, опу­ щенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины В.

237. Даны вершины треугольника Л (2; —2 ),В (3 ;—5) и С(5; 7). Составить уравнение перпендикуляра, опу­ щенного из вершины С на биссектрису внутреннего угла пои веошине Л.

238 Составить уравнения сторон и медиан треуголь­ ника с вершинами Л(3; 2), В (5; —2), С(1; 0),

38

239. Через точки МД—1; 2) и Л12(2; 3) проведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой

сосями координат.

240.Доказать, что условие, при котором три точки МД-Ч'. У\), М2(хг] уг) и Af3(x3; у3) лежат на одной прямой, может быть записано в следующем виде:

*1 У\ 1

х2 у2 1 = 0.

*з Уз 1

241. Доказать, что уравнение прямой, проходящей через две данные точки Afi(xi; у\) и М2(х:2; у2), может быть записано в следующем виде:

х

*1 У\ J = о.

х2 у2 1

242.Даны последовательные вершины выпуклого

сечения его диагоналей. Составить уравнения сторон этого параллелограмма.

ника 245* Даны вершины треугольника .<4(1; —2), В ( 5; 4)

и сд —'i\ 0). Составить уравнения биссектрис его вну­ треннего и внешнего углов при вершине А.

246. Составить уравнение прямой, проходящей через точку Р(3; 5) на одинаковых расстояниях от точек

А(—7; 3) и Д(11; —15).

247.Найти проекцию точки Р(—8; 12) на прямую,

проходящую через точки А(2\ —3) и В ( —5; 1).

248. Найти точку Ми симметричную точке М2(8; —9) относительно прямой, проходящей через точки А (3; —4) и В{— 1; —2)*

39

249.На оси абсцисс найти такую точку Р, чтобы сумма ее расстояний до точек М (1; 2) и Л/{3; 4) была наименьшей.

250.На оси ординат найти такую точку Р, чтобы разность расстояний ее до точек М (—3; 2) и Л'(2; 5) была наибольшей.

251.На прямой 2х — у — 5 = 0 найти такую точку Р, сумма расстояний которой до точек А (—7; 1), В(—5; 5) была бы наименьшей.

нение прямой, проходящей через точку Л40(2; 1) под углом 45° к данной прямой.

255.Точка Л(—4; 5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой 7а — г/-}-8 = 0. Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.

256.Даны две противоположные вершины квадрата

А(—1; 3) и С(6; 2). Составить уравнения его сторон.

257.Точка £(1; —1) является центром квадрата,

что этот треугольник равнобедренный. Решить задачу при помощи сравнения углов треугольника.

40