книги / Сборник задач по аналитической геометрии.-1

грамма

94.

13.

95. (2;

- 1 )

и (3;

!р

96.

(

. ;

- 2 ] .

97.

AL V 2 .

98.

( — 11

-3).

99.

4.

-

л с

з-.

101.

, 1 ( 3 : - I) и

В (0; 8).

102.(3;—1). 103. (4 ;-5 ) .

104. (—9; 0).

105. (0; —3).

106.

1 : 3, считая от точки В.

107. ^4-^-;

l j.

108.

а =

* 1 +

*2 + - T .,

y = l i ± M ± l l _

log.

М (—1; 0), С (0; 2).

111.

(5; 5).

112.

( А

,

А

* ) .

113.

( | - а ;

i f

а).

m x i

+ п х 2 + рхз

___ту, + пу2+

Р У з

114.

х =

т + п +

р

У-

т +

л +

р

115.

(1:

2).

У к а з а н и е . Вес

однородной

проволоки пропорционален

ее

длине.

116.

1) 14

кв. ед.;

2)

12 кв. ед.; 3)

25

кв. ед.

117. 5.

118.

20

кв,

ед.

119.

7,4.

120. * =

и ’

У =

4 - А .

121. л- = - ^ ,

у-

"

'

‘ и ‘

' ~ J f

у ~ “ ъ ’

122.

(0; -

8)

или

(0; - 2 ) .

123.

(5; 0)

или

А ; о].

124.

(5: 2)

или

(2; 2).

125.

С, ( - 7 ;

- 3 ),

О, ( - 6;

- 4 )

или

(17;

- 3 ),

0,(18; - 4 ) .

126.

С, ( - 2 ;

12),

£ > ,(-5;

16) или С, ( - 2 ; - | ) ,

£>,( — 5;

127.

1)

х = х' +

3,

у = у' +

4;

2) х =

х‘ — 2,

у =

у

+ 1;

3) а = х‘ -

3,

у*=у' + 5.

128.

А (4; -

I),

В (0; - 4 ),

С (2;

01.

129.

1) .4 (0; 0),

В ( - 3 ; 2),

С ( - 4 ;

4);

2)

А (3;

- 2 ), В (0; 0),

С ( - 1 ;

2);

3)

А (4: - 4 ),

В ( 1; - 2 ),

С (0; 0).

130L_1) (3; 5);

2) (-2; 1);

3)

(0;

- I ) ;

4) ( - 5 ;

0).

131.

1) х ■

х’ — у’ У з

___х' У з +

у' .

У-

2 ) х ■

х

+

у'

У’

—

х' + у'

3 )

А- = — у',

у

х'\

4)

а == у,

V 2

’

\Г2

Г"з

3 \

У-

х';

5)

х ■

х .

у -

■у-

132. Л (3 )А3; 1),

В

С (З:

— Y 3 ).

_

133.

1)

М ( V 2 ; 2 \ г'2),

N (—3 ]г2\ 2 V 2 ),

р ( _ 1/ 2;

- 2 Т 'Л2);

2)

М (1; - 3 ),

/V (5; 1),

Р ( - 1; 3): 3)

АГ (— 1: 3),

N (— 5: - 1 ) ,

Р (1;

- 3 );

4) М ( -3 ; - 1 ),

N (\\ - 5 ),

Р (3; 1 ).

134.

I)

60°;

2)

-30".

135. 0 ' ( 2; - 4 ).

136.

.v =

.v '+ i,

у =

у '-

3.

137.

А = А - х '

+ А

( Л

у =

-

А а ' +

А (/'.

138.

3 1 ,( 1 ;

5 ),

М , (2 ; 0 ),

М3 (16; —5).

139.

Л (6; 3),

В (0; 0),

С (5 ;-1 0 ).

140.

1)

О' (3; -

2 ),

a =

90°;

2) O’ (—1;

3),

a =180°;

3)

O '(5; - 3 ),

a =

-4 5 °.

141.

T =

- - A . v

' - A

s' +

9, y

=

I , - ' _

i i !, ' - 3, 142. AMU 9),

M2(4; 2 ),

Af3 (1; —3),

Mt (O; 2 -f T'T), Afs ( l - f V T ; l).

143.

M, (0; 5),

M >(3; -0),

Af3 (— 1;

0),

M4(0; —6),

Af3 (V^3;

l).

144.

Al, (2;

0),

3 ; f ) ,

/И ,( 2 ;- ^ ) ,Л 4 5 ( 2 ; | ) .

145.

Al, (^ 2 ; |

я ).

146.

/ (х, у) =

ЛГ,112 :тИ'

М ^ т Н *

м (4: “ is")-

2ах — а\

147.

1)

/ U, у) =

Чах; 2) / <JC, i/> =

—2„х—л2.

146.

/ (.V,

у) ~= lx- +

Ur -f 2аг.

149.

/ (.V, у) — 4дг- + 4у- — 4<(.г —

— 4ау +

4л-.

150.

/ (г, у) — л* Ч- и- — 25.

151. / и . //) ~

о vr/ _ 15

152.

При повороте

координаты*

осей

выражение функции "не ме­

няется.

153.

(3; Г». 154. Такой точки

не

существует,

i55.

± 45е м ш

± 130°.

156.

30°,

120°,

-6 0 ° ,

-

150°.

157.

Точки

Л/.,

М,

и Д[, ле­

жат

на

линии;

точки

Д12,

Л/3 и

Л!„

не

лежат

на ней. Уравнение

определяет

биссектрису второго

и четвертого координатных хг.гав

Рис.

58.

(рас.

5S).

158.

1)

(0; - 5 ),

(0;

5); 2)

( - 3 ;

- 4 ), ( - 3 ;

4); 3)

(5;

0);

1) на

данной линии такой

точки

пет;

5)

(—4; 3), (4: 3); 6 ) (0; —5);

I ) на данной лпш-ш такой точки нет. Уравнение определяет окруж­

ность

с центром

О (0; 0)

и

радиусом о

(рис.

59).

159. 1) Биссек­

триса

первого и третьего

координатных

углов: 2) биссектриса вто­

рого

и

четвертого

координатных

углов;

3)

прямая,

параллельная

оси Оу, отсекающая па положи­

тельной

пилуосн Ох, считая от на­

чала

координат, отрезок, равный 2

(рис. 60);

41

прямая,

параллель­

ная оси Оу, отсекающая на отри­

цательной

полуоси

Ох, считая

от

начата

координат,

отрезок,

рав­

ный 3 ( рас. 60); 5) прямая, парал­

лельная осп Ох, отсекающая на

положительной полуоси Оу, считая

Рис.

60.

от начала координат, отрезок, ра­

вный

5 (рис. 60):

6)

прямая,

па­

раллельная

осп

Ох,

отсекающая

сы тая от

начала

коорднтп,

на

отрицательной

полуоси

Оу,

отрезок, равный 2

(рис. 60); 7 ) прямая,

Рис.

01.

Рис. 62.

У

У

0

X

II

II

I

I

у +

н

О

W*

у +4=0

Рис.

03.

Рис. 64.

с осью абсцисс, и прямой, совпадающей

с осью ординат; 13) линия

состоит из двух прямых,

параллельных

оси

абсцисс, которые отсе­

кают на оса

ординат, считая от начала координат, отрезки, равные 3

и

— 3 (рис. 62); 14) линия состоит

нэ

двух

прямых,

параллельных

оси Оу, которые отсекают на

положительной полуоси О.т, считая

от

начала

координат,

отрезки,

равные 3 и 5 (ряс. 63): 15) линия

состоит из двух прямых, парал­

лельных оси Ох, которые отсекают

на отрицательной полуоси Оу, счи­

тая от начала координат, отрезки,

равные 1 и 4 (рис. 04); 16) линия

сос тоит из

трех прямых;

прямой,

Рис.

66.

2 1) линия

состоит

из двух

лучен,

расположенных

в верхней

полу­

плоскости, выходящих

из точки ( 1; 0) и направленных параллельно

биссектрисам

координатных

углов (рис. 65); 22)

линия

состоит нз

двух

лучей,

расположенных

в верхней

полуплоскости,

выходящих

из точки

(—2; 0) и направленных

параллельно

биссектрисам

коор­

динатных

углов

(рис. 65); 23) окружность

с центром

в начале

ко­

ординат

и радиусом

4 (рис. 67); 24)

окружность с центром

О, (2; 1)

и радиусом 4 (рис. 67); 25) окруж­

ность

с центром (—5;

1) и радиу­

сом 3; 26)

окружность

с центром

(1; 0)

н

радиусом

2;

27) окруж­

ность с центром (0; —3) и радиу­

сом 1; 28) линия состоит из одной

точки

(3;

0) — вырожденная

ли­

ния;

29) линия состоит

из

одной

точки (0; 0) — вырожденная линия;

30)

нет

нн одной

точки,

коор­

динаты

которой

удовлетворяли

бы

данному уравнению

(«мнимая

линия»);

31) нет ни одной

точки,

координаты

которой

удовлетво­

ряли

бы

данному

уравнению

(«мнимая линия»). 160. Линии 1),

2)

и 4) проходят через начало ко-

6) (0;

7),

(0;

- 7 );

2)

а) (0;

ординат.

161.

1) а)

(7;

0),

(—7; 0);

0), (6; 0);

б)

(0; 0),

(0;

-

8); 3)

а)

(-1 0 ;

0),

(—2;

0);

б) линия

с осыо

Оу не

пересекается;

4)

линия с

коорди­

натными

осями

не

пересекается;

5) а) (0;

0),

( 12; 0);

б)

(0; 0),

(0; —16); 6) а) линия с осью Ох не

пересекается;

б) (0; — 1), (0; —7);

7) линия

с

координатными

осями

не

пересекается.

162.

1) (2; 2),

( — 2 :

— 2 );

2 )

(1 ;

— 1),

(9 ; — 9 ); 3 )

(3 ;

— 4 ),

^ 1 - | - ;

— 4 - | - j ;

4 )

линии

не пересекаются.

163.

Точки

Мх, М2 и М4

лежат на данной

линии;

(рис. 68).

164. а)

(б; - | ) ;

б)

(б;

в)

(3: 0);

г)

(з у 'У ;

у ) ;

прямая, перпендикулярная к полярной оси

и отсекающая

на

ней,

считая от

полюса,

отрезок,

равный

3 (рис.

69).

165.

а)

^1;

-5-j;

б) ^2;

и ^2; -|- n j;

в)

^VT;

и ( у Т ;

nj;

прямая,

рас­

люса,

наклоненный

к

полярной осп под

углом

(рис. 70):

4) прямая, перпендикулярная

к полярной

оси, отсекающая

на ней,

считая

от полюса, отрезок а =

2; 5) прямая, расположенная в верх­

ней

полуплоскости,

параллельная

полярной оси, отстоящая

от нее

на

расстоянии,

равном

1; 6) окружность

с центром С, (3; 0) и ра­

диусом

3 (рис.

71);

7)

окружность

с центром С2 ^5; -y j

и

радиу­

равную 6я (рис. 77), 171. На пять пастей

(рис.

7Ь).

172.

Р ^ 12;

(рис. 79). 173. Q(81: 4) (рис. 80). 174. Прямые

х ± у — 0.

175. Пря­

мые

,v ± а =

0.

176.

Прямые

у ~

Ь

--=

0.

177. у + 4 —О. 178. х—5 —0,

179.

1) Прямая

х — у — 0; 2) прямая

х f

у —0: 3)

прямая х — 1=0;

4) прямая

// — 2 — 0. 180.

Прямые

4 ti.v ± r =

0.

181.

x^ +

i f — r'2.

182.

(,v -

а )2 + (у -

рр =- г2.

183.

х2 +

i/2 = 9. 184.

х-’ +

i f =

10.

185.

х2 +

у2 =

а2.

186.

(х — 4Р +

//- — 16.

187.

~

+

М— =

1.

*

”

-•>

н>

188.

---------

— 1.

189. у- = !2х.

192.

у2=

2рх — парабола.

193.

— +

——== 1 — эллипс.

194.

--------- --

— 1 — гипербола.

195.

х~

+

и'

196.

Правая

ветвь

гиперболы

—г = 1 — эллипс.

ргт- — ~гг —

1

197.

у2 — 20х —парабола.

198. о cos0 =

3.

199. 0 = —

200.

tg 0 = 1.

201.

рsin 0 +

5 =

0,

р sin

0 —5 =

0.

202. р =

10 cos 0.

которых

в

полярных

координатах

р +

6 sin 0 =

0,

р — 6 sin 0 =

О.

204.

х

—

a

cost,}

_£[_

if

_ j

205.

x =

______ab соз t

y

—

b

sin t\ j

o2

f

~

V a2sin2 1+

b2cos2 1 ’

sin t

У —

a b

v — ______ ab cos t

1

«-’sill2 1 +

62 cos2 1

V b 2cos2 t — a‘ sin21 ’

a b

sin t

sin -1

W 7

I)

X =

~ ,

l1 — 0, 2 ) x =

2p ctg2 /,

У

b 2 cos2 i — i r

- p

у — 2p ctg f-

3) x

ТГ ctg2' ту,

// = p cig

208. I ) x =

2R cos- 0, }

x — R sin 20,

|

i- =! 9n I'tfr* ft

i

У=

R sin 20;

J

2)

209.

у — 2R sin2 0; 1

у

== 2p ctg 0.

j

1 )

X

2)

x2 +

if

— a" — 0:

X'

f

1=

0;

4)

- -

f

x? + f

-

2Rx = 0

i f

U~

b 2

■r> )

6 )

X2 +......................./ / ' - -2/? y = 0;

7)

2.px.

! =

0.

210.

Точки

Д1,,

А/,, и

Л],

лежат на

данной

прямой; точки М, М,

и .416

нс

лежат

на

ней

211. 3.

- 3 ,

0. — 6 и -

12.

212. I, — 2 4

- 5

и

7.

213. (6; 0), (0;

- 4 ) . 214. (3;

—5). 215. ,4(2; - I ) , В ( - \ - 3»’

С (2; 4).

216.

(I;

- 3 ),

( - 2 ,

5). <5; - 9 /

и (8; -1 7 ).

217. .4 =

17 к в ’ ет’

Рис. 79.

Р и с S(t.

218.

С, (— I;

4)

или С2^ - у - ; — -ф.].

219.

С, (1;

- 1 )

или

С2 (—2;

- 10).

220.

1) 2х — Зу +

9 =

0; 2)

Злг — у =

0; 3)

у +

2 =

0;

4)

Зх + 4 у — 12 = 0;

5)

2х + у + 5 = 0;

6 ) х + З у - 2 = 0.

221.

1)

к = 5, 6 =

3;

2)

k = —

О

Ь = 2;

3)

k =

-

о

Ь =

о

4)

6 =

0;

5)

6 =

0,

6 =

3.

222.

1)

2)

223.

1)

2х + 3// — 7 = 0; 2)

Зх — 2 у - 4

=

0.

(1;

224.

Зх +

2у =

0,

2х — Зу — 13 =

0.

225.

(2;

1), (4;

2),‘ (—1;

7),

8).

220.

( - 2 ; - 1 ).

227.

Q (11; —И).

228.

1)

Зх — 2у — 7 =

0;

2)

5х +

у - 7 = 0:

3)

8 х + 1 2 у +

5 = 0;

4)

5х +

7у +

9 =

0;

5)

§х - ЗОу - 7 = 0.

229.

a)

k =

7;

б)

6 =

в)

k =

-

230.

5х -

2у -

33 =

0,

х -]- 4у — 11 = 0 ,

7х +

6у +

33 =

0.

232.

231.

7 х - 2 у - 1 2

=

0,

5х +

у - 2 8

=

0,

2х — З у — 18 =

0.

х +

у + 1 = 0 .

233. 2х +

+

3(/ -

13 =

0. 234. 4х + 3 / / -

11 = 0 ,

х 4- у +

2 =

0, Зх +

2г/ — 13=0.

235.

(3;

4).

226. 4 х + у - 3

=

0.

237. х — 5 = 0.

238.

Уравнение

стороны АВ: 2х +

у — 8 = 0; ВС: лГ-f'Jty — 1 =

0; СА: х — у — 1 =

0.

Уравнение медианы, проведенной и.) вершины

А:

х — 3 =

0;

из

вершины В: х + у — 3 = 0;

из

вершины

С: у = 0.

239. (—7; 0);

(0; +

2 y j .

242.

(1;

3).

243.

Зх - 5у + 4 =

0,

х +

7у -

16 =

0,

Зх — 5у — 22 =

0,

х + 7 у + 1 0 =

0. 244.

Уравнения

сторон прямоу­

гольника: 2х — 5у +

3 = 0,

2х — 5у — 26 =

0;

уравнение

его диаго­

нали: 7х — Зу — 33 = 0. 245.

5х + у — 3 =

0 — бисс’ктриса внутрен­

него

угла; х — 5у — 1 1 = 0 — биссектриса внешнего угла. 246. х + у —

— 8 = 0; 11х — у — 28 =

0. У к а з а н и е. Условию задачи удовлетво­

параллельно отрезку АВ.

247.

(—12; 5).

248. А1, (10; —5).

249. Р ( ! ■»)• У к а з а н и е .

Задача

может

быть решена по еле

дующей схеме: 1) устанавливаем,

что

точки

А1 и N расположены

250.

Р(0;

II).

251. Р (2; - 1 ) .

252.

Р (2; 5).

253.

1)ф =

-у-;

2 ) ф = -£-;

3)

(р = 0 — прямые

параллельные;

4)

(p =

arclgyy-.

254.

х — 5 //+ 3 = 0

пли 5х + у — 11 = 0 .

255.

Уравнения

сторон

квадрата:

4х +

З у + 1 = 0 ,

З х — 4у +

32 = 0,

4х +

3у — 24 =

0,

Зх — 4у +

7 =

0;

уравнение его

второй

диагонали: х +

7у — 3 1 = 0 .

258.

Зх — 4у +

15 = 0, 4х + 30 — 30 =

0, Зх — 4у -

10 =

0, 4х +

3у -

- 5 = 0.

257.

2х + у — 16 =

0,

2х +

у +

14 =

0,

х -

2у — 18

=

0.

258.

Зх — у +

9 = 0,

Зх + у +

9 = 0.'

259.

3)

29х — 2у +

33 =

0.

262.

1) З х - 7 у - 2 7

= 0; 2)

х + 9у +

25 =

0;

2.x — Зу — 13 =

0;

4) х—2=0: 5,1 у+ 3 = 0 . 264. Перпендикулярны 1), 3) и 4). 266.' 1) <р =

45°;

2) ф = 60°; 3) (р =

90°. 267, /VIз (6; - 6).

268.

4х - у

-

13=0,

х - 5

= 0 ,

х + 8// +

5 =

0.

269.

ВС: 3* + 4//- 2 2

=

0; CA: l x — 7y — 5 = 0;

i'.'x: 3* +

by—23 =

0. 270. x + 2y—7 = 0,

x —4y — i = 0» *—//+2—0.

У к а з а н и е .

Задача

может

быть решена

по следующей схеме:

1. Устанавливаем,

что вершина

А не лежит

ни на одной из данных

точки

А и М, строим отрезок ЛЮ = /1Л1 (рис. 81). Затем опреде­

ляем

координаты точки D, зная точку Л1 — середину отрезка AD

сторон. 271.

3*

— Ьу — 13

= 0,

8 v - 3 / / + 17 = 0,

5* +

2у—1 = 0 .

272. 2х—у + 3 =

0,

2* +

у—7 = 0,

х — 2у — 6 = 0.

У к а з а н и е .

этого\тла, будет лежать на другой его стороне. 273.

4*—3у +

10=0,

7х +

// — 20 =

0, 3* +

4// — 5 =

0.

274.

4х +

7у — 1 =

0, у — 3 =

0,

4

г +

Зу—5 =

0.

275. 3* +

7у-Ъ = 0, 3* +

2 у -1 0 = 0 , 9* +

11//+5=0.

276.

х — Зу — 23 = 0,

7х + 9у +

19 = 0,

4х +

Зу +

13 =

0,

277. * +

у—7 =

0, х +

7у +

5=0, *—8у +

20=0.

278. 2х +

9//—65=0,

Ох—7//—25 =

0, 1 8*+

13// — 41 = 0 .

279.

* +

2у =

0, 23* +

25у =

0.

289.

8 * - // - 2 4

=

0.

283.

3* +

// =

0,

* -3 // =

0.

284.

3* +

4//— 1 =

0,

7 * +

24// — 61 = 0 .

285.

1)

а =

—2,

by — 33 =

0:

2)

а, = —3,

* — 56 =

0;

аг =

3,

5* +

8 =

0;

3)

а.

3* ■ 8у =

О

а, =

3 ’

33* — 5 6 //= 0.

286.

от =

7,

п =

—2, |/ +

3 = 0.

287.

от =

—4, п —-21.

* — 5 =

0.

288.

1)

(5;

6);

2)

(3;

2);

3)

( 1

4)

(2;

-

II

)■

•

>

(

-

f

*)291.

1)

При

а Ф 3;

2)

при

или

3 и 6 =+ 2; 3) при

а •

=3

и

6 =

2.

292.

1)

от = —4,

п ф 2

от =

4,

п ф — 2;

2)

от =

—4, п — 2

нли

m =

4,

я =

- -2; 3)

от = 0, п — любое

эначе*

ние.

293.

т = ~7.

294.

Условию

задачи

удовлетворяют

два

значе­

ния

от: о т ,= 0, от2 =

6.

295.

1) Пересекаются; 2)

не

пересекаются;

3) не пересекаются. 298. а = —7. 299.

1) ■— +

У- =

*

I

У

1.

о

X

12

у

4)

R4

,

-

1

(рис, 8 2 ).

3 )^

+ 1 = “ =

2/з

+

-

*/.

ь

5)

+

т г

VT +

у2

300. 6 кв. ед. 301.

* +

j/ +

4 =

0. 302.

* +

// — 5 =

0,

* — у +

I =

0,

3* — 2у = 0. 303.

Р е ш е н и е . Напишем уравнение искомой прямой

«в

отрезках»:

х_

О)

а

а + Ь <вжаЪ.

(2)

Теперь заметим, что

площадь треугольника S, отсекаемого

прямой

от координатного угла, определяется формулой

± S *■

+ S

в том случае, когда

отрезки а и b одного знака,

и — 5 в том слу­

задачи

будем иметь:

ah — £

4.

13>

Решим

систему

уравнений

(2)

и

а + b — 4, >

а + 6 =

—•!, Т

(3):

I

ab

—4. j

ab — 4;

тогда получим:

я, = =2, й,= 2;

я, =

- -2 + 2 V 2 , l>t = - 2 -

2 ] Т ;

—2 — 2 Т 2 , bs — —2 +

2 Г 2 .

Таким образом,

условию задачи

значения иараметров а и b: — +

У- =

[,

'

Д‘

+

"

2

х

—2+2Г2

-2—2Г 2

!/

—2— 2 У 2

- 2 + 2 V 2

После

укрощения

этих

уравнения

получим: х +

и — 2 =

0, ( I +

V if) х +

+ (! - |'Т ) у - 2

=

0, (I - Т /Г2)* +

+

( I +

if

— 2 =

0.

304.

Условию

задачи удовлетворяют следующие три

прямые: (l^2_+

l) х +

l) у

—

-

Ш =

0, ( V 2‘

— I) .г -+ (1-2 +

|)н +

+

10 =

0,

х —у — 10 — Q.

305.

З х -

—2ц— 12—0,

3* — Зу +

24 = 0.

306. х + 3у—30 =

0, Злг+ 4(/ —СО =

0.

Зх -

|/ - 30 =

0,

х

-

12i/ +

G0==0.

307.

Условию задачи

удовлетворяют

две

прямые,

пересекающие

соответ­

ственно оси координат в точках (2; 0),

(0; - 3 )

п (-4 : 0), ^0;

308. S >

> 2 х,(/(, 309. Прямые

I), 4), 6 ) и 8 >заданы нормальными уравнениями.

4

3

“

4

3

Л- + -

р

-

10 =

0;

3)

-

12

4-

зю. 1)-гдг--Г-г/

0; 2, _

1

~ х

О

о

+ 13 » - ! ■

■0;

4)

5)

1 5

— у ~ \ — о.

Кб

ЗП. 1) а = 0, р = 2, 2) а = л , р = 2; 3) а «

р = 3. 4) и = - у ,