Тема 9.Теплопровідність.

9.1. Температурне поле. Рівняння теплопровідності.

Будемо розглядати тільки однорідні й ізотропні тіла, тобто такі тіла, що володіють однаковими фізичними властивостями в усіх напрямках.

При передачі теплоти у твердому тілі, температура тіла буде змінюватися по всьому обсязі тіла і в часі. Сукупність значень температури в даний момент часу для всіх крапок досліджуваного простору називається температурним полем:

t = f(x,y,z,τ) , (9.1)

де:t - температура тіла; x,y,z координати точки положення; τ - час. Таке температурне поле називається нестаціонарним ∂t/∂  0, тобто відповідає несталому тепловому режимові теплопровідності Якщо температура тіла функція тільки координат і не змінюється з часом, то температурне поле називається стаціонарним:

t = f(x,y,z) , ∂t/∂ = 0 (9.2)

Рівняння двомірного температурного поля: для нестаціонарного режиму:

t = f(x,y,τ) ; ∂t/∂z = 0 (9.3)

для стаціонарного режиму:

t = f(x,y) , ∂t/∂z = 0; ∂t/∂ = 0 (9.4)

Рівняння одномірного температурного поля: для нестаціонарного режиму:

t = f(x,τ) ; ∂t/∂y = ∂t/∂z = 0; ∂t/∂  0 (9.5)

для стаціонарного режиму:

t = f(x) ; ∂t/∂y = ∂t/∂z = 0; ∂t/∂ = 0 (9.6)

Ізотермічною поверхнею називається поверхня тіла з постійною температурою. Розглянемо дві ізотермічні поверхні (Рис.9.1) з температурами t і t + ∆t.

Градієнтом температури називають межа відношення зміни температури ∆t до відстані між ізотермами по нормалі, коли ∆n прагне до нуля:

gradt = |gradt| = lim[∆t/∆n]_∆n→0 = ∂t/∂n (9.7)

Температурний градієнт-це вектор, спрямованої по нормалі до ізотермічної поверхні убік зростання температури і чисельно рівний похідної температури t по нормалі n:

gradt = ∂t/∂n n_o , (9.7^*)

де :n_o – одиничний вектор.

Кількість теплоти, що проходить через ізотермічну поверхню F в одиницю часу називається тепловим потоком – Q, [Вт=Дж/с]. Тепловий потік, що проходить через одиницю площі називають щільністю теплового потоку –

q = Q / F, [Вт/м²] Для твердого тіла рівняння теплопровідності підкоряється законові Фур'є:

||Тепловий потік, передаючий теплопровідністю, ||пропорційний градієнтові температури і площі перетину, ||перпендикулярної напрямкові теплового потоку.

Q = -λ∙ F∙ ∂t/∂n, (9.8)

або

q = -λ ∙ ∂t/∂n ∙n_o = -λ∙ gradt , (9.9)

де: q – вектор щільності теплового потоку; λ – коефіцієнт теплопровідності, [Вт/(м∙ К)]. Чисельне значення вектора щільності теплового потоку дорівнює:

q = -λ∙ ∂t/∂n = -λ∙ |gradt| , (9.10)

де: |gradt|- модуль вектора градієнта температури.

Коефіцієнт теплопровідності є фізичним параметром речовини, що характеризує здатність тіла проводить теплоту, Він залежить від роду речовини, тиску і температури. Також на її величину впливає вологість речовини.

Для більшості речовин коефіцієнт теплопровідності визначаються дослідним шляхом і для технічних розрахунків беруть з довідкової літератури.

Диференціальне рівняння теплопровідності для тривимірного нестаціонарного температурного поля має такий вигляд:

, (9.11)

де: а = λ/(ρ·с) - коефіцієнт температуропроводності, [м²/с], характеризує швидкість зміни температури.

Для стаціонарної задачі, диференціальне рівняння має вигляд:

. (9.12)