книги / Сборник задач по аналитической геометрии.-1

в начале координат

и

радиусом,

равным

7.

886.

is (1: 2; 2)

к

Ц; 2; ~ 2); 2) на дайной

поверхности нет такой точки:

-и (2 ; 1; 2) н

(2; —!: 2):

4) на данной поверхности нет такой точки.

887. 1) Пло­

скость Oyz;

2) плоскость

O x z ; 3)

плоскость

О х у ,

4) плоскость,

па­

раллельная

плоскости

O y z

и лежащая в ближнем

полупространства

скости

O x z

н лежащая

в левом

полупространстве на расстоянии

двух

единиц

от нее;

6 )

плоскость,

параллельная плоскости

О х у и

лежащая в нижнем

полупространстве на расстоянии пяти

единиц

от нее;

7) сфера с центром в начале координат и радиусом, равным 5;

8) сфера с центром (2; —3; 5) и радиусом,

равным

7;

9) уравнение

определяет единственную

точку — начало координат;

10) уравнение

никакого

геометрического

образа в

пространстве

не

определяет;

1 1 )

плоскость,

которая

делит пополам двугранный угол между пло­

скостями

O x z ,

O y z и

проходит в 1, 3, 5 и 7 октантах;

12) плоскость,

которая

делит пополам

двугранный

угол между плоскостями О х и ,

О у г

и

проходит

во

2, 3,

5

и 8 октантах; 13) плоскость,

которая

делит

пополам

двугранный

угол

между

плоскостями О х у , O x z н

проходит в !, 2, 7 н 8

октантах;

14)

плоскости O x z

и O y z ;

15) пло­

скости

О х у и O y z ;

16)

плоскости

О х у и O x z :

17) совокупность всех

трех координатных плоскостей: 18) плоскость

О у г

п плоскость, па­

раллельная плоскости

О у г

и лежащая в ближнем по тупространстве

на

расстоянии

четырех

единиц

от

нее;

19)

плоскость O x z

и пло­

O x z ,

О у г

и проходит в 1,3, 5 и 7

октантах:

20) плоскость О х у

и

плоскость,

которая

делит

пополам

двугранный угол между плоско­

стями О х у , O x z

н проходит в 3, 4, 5 и 6 октантах. 889. х2+

t f

- \ - z - = r - .

890. ( х - а ) 2-Mr/-f})- + ( г - у )2 = /■-’. 891.

у -

3 =

0. 8 9 2 .2 г - 7 =

0.

893.

2 х +

3 =

0.

894.

20г/ +

53

- 0.

895.

х2 +

у -

+

г 2 =

а'.

896.

л-2 + у - + г2 =

а\

897

х +

2г = 0.

898.

+

- | r =

1.

у2

j/2

— 1.

900. Точки

Л1,. Mj

лежат

на данной

899. — ------+ — - =

IO

У

ш

линии; точки М:, ЛГ, не лежат на ней. 901. Линии I) и 3) проходит

через начало

координат.

902.

1) (3; 2; С) и

(3; —2; 6)

(3; 2; 6 )

к

(—3:2; 6); 3) на данной линии нет такой точки.

903. 1) Ось

апликат;

2) ось

ординат; 3)

ось

абсцисс; 4) прямая, проходящая

через точку

(2; 0; 0)

параллельно оси

Ог; 5) прямая,* проходящая

через точку

I—-2; 3; 0)

параллельно Оси Ог; 6) прямая, проходящая через точку

15; 0; —2)

параллельно

оси

О у ; 7) прямая, проходящая

через точку

(0; —2; 5)

параллельно

оси

Ох;

8) окружность,

лежащая

на пло­

скости

О х у , с

центром

в начале

координат и радиусом,

равным

3;

9) окружность,

лежащая

на плоскости

Охг,

с

центром

в начале

скости О у г ,

с центром в начале

координат

и радиусом,

с

равным

5;

1 1 ) окружность,

лежащая

на

плоскости

z — 2 =

0,

центром

в

точке (0; 0; 2)

н радиусом,

равным 4. 904. х2 +

у- + г -

— 9, (/ =

0.

905.

х2 +

//2 +

г 2 =

25,'

// + 2 =

0.

906.

(х -

5>2 +

( р + '2 )2

+

(г — 1 )2 =

169, х =

0. 907. х2 +

у- + z - = 30, l x

— I )2 +

(// + 2)2 --

+

(г — 2)2 =

25. 908. (2; 3; —6). ( - 2 ; 3; —6).

909.

(1; 2; 2),

(—1;2;2).

910.

I) Цилиндрическая поверхность с образующими,

параллель­

ными

оси

О у ,

имеющая

направляющей

окружность, которая

на

плоскости

Охг определяется уравнением

х2 + г2 = 25; 2) цилмндри-

уравнением 4Ь" +

- т т - = 1; 3) цилиндрическая поверхность с обра-

Iо

1о

которая па плоскости Оху определяется уравнением

-г-------+ - = ! ;

4) цилиндрическая поверхность с образующими,

1о

9

параллельными

абсцисс;

8) уравнение

никакого

геометрического

образа

в про­

странстве

не определяет;

9) цилиндрическая

поверхность с обра­

зующими,

параллельными оси Оу,

имеющая

направляющей окруж­

ность; направляющая

на плоскости Oxz

определяется уравнением

х2+

( z —

1)2 =

1;

10) цилиндрическая поверхность с образующими,

параллельными

оси Ох;

направляющая

на

плоскости Ouz опреде-

ляется уравнением у2 +

/

1 \г

I

U + Y ) ==_4"- 911.1)х2 + 5у2—8г/ — 12 = 0;

2) 4х2 +

5г2 + 42 -

60 =

0;

3) 2у — z ~

2 =

0.

912.

1) 8х2 +

4г/2 -

— 36х +

16г/ — 3 =

0, г =

0; 2) 2х — 2г — 7 =

0, у = 0; 3) 4(/2 +

8г2 +

+ 16г/+

2 0 г -3 1

= 0 , х =

0.

913. х - 2 # +

Зг +

3 =

0.

914. 5 х - 3 г = 0 .

915. 2.1- — у — z — 6 = 0.

916. х — у — Зг + 2 =

0.

917. x + 4y + 7z +

4-16 =

0.

919.

х — у ~ г = 0.

921.

Зх +

Зм +

г — 8 = 0.

923.

1)

и = {2;—1; —2},

п = {2Я; — Я; — 2Я);

2)

п =

{1 ;5 ;—1}

п =

{Я; 5Я;

— Я}; 3) п =

{3; —2; 0}, п = {ЗЯ; — 2Я; 0};

4) п =

{0; 5; —3}

п =

{0; 5Я;

— ЗЯ};

5)

п =

{1; 0; 0},

п = {Я; 0; 0};

6 ) п = {0, 1, 0]

п =

{0; Я; 0}, где Я — любое число, ие равное нулю.

924. 1) и 3) опре

куляркыс плоскости.

926.

1)1 = 3,

т =

— 4;

2)

/ =

3,

т — — —

3

3)

/ =

- 3 - ] - ,

т =

-

l j .

927.

1)

6;

2) -1 9 ;

3)

-

у

.

928. 1)

у

it

и у

я;

2) у Я

и

у я ;

3)

- у ;

4)

arcco sy r

и

я — arccos у р .

929. 4.T — Зу 4 - 2г =

0.

930. 2х — Зг — 2 7 = 0.

931.

7Х — и — 5г =

0.

932. х + 2г — 4 = 0.

934. 4х — у — 2z — 9 =

0.

936.

x =

‘l, у = — 2,

2 =

2.

939. 1) аф7\ 2) а = 7, 6 =

3; 3) а =

7,

Ь=+3.

940.

1) 2 — 3 =

0;

2)

(/4 -2 = 0;

3) х + 5 = 0 .

94U I) 2у + г = 0;

2 ) 3 x 4 - z =

0;

3)

4х -f 3(/ =

0.

942.

1)

у + 42 + 1 0 = 0;

2)

х — 2 — 1 =

0;

3)

5х 4- У-

13 = 0.

943.

(12; 0; 0),

(0; -

8; 0),

(0; 0;

-

6).

944‘

^

+ ■§■ +

73Г =

*• 945- а = — 4, 6 =

3,

с = у .

946

240 кв. ед.

947.

8

куб. ед.

9 4

8

.

+

+

1.

949. - L

+

|

+

*

-

1.

950.

х 4- У4- г 4- Г) = 0.

951.

2х — 21у + 2г 4- 88 =

0,

2х -

3у — 2 г+

4-12 =

0. 952.

х + (/ +

г -

9 =

0, х — у —г +

1 = 0 ,

х - у

+ г —3=0,

V - L - » _ Z - 5

= 0.

953. 2x — у — 3z — 15 =

0. 954. 2*—3у +

г -6 = 0 .

955.

>-• — 'ЛУ — 2? 4

-2 =

0. 956. Плоскости

1),

4),

5). 7), 9),

11) и 12)

955.

•

„

-

-

2 -

2

1

заданы

нормальными

уравнениями. 957.

1)

у *

— - j у +

у

г —г>=0;

„

;

о; 0j .

969. 4л: — 4р — 2г +

15 =

0. 970. бх +

Зу+2г +

11 = 0.

971.

2л: — 2 у

— г — 18 =

0, 2х — 2 у —

z

+

12 =

0.

972.

1) 4 х

— у

—

— 2г — 4 =

0;

2)

Зл: +

2 у

— г + 1 =

0;

3)

20л: — 12# +

4 z

+

13 =

0.

973.

1) 4л: — 5у +

г — 2 =

0, 2л: +

у — Зг +

8 =

0; 2) х — З у

— 1 = 0 ,

Зл: + У — 2г — 1 =

0;

3) Зл: — 6р +

7г +

2 =

О,

х +

4у +

Зг +

4 =

0.

974.

1)

Точка

М

и

начало координат

лежат в

смежных

углах;

2) точка

М

и

начало

координат лежат в одном углу; 3) точка Л4

и начало координат лежат в вертикальных углах.

975.

1) Точки М

979. 23х — у — 4г — 24 =

0. 980. х — у — 2— 1 =

0. 981. *+р+2г=0.

982. 5л: — Ту — 3 = 0, 2 =

0; 5х +

22 — 3 =

0. у

=

0; 7у—2 г + 3

=

0,

л:=

0.

983.

З х - г / - 7 г + 9 =

0,

5 y

+

2z =

0.

984. (2; - 1

;

0),

( ' Т

:

°: “ т

) ’ ( 0 :2 ;- 1 ) -

986’

°

=

- 4: 2) 0 = 9; 3) D = 3.

987.

1)

А \ = А2 = 0,

н

хотя

бы

одно из

чисел

Db D2 отлично

от

нуля;

2) В, =

В2 =

0,

н хотя

бы

одно

нз чисел

Du £>2 отлично

от

н у л я :

3) С

С- =

0,

и

хотя

бы

одно

из

чисел

0 ,. 0 ,

отлично от

пуля.

*

' £

-

&

’

31

= ».■

: 0,

.4, =

0 , =

0;

5)

0 , =

0 ,

= О, Л , =

0,- =

0; 6)

С,

=

0 ^ 0 ,

с 2 = О. =

0.‘

989.

1) 2 х

+

15ч +

7 г

+

7 =

0; 2) 9// +

Зг +

5 =

0;

3)

3.v +

32 — 2 =

0; 41 3.V - О

у

-

7

=

0.

990.

1)

23а —2y+ 21 г - 3 3 = 0 ;

2)

// +

г —

18 =

0:

3)

х

+

г — 3 = 0;

4)

х

-

у

+

15 == 0.

991. 5а +

+

5д -

8 =

0.

992.

а |5х -

2 у

~

г

- 3) +

Р ( х

+

Зг/ -

2г

+ 5) =

0.

У к а з и н и е.

П рямая пересечения

плоскостей 5 х

— 2г/ — г — 3 =

0,

х

+ 3// — 2с +

5 =

О

параллельна

вектору

/ =

{7; 9; 27);

следова­

тельно,

условию

задачи

будут удовлетворять все плоскости,

при­

надлежащие

п у ч к у

плоскостей,

проходящих

через

эту

прямую.

993. 11а- — 2 у —

15г -

3 =

0.

994. а

(5а — у — 2г — 3) +

Р (Зх — 2 у —

— 5г +

2) = 0.

У к а з а н и е.

Прямая

пересечения

плоскостей

5х — у

— 2 z — 3 =

0,

З.с — 2 у — 5г + 2 =

0

перпендикулярна к пло­

скости к +

19у — 7 г —

11 = 0;

следовательно,

условию задачи будут

проходящих

через

эту

прямую.

995.

9.v +

7 у

+ 8г + 7 = 0.

996.

х

—

2 у

+ z

—

2 = 0, х — 5у

+

4г — 20 = 0.

997.

Принадлежит.

998.

Н е

принадлежит.

999.

1 =

— 5, HI =

— 11,

1009.

З х — 2г/+

+

6г 4- 21 =

0,

189х +

2Й1/ +

4 8 г - 5 9 1 = 0 .

1001.

2х -

Зу -

6г +

+

19 =

0,

6 х - 2 / /

— Зг +

18 =

0.

1002.

4д- — 3// + 0г -

12 =

О,

12а- — 49// +

38г +

84 =

0.

1003.

4х +

3// — 5 = 0,

5а +

Зг — 7 =

0.

1004. 7а — у +

1 =

0, г =

0; 5а — г — 1

=

0, у

— 0; о у

— 7 х

— 12=0,

= 0.

1005.

л- -

8;/ +

5г -

3 == 0.

1006. 2а — 4у

- - 8г + 1 =

0,

i_ -у

1 -

0

1007

1)

А— 2

у

2 + 3 .

А — 2 __

2 а

У ~1

1 -

2

— 3

5

’

5

KSS

У

2 + 3

3)

х ~’^ —, У

2 + 3

4)

А — 2

У

2 + 3

2

-

1 ’

1

0 — 0

;

0 " 1

0 ’

5)

А —2

У

2 + 3

1008.

1)

X — 1

У + 2

Z — 1

0

0 ■

1 '

2

- 3

3

’ - 2 ’

У + 2

2)

У + 1

3 ’

3)

3

4)

х+ 1

—1

0

- 2

I

2 +

4

1009.

1) а =

2 / +

I,

г/=

- 3

1

-

I,

: i t

■

3;

О

О

2

2 )

х

=

2 1 -}-1,

,у =

4/ — I.

г =

— 3;

3)

А

= 31+1,

(/= — 21— 1,

2 = 51-3. 1 0 1 0 . 1) а = 1 + 2, у = - 2 1 +

1, 2 = 1 + 1; 2) а = 1 + 3,

у — -

1— 1,

г = 1: 3) а

=

0,

y =

t, г =

— 31 +

1,

1011. (9; - 4 ;

0),

(3; 0;

2),

(0; 2; —3).

1012.

А =

5 1 + 4,

у = — Ш — 7, z = — 2.

1013. —

У — 2

г +

7

1П(.

а

— 2

0 + 1

г + 3

1

- 3

- 8 ’

1014.

——

- 1

7

’

6

{1;

1015. а = 31 + 3,

г / = 1 5 / + 1 ,

г = 1 9 1 - 3 .

1016. а =

1; 3>;

а =

{Я; Я; ЗЯ}, где Я — любое число, не равное нулю. 1017. а =

— 21 +

+

11/ 4- 5й; а =

—

2 /Л +

11 Я/ +

ЯА\ где Я — любое число, не равное

нулю.

1018. ^

2

= У— т- =

— 5

1019.

1)

2

7

Z

2

— 4

0,

4 '

Р е ш е н а е. Полагая, например, 20=

находим из данной системы:

*о — 2, уо —

— 1: таким образом, мы уже знаем одну точку прямой:

Л10(2; — 1; 0).

Теперь

найдем

направляющий

вектор.

Имеем

«1 = { 1; —2; 3},

пг = {3:2;—5};

отсюда

а =

[п,п2] =

{4; 14: 8},

т. е.

1 =

4,

т

=

14,

н =

8. Подставляя

найденные

значения

х0, у 0,

20 н

I

niy m

-V— Л'о

1} — Уо

—

Z —“ 2 Q

получим

Kauomi-

I,

в равенства------------------ -

---- —

/

у _

О

=

-4—1

2.

Х*—'^

ческис v равнения данной прямой: -------~

2—■— =*— или-----—=»

?/ + 1

о»

r

4

II

8

2

?/ + 1

г — 1 . ., .у — 3

у —2 _

^

7

х =

4 ’ “

- 5

— 71,

12

13 ’

1

— / +

'У

1 ’

1020.

11

/ + 1, „ =

z = — 19.' — 3; 2) .у =

!, »= 3/+ 2,

г == 5.' — 1.

1023.

GO0.

1024.

135°.

1025.

cos ср = ±

1027.1 =

3.

1029.

•у +

t

у

—•2

z -}- 3

1030.

А' +

4

У +

3

г - 3

1931.

2

— 3

Й

‘

-

4/.

3

у =

2

— 1

х =

2/ — 5,

г/ =

-- 31 +

1,

г =

1032.

13.

1033.

d =

21.

1034.

х =

3 — 6/,

f/ =

— 1 +

18/, г =

— 5 +

9/.

1035.

д- =

— 7 +

4/,

у — 12 — 4/,

г =

5 -

21.

1036. х = 2 0 -6 /,

у = — 18+8/,

г = — 32+24/;

(2; 6; 40).

1037.

Уравнения движения

точки

М: х — — Г>+

в/,

// — 4 — 12/, г =

— 5 +

4/; уравнения движения точки N:

а——5+4/,

у =

16 — 12/, г =

— 6 + 3 /;

I)

Р ( 7; —20; 3); 2) за

промежуток вре­

мени, равный 2; 3) за промежуток времени, равный 3; 4)

М 0Р =

28,

N0P — 39.

1040.

П

(2; —3; 6);

2) прямая,

параллельная

плоскости;

3)

прямая лежит

на

плоскости.

1041

л -

2

у +

4

г +

1

2

5

3

*

,042.

£ ± 1 .

1043.

2л- — 3(/ +

4г — 1 = 0 .

1044.

л- +

2у +

Зг =

0.

1045. m = •

1040.

С =

— 2.

1047. ,4 =

3,

£ > = -

23.

1048. .1 = — 3,

В = 4Т .

1049. I =

— в.

С =

—,

1050.

(3; —2; 1).

Р v ш с н и с.

Искомую

точку найдем, решая сов­

местно

уравнения данной

прямой

с уравнением плоскости, прове­

денной

из

точки Р

пер.чендикулярно

к

этой прямой. Прежде всего

заметим,

что направляющий

вектор

дайной

прямой {3; 5; 2} будет

скости, которая

проходит через

точку Р ( 2: —1: 31 и имеет нормаль­

ный

вектор п —

{3: Г>: 2}, будет

иметь

вид

3 (.у — 2) + 3 {у + 1) +

+ 2

( г

— 3) =

0

пли

З.т -J- 5// +

2г — 7 =

0.

Решая

совместно урав­

нения

.г = 3/,

у

= ">/ — 7, г = 2/ + 2,

3.V + ог/ + 2г — 7 = 0, найдем

координаты искомой проекции: ,т = 3, у =

— 2, г = 4.

1051. О (2; —3; 2).

1052.

Q (4; 1; -—3>.

1053. (1; 4; —7).

Р е ш е ни е .

Искомую точку

прямой.

Параметрические

уравнения прямой,

которая

проходит

через точку Р(5;2: —1) и имеет направляющий вектор а =

{2; —1;3),

будут

иметь вид

.т = 2 /+

5, // = — / + 2,

г =

3/ — 1. Решая сов­

местно

уравнения

2х — у

+ Зг +

23 = 0,

.у = 2/ + 5.

у — — I + 2,

г =

3 /— 1, найдем

координаты

искомой

проекции:

дг=1, у — 4

г =

-

7.

1054. Q ( - 5 : 1: 01.

1055.

Р (3; - 4 ;

0). У к а з а н а

е. Задача

точки А и

В расположены по

одну

сторону от плоское/и О х у ;

2) находим

точку,

симметричную

одной из данных точек относи­

тельно плоское;п

Оху, например точку

Вь симметричную точке В;

г/ =

— 30 + 8/, z =

— 27 + 61; 1) Р (—2; 2; —3); 2) от 1, =

0 до 12 = 4;

3)

Л1,/-‘ = 5 9 . 1061.

За промежуток времени,

равный

3.

1062. d — 7.

„

г , -

„ * + 3

г/ + 2

z — 8

Р е ш е и не. Выоерем на прямой — , — =

— л— =

-----— какУю*

ния d

имеем формулу d =

|[вМ,Р]|

Теперь вычислим координаты

вектора

M tP, зная координаты его конца н начала: М\Р =

{4; 1; —10}.

Найдем

векторное

произведение векторов а и А1,Р:

[aMtPJ =

*

/

ft

3

2

- 2

=

— 181 +

22/ — 5ft.

Определим его

модуль:

4

1

- 1 0

| [оЛ1,Pj | = 1 А182 + 222

+ 5 2 =1^833 — 71^17.

Вычислим модуль

вектора а: | а | = 1^9 +

4 + 4 = V T T .

Найдем

искомое расстояние:

, 7 V T T

7. IC63. 1) 21; 2) 6; 3) 15.

1064. <1=25. 1065. 9 х + И у +

1072.

6.V -

20г/ — П г +

I = 0 .

1074. (2; - 3 : —51.

1075. <?((; —2; 2).

1076.

Q (1; - 6 ;

3).

1077. 13х -

14у +

11г +

51 =

0.

1079. .г -

8г/ -

— I Зг +

9 = 0.

1081. -^=^- +

=

1082.

л- =

8 / - 3 ,

V

=

-

31 -

1, г =

-

41 + 2.

1083. 1) 13; 2) 3: 3)

7.

1084. 1) л:2 +

+

и* +

г2 =

81;

2)

(х -

5)2 +

(у +

З)2 +

(г -

7)2 =

4:

3)

(х -

4)2 +

+

(У +

4)2 +

(г +

2)2 =

36;

4)

(х -

З)2 +

(у +

2)* +

(г -

I)2 =

18;

51 (-г—312 +

(г/ +

П2 + (г - 1 ) 2 =

21; 6) х2 +

, f

+

г2 =

9; 7) ( х - 3 )2 +

+

{У +

5)2 +

(г +

2)2 =

56;

8)

(х -

I)2 +

(у +

2)4 +

(г -

З)2 =

49;

9)

(л- +

2)2 +

{у -

4)2 +

(г -

5)2 =

81.

1085. .(х -

2)2 +

(</ -

З)2 +

+ (2+ I)2.

И

X4 +

(у +

I)2 +

(г +

5)2 = 9.

1086.

R =

5.

1087.

U +

1)2 +

( 1 /- 3 ) 2 + ( г - 3 ) 2=

1.

1088.

(х +

Г)2 +

(у — 2)2 +

+

(г — П2 =

49.

1089.

(х -

2)2 + (у -

3)-’ +

(г +

I)2 = 289.

1090.

1)

С (3; —2; 5), г = 4;

2)

С (—1; 3; 0).

/- =

3;

3) С (2; 1; —1),

г =

5:

1) С (0; 0; 3),

г =

3; 5)

С (0; —10; 0), г =

10.

1091.

v =

51 — 1,

1

, 8

.

1

(/ =

— 1 +

3,

г =

21 — 0,5.

1092.

х --- ГГ

Р + —

? + "Гу

2

■3

1093.

1) Вне сферы; 2)

и 5)

на

4)

внутри

поверхности сферы;

3) и

2)

плоскость

касается

сферы;

3)

плоскость

проходит

вне

сферы.

1096. 1) Прямая

пересекает сферу;

2) прямая

проходит

вне сферы;

3)

прямая

касается

сферы.

1097.

Д1, (—2; —2; 7),

<1 =

3.

1098.

С ( - 1 ;

2; 3), /? =

8.

1099. (х -

1 )2 +

(у -

2)2 + (г -

I)2 =

36,

2.v -

г — 1 =

0.

1100. (х — I)2 +

(у +

I)2 +

(г +

2)2 =

65, 18х—22у +

+

5г — 30 =

0.

1101, ( х — 2)2 + y2 + (z — З)2 = 27,

х + у — 2 =

0.

1103.

Гх - Ъу +

ог - 7

=

0. 1104. х2 +

у2 +

г2 -

Юлт +

15у -

25г =

0.

1105.

л2+ е/2 + г2+

13л+9«—9г— 11 =

0. 1106. л2+(«/ + 212 + 2г= 4!.

1107,

6л- — 3;/ — Чг — 49 =

0.

1108.

12;

—6; 3J.

„0 9 .

и =

± ft.

1110.

2л — «/ — 2 4 -5 =

0.

1111. л,л +

tf|«/-f г .г =

г2. ) ц ?, А2^ л .

+

В1/?2 +

C2R" = D-.

1113.

(л, — а) (* — а) +

(у« — Р)(у — Р) +

+

(«1

- V) (г — \)*=г2.

1 114. Зл — 2у

6z — 11 =

о,

0л +

3и +

"Ь 2г — 30 = 0.

1115.

л +

2«/ — 2г — 9 = 0,

х + 2у — 2г + 9 = 0

1116. 4л +

3 г -4 0 =

0, 4 л +

3 г +

10 =

0. 1117. 4л + 6у +

5 г -1 0 3 = 0 ,

4л +

6// +

5г +

205 =

0.

1118.

2л — 3«/ + 4г — 10 =

0,

З х — 4у +

+

2г — 10 = 0.

1120. л — у —г —2 =

0.

1122. Ах +

By +

Сг + D = 0.

1123.

л cos а +

у cosP +

г cos у — р — 0.

1124.

d = | Г\Па— р|;

d = j л, cosa +

«/! cosP +

г, C O S Y — Р I-

у0

И 2 5 - (Гз — г«) (г — г 1) = 0 ;

-

*»М* -

л,)

+

(«,2

-

у х)(у

-

+ (2, _

2,) (2 -

2 ,)

= 0.

1126. в,а2 (г — Г01 =

0;

х — х0

у

у0

^ ~ 20

/|

/П1т,

«I

=

0. 1127. (г, - г , ) Х

«?«2

«2

У — Ух

Z — г.

Х(>- - г,) (г -

г,) =0;);

X — *1

л2 — л,

У. — Ух

г2 — 2|

= 0.

л — л0

*3 — Л1

Уз-Ух

г3 — *1

112S. я,я2 («• — г0) =

0;

I / '-I/O

2 — z0

-V— Л'{,

в,

С

=

0.

1131.

Л2

В2

С 1

Вг с 2

С2 А2

^2

5 2

С/г

0. „З а . a ta2 ( г

— Го)=0.

Л*о +

3</о +

Сг0 + 0 =

0, А1 +

В т +

1140.

в |в 2(г2 — г,) =

0.

1141,

/"о ~

ап

а;

х = л0 —

_ -4лп +

B y 0 + С г 0 + D

I,

Л ло + Вуа +

Czt) +

D

ЛI + В т + Сп

У — Уъ

М + В т + Сп

; г,

— Лл0 + Вуо +

Cz0 +

D

„42 .

Г]-

^

±

^ я,

А1 + Вт +

С/г

П

Ах, +

By, +

D ,

у - . ,.| _

^ «

+ % ,

+

С2 , + В

,

У1

Сг, +

Л2 -f- В2 4- С2

У

Л2 —L /?Г|

/+>

В,

А

2 +

В2 +

С2

г - „ - 2

^

+—° », + сг, + а

с

„43...... „

+ — Ща

А°- + В2 +

С2

а

л = л0 +

I х! ~ -vo l1+

{у1 — Уо) т + (г, — г01 я

У=

'/о +

,

.

I2 + пг2 +

я2

+ -Ir'i ~~ *0) ‘ 4- (i/i — tin) пг +

(г, — г0) п

Z ~ zO+

1г +

/я2 + д2

■т,

+

1 + (у, -

«/п1/;г +

(г, - 20) я

П44 d _

l / [(r1-ro)a]i .

/2+ т 2 + я2

’

У а.*

’

/

z o +

-1

‘ О x i ~ л'о

+

I -ч — Хо У1

Уо

V

У \ ~ Уд 2д

т

п

п

!

/

т

h

ч

*5 —

*1

afic. вел.

т х

т 2

у 2 —

у 1

1145.

1а ,а2 (г, — r,> t .

н

П\

п 2

22 —

(!■■

j h т, }

I [а,а,,]2

п‘\

п 1 ~ ,

" i

h

I2

,

т 2

1 +

//_.

!

+

I

п* I

!, j

112 т 2

1147.

а;

RI

I

а !

i /-' +

/п2 +

п2

Rm

У\

Rn

и

V

4- гл2 + п2

I

к-----22—

Rm

I- + т-

+

ч'{

Rt

Rn

л-2= ——=======.. у2= •

\ Р + тг+ п2

1

г

--J- т2+

/г2'

) 1‘ -}- т г + и*

1148. г 0 + т — г а

и

г 0 —

-r^T e; -r i =

л'о +

-^Ц -----

; ■У\ = '/<>+

1а I

1а I

1 В + м- +

,

/?//г

.

Zi = <п

.

/?н

=

-

И

Х 2 — ■>(!

~)----- ,-г.

,

Ч-------=

=

=

У 12+ Ш2 -}- п-

(' /2 +

т2

+

п2

RI

У2= Уо ■

Rm

Rn

V 'P

+

I / I ' T

т 2 +

п 2

У Р +

т 2 +

п 2'

'I 2 " "

К /*’ +

1149.

(r i ~ r o H

r - r 0) =

R 2.

П59.

tr

-

г,)- =

( X — Л - , ) 2 +

({ / —

Г/ i ) 3 +

( 2

v,

~Ь

й/л “т

м

“Ь

D ) 4-

г,)

~

л-’ + Т Р ^ Р с 2

'*

1151.

—

/? =

О,

■ +

R =

0;

.4л: +

By - f

Сг

В = О,

I

Л2

В2+ С-'

\п I

Л х +

B y - f

С г

+

/?= 0.

1152.

‘! l r ~ -r. ’

-

R = Q,

К Д2 + В2 +

С2

0.

/ (.у — х0) +

ш (у — уо) +

! а !

„ __ 0

я ( г ~

r 'B.

п (г — г0)

| а |

t

I2+

т'г +

и2

1

-'о1+

. ? А

-

!!<)_+U l L Z I s L

+

/г = 0.

1153. 3.

Г 7i: (2; 3;

0),

I !- Л- in2-j- п2

(2; - 3 ;

0),

(2;

0;

У~3),

(2; 0; — ) Л ).

1154.

1,3:

(1:

0;

-

1),

(—4;

0;

— 1).

1155.

15;

|0;

—6; •— —

1158.

Урлшення

про­

екции

at

на

плоскость

Оху:

f х2+-1ху+~У/2—х-~и,

61

па

плос-

кость

О.гг:

f х- — 2хг +

|

0,

в)