9.2. Стаціонарна теплопровідність через плоску стінку.

1 Однорідна плоска стінка (Рис.9.2.).

Температури поверхонь стінки –t_ст1 і t_ст2. Щільність теплового потоку:

q = -λ∙ ∂t/∂n = - λ∙ ∂t/∂x = - λ∙ (t_cт2 - t_cт1)/(x_cт2 - x_cт1)∙

або q = λ∙ (t_cт2 - t_cт1)/(x_cт2 - x_cт1)∙ t/x (9.13)

Δt = t_ст1 – t_ст2 температурний напір; δ =(x_cт2 - x_cт1)∙ - товщина стінки.

Тоді

q = λ/δ∙ (t_ст1 – t_ст2) = λ/δ∙Δt, (9.14)

Якщо R =δ/λ термічний опір теплопровідності стінки [(м²∙К)/Вт], то щільність теплового потоку:

q = (t_ст1 – t_ст2)/R . (9.15)

Загальна кількість теплоти, що передається через поверхню F за час τ визначається:

Q = q∙ F∙ τ = (t_ст1 – t_ст2)/R·F∙ τ . (9.16)

Температура тіла в точці з координатою х знаходиться по формулі:

t_x = t_ст1 – (t_ст1 – t_ст2)∙ x/ δ . (9.17)

2 Багатошарова плоска стінка. Розглянемо 3-х шарову стінку (Рис.9.3). Температура зовнішніх поверхонь стінок t_ст1 і t_ст2, коефіцієнти теплопровідності шарів λ₁, λ₂, λ₃, товщина шарів δ₁, δ₂, δ_3.

Щільності теплового потоку через кожен шар стінки:

q = λ_1/δ₁∙ (t_ст1 – t_сл1) , (9.18) q = λ_2/δ₂∙ (t_сл1 – t_сл2) , (9.19) q = λ_3/δ₃∙ (t_сл2 – t_ст2) , (9.20)

Вирішуючи ці рівняння, щодо різниці температур і складаючи, одержуємо:

q = (t₁ – t₄)/(δ_1/λ₁ + δ_2/λ₂ + δ_3/λ₃) = (t_ст1 – t_ст4)/R_o , (9.21)

де: R_o = (δ_1/λ₁ + δ_2/λ₂ + δ_3/λ₃) – загальний термічний опір теплопровідності багатошарової стінки.

Температура шарів визначається по наступних формулах:

t_сл1 = t_ст1 – q∙ (δ_1/λ₁). (9.22) t_сл2 = t_сл1 – q·δ_2/λ₂). (9.23)

9.3 Стаціонарна теплопровідність через циліндричну стінку.

1 Однорідна циліндрична стінка.

Розглянемо однорідний одношаровий циліндр довжиною l, внутрішнім діаметром d₁і зовнішнім діаметром d₂ (Рис.9.4). Температури поверхонь стінки –t_ст1 і t_ст2.

Рівняння теплопровідності за законом Фур'є в циліндричних координатах:

Q = - λ ∙ 2∙ π∙ r ·l· ∂t / ∂r (9.24)

або

Q = 2·π·λ·l·Δt/ln(d₂/d₁), (9.25)

де: Δt = t_ст1 – t_ст2 – температурний напір;

λ –коефіцієнт теплопровідності стінки.

Для циліндричних поверхонь уводять поняття тепловий потік одиниці довжини циліндричної поверхні (лінійна щільність теплового потоку), для якої розрахункові формули будуть:

q_l = Q/l =2·π·λ·Δt /ln(d₂/d₁), [Вт/м]. (9.26)

Температура тіла усередині стінки з координатою d_х:

t_x = t_ст1 – (t_ст1 – t_ст2) ·ln(d_x/d₁) / ln(d₂/d₁). (9.27)