книги / Сборник задач по аналитической геометрии.-1

лам

тот

двугранный

угол

между двумя

плоскостями

2х — 14у + 6z - 1 = О, З.т +

Ьу — 5г + 3 =

0, в котором

лежит начало координат.

979. Составить уравнение плоскости, делящей попо­

лам

тот

двугранный

угол

между двумя

плоскостями

2х — у +

2г — 3 = 0,

З.т -J- 2у — 6г — 1 = 0 ,

в котором

лежит точка М( 1; 2; —3).

А \ Х + В \ у

+ CjZ +

=

0,

{

(О

А2х “Ь В2у -{- C2z -{- D2

«

0

при условии,

что коэффициенты Ai, Вг, Ci

первого

из них ие про­

порциональны

коэффициентам

А}, Вг, С2

второго

(в противном

Пусть некоторая

прямая а определена уравнениями (1) н а

и Р — какие

угодно

числа, одновременно не равные нулю;

тогда

уравнение

а (Л ^ +

Влу + Ci? + D\) + Р (Л2х + Вгу + C2z -j- D2) = 0

(2)

определяет плоскость, проходящую через прямую а.

Уравнением вида

(2) (при соответствующем выборе чисел о, Р)

прямую, называется пучком

плоскостей. Уравнение

вида (2)

назы­

вается уравнением пучка плоскостей.

Если а

в

привести

ф 0, то, полагая — = X, уравнение (2) можно

к виду

Aix +

В\у -f- C\Z + Di +

к (А2х + В2д + C2z +

В 2) =

0.

(3)

| 2х — Зу + 5г —

6 =

0,

[

х + 5у — 7г +

10 =

0

пересекает ось

Оу.

986.

Определить, при каком значении D прямая

|

2х + Зу — z +

D — 0,

( Зх — 2у + 2z — 6 =

0

пересекает: 1) ось

Ох; 2) ось Оу, 3)

ось Oz.

987.

Найти

соотношения, которым должны удовле­

творять

коэффициенты уравнений прямой

|

~Ь Byj +

CiZ -f- D1 = 0,

\

А2х + В2у +

C2z +

D2 = 0

2) оси

Оу; 3)

оси Oz.

должны удовле­

988.

Найти

соотношения, которым

творять коэффициенты уравнений

прямой

|

71iX + В ] г/ +

C[Z +

D\ =

0,

\

АоХ -}~ Bot/ +

C2z +

D2 =

0

для того, чтобы эта

прямая пересекала: 1) ось абсцисс;

2)

ось

ординат; 3)

ось

апликат; 4) совпадала с осью

абсцисс;

5) совпадала с

осью

ординат;

6)

совпадала

с осью апликат.

A,(х + 3 # +

+

989.

В пучке плоскостей 2х — Зу + z — 3 +

22 -)- 1) = 0 найти

плоскость,

которая:

1)

проходит

990. Составить уравнение плоскости, которая про­

ходит через прямую пересечения плоскостей

Зх — у +

+

2г+9 = 0, х + г —3=0: 1) и через точку

(4; —2; —3);

2)

параллельно оси Ох; 3) параллельно оси Оу; 4) парал­

лельно оси Oz.

уравнение

плоскости,

проходящей

991. Составить

через прямую пересечения плоскостей 2х —у +

3z —5= 0,

х \ - 2у — 2 + 2 = 0 параллельно вектору /={2;

—1; —2}.

992. Составить

уравнение

плоскости,

проходящей

через прямую пересечения плоскостей 5х — 2y —z —3 =

0,

х 4- Зу — 2г + 5 = 0

параллельно вектору

7 =

(7; 9;

17}.

993. Составить

уравнение

плоскости,

проходящей

через прямую пересечения плоскостей Зх—2у +

z —3 = 0,

+ 17с — 8 =

0 пучку

плоскостей

а(5х — у + 4z — 1) +

+ Р (2х+ 2у — Зг + 2) = 0.

5х —

998. Определить,

принадлежит ли плоскость

— 9у — 2z +

12 = 0 пучку плоскостей а (2х—3у + 2—5) +

+ Р (х — 2// — г — 7) =

0.

значениях I и т

пло­

999. Определить,

при каких

скость 5х +

ly + 4z +

т — 0 принадлежит пучку плоско­

стей а (Зх — 7у + 2 — 3) + р (х — 9у — 2г + 5) = 0.

1990. Написать уравнение плоскости, которая при­

надлежит

пучку плоскостей

а (х — Зу + 7г +

36) +

лежит

пучку плоскостей а (4* + 13г/ — 2г — 60) + Р (4* +

+ Зу +

Зг—30) = 0 и отсекает от координатного угла Оху

на

координатные плоскости.

1004. Составить уравнения проекций прямой

(

дг-f 2у — 3'z — 5 = 0,

1 2х — у + z + 2 = 0

на

координатные

плоскости.

1003. Составить уравнение плоскости, проектирую­

щей прямую

( Зх + 2у — 2 — 1 = 0 ,

[ 2х — Зу + 2z — 2 = 0

на

плоскость х +

2у + Зг — 5 = 0.

1006. Составить уравнения проекции прямой

( Ъх — 4у — 2г — Ь = 0 ,

\

х - \ - 2г — 2 = 0

на

плоскость 2х — у + 2 — 1 = 0 .

х — *п

У —Н о

г — г й

О)

I

*в от —

п

гочки Afj (ху, у и Zi) и М2(х2; у-у, г2),

имеют вид:

х — х,

У — у,

. г — г,

х2 — х,

у2 — у |

г2 — г, '

1 1

х — хр

у — Уо _

г — z0

I

т

п

Отсюда

х=Хо +U,

I

|

У^Уо + mt,

( 3)

{

z = 20 +

nt.

Прн < = 0 точка М совпадает

с точкой Л1о.

Скорость

v точки М

постоянна н опргделяется формулой

v = V l 2 + тг + п \

1007. Составить канонические уравнения прямой,

проходящей через точку

^ ( 2 ; 0;

—3) параллельно:

1) вектору в = {2; —3; о}; 2) прямой —^— =

з -==~—Г’

1008.

Составить канонические уравнения прямой*

проходящей

через

две

данные

точки:

1)

(1; —2;

1),

(3; 1; -1 );

2)

(3;

- 1 ; 0), (1; 0, -3 );

3)

(0{ - 2 ;

3),

(3; - 2 ;

1);

4) (1; 2;

- 4 ), ( - 1 ; 2; - 4 ) .

1009.

Составить параметрические уравнения прямой»

проходящей

через

точку Afj(l; —1; —3) параллельной

1) вектору а =

{2; —3; 4}; 2) прямой

3) прямой x — 3 t ~

1, у =

—2f +

3, 2 =

5^ +

2,

1010.

Составить параметрические уравнения прямой»

проходящей

через

две

данные

точки:

1)

(3}

2),

1011.

Через точки M j(—6;

6; —5) и М2( 12$ —6; 1)

проведена

прямая. Определить

точки пересечения этой

1013. Даны

вершины

треугольника

Л(3; —1; —1),

5(1; 2; —7) и С (—5; 14;

—3). Составить

канонические

уравнения

биссектрисы

его внутреннего

угла при вер­

шине С.

вершины треугольника

Л (2; —1; —3),

1014. Даны

В (5; 2; —7)

и

С (—7; 11; 6). Составить

канонические

1015.

Даны вершины треугольника Л (1; —2; —4),

5(3; 1;

—3) и С (5; 1; —7). Составить параметрические

проекций на

оси координат

произвольного направляю­

щего вектора

этой прямой.

1017. Дана прямая

{ 2х — у + 3z + 1 =

0,

\ Зх + у —

2 — 2 =

0.

Найти разложение по базису I, /,

k какого-нибудь ее

1) 1

х — 2у -(- 32 — 4 = 0 ,

2) f

5 х + у + 2 = 0 ,

[ Зх + 2у — 52 — 4 = 0;

(2* +

Зу — 2г + 5 = 0;

3) J

* - 2 у + 3 2 + 1 = 0 ,

{ 2х + у — 4г — 8 = 0.

\

Зх — 5# +

2z +

1 = 0;

I 2л: — у + 2 + 1 = 0.

1021. Доказать параллельность прямых:

.» х + 2

у —1 г

f

X У Z — 0,

} 3 “ - 2 — 1 и ( х — (/ — 5г — 8 = 0;

2) х = 2/ + 5, // = — / + 2, z — t ~ 7 и

j

х +

Зг/ +

2 +

2 =

0,

1 х —

у — 3z — 2 =

0;

3) Г х + // — 32 + 1 = 0,

( х + 2у — 52 — 1 = 0,

I х у -}- 2 + 3 = 0 И 1 х — 2х + Зг — 9 = 0.

1022. Доказать перпендикулярность прямых:

. ^ jc

у —1

г

| Зх + у — 52 + 1 = 0,

' 1 "" ~2 — "з и \ 2х + 3 * /-8 г + 3 = 0;

2) х = 2/ + 1, у = 3t — 2 , 2 = — 6/ + 1

Г 2х +

у -

4z + 2 = 0,

И 1 4х - у - 52 + 4 = 0;

| х + у

32

1 = 0 ,

| 2х + у + 2г + 5 = 0,

“М 2х —у — 9z — 2 = 0 11 \ 2х — 2у -

2 + 2 = 0.

1023. Найти острый угол между прямыми:

X

— 3 __ У +

2 _

г

JC+

2 __ у — 3

г + 5

1

-1

/ 2

’

1

1

1^2* *

х + 2 ____ у____г-^ 1

x — s __ у -

I

т - 7

2

- 3

4 ’

I

4

--------2 ~ 5

х —а, __ y — bi

__ г — с1

х —аг _

у — Ь2 ___ г — сг

1\

ОТ,

Я,

12

ОТ2

«2

лежат в

одной

плоскости,

может

быть

представлено

X — 1

у +

1

2 — 3

3 —

2

“

- 5 ‘

через точку

Af, (—4; —5; 3) и

пересекает две прямые

* + 1

у + 3

2 — 2

х — 2

/ / + 1

2 — 1

3

— 2

— 1 ’

2 в

3

— 5

1031. Составить параметрические уравнения общего

перпендикуляра двух прямых,

заданных уравнениями

и

x = 3t — 7, y = - 2 t + 4, 2 — 3/ + 4

I,

у = 2/ — 8,

z — — t — 12.

x = t

1032.

Даны уравнения

движения точки

М(х; у ; z)

х — 3 — 4t,

y*=5-\-3t,

г «=—2 + 1 2 /.

Определить ее скорость

v.

1033. Даны уравнения движения точки М(х\ у\ z)

х — 5 — 2t,

y -

— 3-\-2t,

г==5 — t.

Определить

расстояние

d,

которое

пройдет эта точка

за промежуток времени от

=

0 до

/2 = 7.

1034. Составить уравнения движения точки М (х; у\ г),

которая,

имея начальное

положение М0(3;

—1} —5),

со скоростью 0 = 26. Составить

уравнения

движения

точки М и определить точку, с которой она

совпадает

в момент времени t = 3.

у\ г) движутся прямо­

1037. Точки М (х; у; г) и N (х)

1)

х — 1 _ у +

1 _

*

о „

I о.. I

_

1

1

- 2

2х

-f Ъу +

2

— 1 = 0;

2)

* +

3

и -

2 _

г +

1

х — 2у 4-

г — 15 = 0;

3

- 1

- 5

3)

х +

2

у — 1

г - 3

х 4- 2у — 2г 4~ 6 = 0.

- 2

~

3

2

5дс + Зу — 4г — 41 = 0.

1042. Составить уравнения прямой, проходящей через

точку М0(2; —3; —5) перпендикулярно к

плоскости

6х — 3// — 5г + 2 = 0.

проходящей

1043. Составить уравнение плоскости,

через точку М0(1; —1; —I)

перпендикулярно к прямой

ж + з

_ // — 1 _

г + 2

2 ~

- 3

~

4 •

1044. Составить уравнение плоскости, проходящей

через

точку

М0( 1; —2; 1)

перпендикулярно к прямой

1045. При каком значении т прямая

= " - =

|

Зх — 2у +

2 +

3 =

0,

|

4х — Зу +

4г +

1 =

0

параллельна плоскости 2 х — у - \- C z ~ 2 = 0 ?

у =

1047.

При каких значениях А и D прямая х = 3 + 4/,

1 — 4/, z =

— 3 +

/ лежит

в плоскости +х + 2у —

— 4г + D = 0?

значениях

А и В плоскость Ах+-

1048.

При каких

+ By + З2 — 5 =

0 перпендикулярна к прямой х — 3 + 2t,

у =

5 — 3/, z =

- 2 - 2t?

1049.

При каких

значениях / и С прямая —

=

у ^ 1 =

-г£ ~ -

перпендикулярна к плоскости Зх — 2у+-

-+ Сг + 1 = 0 ?

проекцию точки Р(2; —1; 3) на прямую

1050. Найти

х «= 3/, у = 5/ — 7, 2 = 2/ +

2.