книги / Сборник задач по аналитической геометрии.-1

<ii “Ь kb\

6.

Cl

dl

bi

Cl

#2 + kb%

&з

Сз —

«3

С»

#3 -f-

6»

сз

ЙЗ

Ьз

Сз

большой буквой

того же наименования и тем же номером, что й

буква, которой обозначен сам элемент.

С в о й с т в о

9. Определитель

«1

Ьз

Cl

А = аг

ь%

Сз

а3

bz

с3

А =

a i A i

+ O2A2 4- азАз,

Д == OjAi

4- b,Bt 4- CiCj,

Д =

6jB i

4”Ьг В г 4" &3B3,

Д = 02 А 2

4

- b% Bi 4" C tC t,

Д =

С\С\

4"С2С2 4" С3С3,

Д — O3A3

4

*ЬгВг 4“ С3С3.

1217.

3

2

1

а

2

7

- 2

3

2

= — 2

3

— 2

•

4

5

3

А

5

11

У к а з а н и е .

Воспользоваться

свойством 8.

1218.

1

- 2

3

1

0

0

— 2

1 - 5

=

- 2

— 3

1

3

2

7

3

8

- 2

1219.

«1

*1

С\

а2

Ь2

С2

<*х +

сш 2

bi +

аЬ2 ct -}- ас2

У к а з а н и е .

Воспользоваться

свойствами

1220.

Р&! +

У'С]

Ь\

Сх

Р&2+

У°2

Ь2

Со =

0.

Р&з +

Усз

Ь3

с3

1221.

sin2 а

cos2 а

cos 2а

sin2 Э

cos2p

cos2f5

sin2 у

cos2 у

cos 2Y

1 2 2 2 .

0

—а

- b

а

0

—с

= 0.

b

с

0

1223.

1

1 -

1

1224./

1

17

--7

1

— 1

1 .

^

- 1

13

1

- 1

1

1

1

7

1

1225.

2

0

г

1226.

1

2

4

1

3

16

—2

1

- 3

0

- 1

10

3

- 4

2

1227.

1

1

1

X

У

z

•

X2

У2

z2

1229.

0

а

b

1230.

0

sin a

ctga

а

0

а

sin а

0

sin а .

Ь

а

0

ctga

sin а

0

1231.

X

У

г

1232. а

Ь

с

X2

У2

Z2

с

а

Ь

X3

уг

Z3

Ь

с

а

1233.

Доказать справедливость

равенств:

1) 1

sin а

sin2 a

1

sin р

sin2 p

=

1

sin у

sin2 у

=

(sin a — sin Р) (sin Р — sin у) (sin у — sin a);

2)

1

1

1

sin (a — ft) sin (ft — y) sin (y — a)

tg a

tgp

tgy

cos2 a cos2 P cos2 у

1235.

Решить

неравенства:

1)

3 - 2

1

2)

2 x +

2 —1

1

x

—2

< 1 ;

1

1

- 2

- 1

2

- 1

5

—3

x

7 Д. В. Клстеник

193

Рассмотрим

систему

уравнений

п-.х +

Ь , у

4

с,г =

А|.

вцХ 4

ЬгУ4

с2г =

Aj.

(I)

Оз* 4

4(/ 4 с ,г

Л3

с неизвестными

х, у, г

(коэффициенты а,, Ь и .

Гя

II свободный

члены А|. А;. A3 предположим данными).

Введем обозначения:

«1

/>,

fi

А]

4

с,

4

А|

О

а.г

Ьг

г_,

4

4

с2

=

(1?

fi.

с2

4

Ь3

с*

■4

4

с:,

4

hi

Cl

а I

4

Л|

«2

Ьц

h-.

4

Ьз

Аз

ных системы (I), называется

определителем данной системы.

Полезно знчатить, что

определители А*, Ау,

получаются

х

\ г

1 Г '

Предположим теперь,

что

определитель системы равен нулю:

Л = •>. Если в случае

Л --= 0

хотя бы один из определителей АЛ-, Ау.

Аз отличен от нуля, то система

(1) совсем не имеет решений.

В случае, когда

Л — 0 и одновременно Л* ■= О, S y = 0, Аг = 0.

а\Х 4- b\tj +

с ,г =

О,

а 2х 4 Ь2у

4

c sz =

0,

(2)

1«з.т 4 Ь-Лу 4

с3г =

О,

т. е. система уравнений, свободные члены которых равны нулю.

Очевидно,

что такая система всегда имеет

решение: х —

0 , у ~ 0 ,

2 = 0; оно

называется пулевым.

Если

А ф

0, то эго

решение

1236.

х + у — 2 — 36,

1237. |

х -f- 2у +

г =

4,

х -f- z

у = 13,

|

З а

5// + Зг

1,

// 4- 2 — X — 7.

' 2х -{- 7у — z = 8.

1238.

2х — 4у + 9г —28,

1239.

( 2 х + у =

5,

7а + 3# — 6г =

— 1,

|

х -f- 3z =

16,

7х +

9# — 9г =

5.

15у —

10.

1240.

1л: + у +

г = 36,

1241.(

7 х +

2у + 3 г =

15,

I

2л' — Зт —

1 /,

I 5а

3у

2z — 15,

I

6 а — 5г — 7.

i 10а — 11;/ + 5г =

36.

1242.

/А +

;/ +

2 = а, 1243.

f.v — </+

г = а,

Х х — у + г — Ъ,

j -V+ У — 2 = Ь,

I х -f- у — г — с.

I y + z — x — c.

1244.

Найти

все решениясистемы

j

х + 2у — 4г =

1,

I

2а +

г/— 52 =

— 1,

'

х —

у —

2 =

—2.

1245.

Найти

все решения системы

2х —

у +

2 =

—2,

х + 2у +

32 =

— 1,

х — Зу — 2г = 3.

1246. Найти

все решения системы

1 За —

# + 22 = 5,

I

2а —

у — г =

2,

1 4а — 2у — 2г =

—3.

1247.

Определить,

при каких

значениях

а

и b си­

стема уравнений

За — 2у +

z ~ b ,

5а — 8# +

9г =

3,

; 2А" +

у +

CLZ—

—

1

7*

195

Ь

с

0

0

d

е

0

0

1261. Доказать, что если система уравнений

А\Х -|- В\У

C\Z -(- D \ =

0,

А 2х + В 2у + C 2z

+ D 2 = 0,

А 3х + В 3у

+

C 3z

+ Aj =

0,

совместна, то

А4х -j- В 4у + C 4z

-f-£>4 = 0

л,

В ,

С,

0 .

а 2

в 2

с 2 D 2

А3

В3

Сз

D3

а 4

В4

D 4

ОТВЕТЫ

И У К А З А Н И Я К ЗАДАЧАМ

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

1. См. рис. 54.

2.

У к а з а н и е . Уравнение \х\ — 2

экви­

валентно двум уравнениям: х — —2 и .« = 2; соответственно

имеем

две точки: А, ( —2)

и

Л2

(2) (рис. 55). Уравнение | х ~ 1) = 8

эквп-

Рис. 54.

валентно

двум

уравнениям: jc — 1 =

—3 и х — 1 == 3, откуда

нахо­

дим

х — —2 и JC = 4 и соответствующие

нм точки В] и В. (рис. 55).

В остальных

случаях

решения

аналогичны.

3.

Точки расположены:

1

1) справа от точки

(2); 2) слева

от точки Л42 (3); включая точку АТ/,

1— ч

3) справа от точки Л13 (12); 4) с.к-

А.

0

П2

р2

_

ва от

точки

Л/4

включая

к—о-------- 4 ----- о •

1 ■ - О

..........| w

O

. - ч

!

В,

\ 2

точку

А/,; 5)

справа

от

точки

Рис.

55.

Л15 ( у ) ;

0) внутри отрезка,

огра-

нпчсшюго точками Л1в(0 11

3/2 (3);

7)

внутри

отрезка,

ограни­

ченного

точками

Л17( —2)

и

Мл (3),

включая

точки

Л/7

и

ЛС;

8) внутри отрезка, ограниченного точками /1(1) и В (-2);

9)

вне

отрезка, ограниченного точками Р (—I)

и

Q (2);

10)

ане

отрезка,

ограниченного

точками /1(1)

и

В (2);

II) внутри отрезка,

ограничен­

ного

точками

Р ( — 1)

и

<3 (2);

12) внутри

отрезка, ограниченного

точками

М (3)

и

N{5),

включая

точки

М

и

N;

13)

пне утрсжз.

ограниченного

точкачп

Л1 (3)

и ;V (5);

14)

пне

отрезка,

ограничен­

ного точками

Р |( —1) и Qj (3,1;

15)

внутри

отрезка,

шраннчонного

точками

Pi I —4i

и

(2,(3),

включая

точки

Pj

и

Qi.

4.

1)

. IЛ -- к,

I ЛВ | =

8;

2i

Л В « = -3 .

|Л В | =

3;

3) ЛВ =

4,

\ АВ 1=

4;

4» .Ш = 2,

I ЛВ ! =

2;

Г»

ЛВ

- 2,

( ЛВ | =

2; 6) ЛВ =

2,

| АП ! =

2.

3. 11

- 2 ;

2) 5;

3)

I;

4i

—8;

5) —2 н 2:

6) —1 и 5;

7)

—О и

4;

8 i

—7 и

—3.

В. 1) Внутри отрезка, ограниченного точками Л ( —I)

и В{\у, 2) вне

отрезка, ограниченного точками

Л ( —2) н В (2);

3)

внутри

отрезка,

ограниченного

точками

А (—2)

и

В (2),

включая

точки

Л

и В;

4) вне

отрезка,

ограниченного

точками Л (—3) и

В (3),

включая

точки

Л и

В;

5)

внутри

отрезка,

ограниченного

точками Л ( — 11

и В (5);

6)

внутри

отрезка,

ограниченного

точками

А (4)

и Bffi),

включая

точки

А и В; 7) вне отрезка, ограниченного гонками Л (— 1)

и В(3),

включая

точки

Л

и

В;

8) вне

отрезка,

ограниченного

точками

Л (2)

н

В (4),

включая

точки

А н

В;

9)

внутри

отрезка,

ограниченного точками А ( —4)

и

В (2);

10)

вне

отрезка,

ограни­

ченного

точками

А ( —3) н

В( —1);

II)

внутри

отрезка,

ограни­

ченного

точками Л (—6) и

В (—1), включая точки Л н В:

!2) вне

отрезка, ограниченного

точками

Л (~ 3 )

и

В (Г),

включая

C,, (0;

2),

Оу(0;1),

Ёу (0;

-2).

XZ

т

20. 1) (2;

- 3);

2) ( - 3;

- 2);

3) ( - 1 ;

1);

4) ( - 3 ; 5);

5) ( - 4 ;

-

6);

6 ) (а; -Ь).

21.

1) ( 1; 2 ); 2) ( - 3;

-

1 );

3) (2; - 2 );

4)

(2; 5);

5) ( - 3 ;

-5 );

6) ( - о;

Ь).

22.

I) ( -3 ;

-3 );

?! ,(Г 21

4)\

3)(2:

4и ~ 5; 3>:

С * -

Ь).

б)

(5; 4);

6) ( -

а; -

23.

1) (3;2);

Рнс.

56.

2) ( - 2 ; 5); 3) (4; - 3 ).

24.

1)(—5;

-3 );

2)

(—3; 4); 3) (2; —7).

25.

1)

В первой

3 )

в

первой

и

третьей;

и

третьей; 2)

во

второй

и

четвертой;

4)

во

второй

и

четвертой;

5)

в первой,

второй

н

четвертой;

о) во второй, третьей н четвертой; 7)

в первой, третьей и

четвертой;

8)

в

первой,

второй

и

третьей.

26.

См.

рис.

57.

27.

[з;

—

И ) -

( * ! ) •

& п -

» ( 1 - т 4

( * - ? ) •

( “' 4

«)• (4; - 4

л)-

(3:л -

2)- 2э- Ф

4 п)

п D(5;

-

f

H

30.

(l;

-

f

)•

31.

л

( з

; - | - ) .

в ( ? . { л

) ,

С . 1; 0), D (о; - J ),

Е (3; 2 -

я).

F (2: я

-

I).

32.

Л/, (3;

0),

ЛЬ (l;

у ) ,

Л/3 ^2;

-

у ) ,

л ,4 ( 5;

~~ш ) ’

л,5,3;п)>

л,3( 1:

4

4

33-

( 6:

т

)-

34. d =

V р, +

р2,-2 р ,р 2 cos (02- 0 ,) .

35. d=7.

36. 9 (1 7 -4

I Т

) кв. ед.

37.

2(13+6 V I ) кв. ед.

38. 28 | /‘з

кв. ед.

39. S =

~

р,р2 fsin (О,— О-)].

49.

5 кв. ед.

41.

3(4

V I -

1) кв. ед.

42. Л1. (0;

б),

ЛЬ (5; 0),

ЛЬ { V l ; Iг'2), ЛЬ (5; - 5

У з ),

Л16 (—4;

4 V D .

Л16(б V 3;

-

6).

43.

.И,

(б;

-* ),

ЛЬ (3; я),

ЛЬ (г : у ) ,

Л1,

( 2; -

1

л ),

« 3 ( 2; -

у ) .

44

1)3;

2)

- 3 ;

3) 6;

4)

5;

5) '- 5 ;

6 ) 2.

47.

I) А =

1, К — 3; 2) Х = - 4 ,

У =

-

2;

Рис.

57.

3) Х = |, Ь = - 7 ;

4) А = 5, У = 3.

48. ( 3

;

4

9 .

( - 3 ;

2). 52.

1)А =

-

6,

1' = 6 J '3 ;

2) X = 3 У з,

У = — 3;

3)

А’ ==\

2 ,

У-

V I .

53.

1)

5; 2 ) 13; 3)

10. 54.

1)

(1 = 2,

0 =

у ;

2) </ =-О,

0 =-- — j - ’

0)

^ =

1, G =

—■л . 55.

Г)

=

V 2 ,

0 =

— -г я;

4

о

4

2) (1 =

5.

О=

arclg - i -

я; 3) d

= 13, 0 = л - a r c t g - у ;

4) d =

>Л234,

6 «= — arctg5.

56.

1) 3;

2)

-3 .

57.

Г)

(—9; 3);_2) (-9 ,

-7 ).

58.

Г)

(-13:

-12);

2)

(1;

-12).

59.

- 2 .

6:).

3 *

-4-.

61. 4.

62.

1)

-3 ;

2)

5.

63.

1)

3;

2)

10;

_3)

5;

4)

1 3;

5) 2 КТ;

6)

13.

64

137 кв. ед.

65.

34 кв. ед.

66.

8 + 3

кв. ед.

67.

13,15.

68. 150 кв. ед.

69.

1 |

7.

73

Ь ЛЬЛЬ ЛЬ —тупой.

75.

ВАС =

43s,

АВС =

45°,

+. .4СВ =

90°. 76.60°. Указание . Вычислить длины сторон треуголь­

ника, а штем применить теорему косинусов.

77. Л1,(6;0) и ,И2(—2; 0).

78.

Л4, (0; 28)

и

ЛЬ (0 ;-2 ).

79. Я, (1; 0)

и

Я3 (6; 0).

80.

С, (2; 2),

Я, = 2; С2 (10; 10),

/+ = 10 .

81. С, (-3 ;

-5 ),

С2 (5; -5 ).

82.

ЛЬ(3; 0).

83.

6(0; 4)

п D (—1; -3 ).

84. Условию

задачи удовлетворяют два

квадрата,

симметрично

расположенных

относительно стороны А В .

Вершины одного квадрата суть точки

Сt (—5; 0),

(—2; —4),

вершины

другого — С2 (3; 6),

0 2(6;2).

85.

С (3; —2),

R = 1 0 .

86.

(1;

—2).

87.

Q (4; 6).

88. Середины

сторон А В ,

В С ,

А С

соот­

ветственно суть (2; -4 ), ( - 1; 1), (-2; 2). 89.

1) А/ ( 1; 3); 2) N (4; -3 ).

90.

(I;

-3 ),

(3. I)

и

(-5 ;

7).

91. 0 ( - 3 ; 1).

92. (5; -3 ), (1; -5 ).

93.

/>,(2;1),

/ ) ,( —2; 9),

D3 (6; —3).

Указание .

Четвертая

вер­