668

Если вести интегрирование с границы A′D′, то придем к тому же результату. Особенность такого варианта решения будет состоять в том, что линия скольжения B′C принадлежит ко 2-му семейству в отличие от BC, принадлежащей к 1-му. То, что это характеристики разных семейств, становится хорошо заметно, если, например, рассмотреть их пересечение в точке C. Следовательно, интегрируя второе из уравнений канонической системы (1.51), необходимо принять нижний знак, отвечающий 2-му семейству характеристик, а в уравнениях (2.9) для области A′B′D′ принять

α = − π/2.

Уравнение (2.13) иногда называют формулой Прандтля [43], а это решение является одним из центральных в ТПРГ, являясь базовым для многих других и имея самостоятельное практическое значение. В частности, большое распространение получила и другая форма записи формулы Прандтля:

где Nq, Nc − коэффициенты несущей способности, зависящие от ϕ:

Проанализируем формулу (2.13). На величину предельной нагрузки оказывают влияние пригрузка q, удельное сцепление c и угол внутреннего трения ϕ. Величины q и c входят в (2.13) в первой степени, и здесь имеет место прямо пропорциональная зависимость.

Покажем влияние величины угла внутреннего трения. Расчет будем вести в относительных приведенных переменных, что позволит сделать его более компактным. Примем величину q′ = q + + c ctg ϕ = 1 за единицу напряжения. Переход от относительных величин к фактическим осуществляется по формуле

щаться вниз, а границы AD и A′D′ − вверх. Следовательно, повторив здесь предположение о равномерном характере нагрузки pu, имеем в зоне, примыкающей к границе A′A, минимальное напряженное состояние, а в зонах, примыкающих к границам AD и A′D′, − максимальное.

Решение в этих зонах получим предельным переходом выражений (2.2) при ϕ → 0. Однако, поскольку в случае идеальносвязного грунта временное сопротивление всестороннему растяжению c ctg ϕ = ∞, предварительно выполним некоторые простые преобразования, переходя тем самым от приведенного среднего напряжения (1.30) к действительному:

где ƒn и χ − то же, что и в формулах (2.2).

Обозначим теперь для идеально-связной среды через σ действительное (а не приведенное!) среднее напряжение, как это было в формулах (1.48) – (1.49), и выразим его:

где χ = +1 отвечает минимальному напряженному состоянию, а χ = −1 − максимальному.

Тогда, приняв во внимание, что согласно (1.29) для идеальносвязного грунта µ = π/4, в области A′AC имеем решение

Области ABD соответствует равенство α = +π/2, а области A′B′D′ соответствует α = −π/2 (рис. 2.9). То, что параметр α, как и в случае невесомой среды, равен 0 или ±π/2, следует из второго

95

идеально-связной среды вдоль характеристики CB первого семейства:

ds + 2cdα = 0, s = σ − γz. Проинтегрируем его с границы AB до AC:

s − s0 + 2c(α − α0 ) = 0. На границе AB имеем решение (2.19):

На границе AC имеем решение (2.18):

σ = γz + pu − c, s = pu − c, α = 0 .

Подставляя граничные условия в интеграл и выразив оттуда искомую предельную нагрузку, получим формулу Прандтля для случая идеально-связной среды:

Заметим, что предельная нагрузка в обоих случаях − и невесомой, и идеально-связной среды − не зависит от ширины штампа. Кроме того, рассмотренное решение для идеально-связной среды учитывает наличие собственного веса грунта, однако в окончательную формулу он не входит.

2.1.4.Граничные условия к задачам

определьном давлении гладкого и шероховатого штампа на весомое сыпучее основание

Рассмотрим задачу Прандтля в общем случае весомого сыпучего основания. Существует два возможных способа задания граничных условий, дающих при γ ≠ 0 различные решения этой задачи. Оба варианта имеют практическое значение. Граничные условия для обоих случаев показаны на рис. 2.10. Первый случай подразумевает отсутствие трения по подошве штампа, т.е. штамп принимается абсолютно гладким (см. рис. 2.10, а). Во втором случае допускается наличие касательных напряжений по подошве штампа − шероховатый штамп (см. рис. 2.10, б).

97

2.1.5.Задача о предельном давлении гладкого штампа

Вобщем случае статические решения ТПРГ представляют собой определенную последовательность краевых задач при данных граничных условиях. Такую последовательность мы уже фактически определяли, решая задачу Прандтля для невесомого (см. рис. 2.7) и идеально-связного основания (см. рис. 2.9). Если эти решения рассмотреть с точки зрения краевых задач, то, по

существу, в зонах ABD и A′B′D′ решалась I краевая задача. Области радиального веера ABC и A′B′C − это II краевая задача с вырожденной в особую точку линией скольжения. Область A′CA может быть представлена как III краевая задача, которая решается при известной характеристике AC, полученной из решения в зоне радиального веера, и двух известных параметрах на границе A′A. Эта же область может рассматриваться как результат решения II краевой задачи на полученных из зон радиального веера характеристиках A′C и AC или даже I краевой задачи при заданном участке A′A границы.

Опираясь на приведенные решения, определим последовательность краевых задач в рассматриваемом случае. На рис. 2.11 показана правая половина симметричной расчетной схемы.

Рис. 2.11. Области предельного равновесия в задаче о предельном давлении гладкого штампа на весомое сыпучее основание

99

Тогда закон изменения среднего приведенного напряжения в особой точке A примет вид:

Теперь необходимо определить верхний предел интегрирования в особой точке A. Согласно граничным условиям (2.21) на границе OA касательные напряжения отсутствуют, следовательно, нормальные напряжения − главные. Анализируя возможный характер развития перемещений границ OA и AD и сравнивая его со случаем невесомой среды, можно сделать вывод о том, что первое главное напряжение на OA будет направлено вертикально, т.е. α = 0. Таким образом, верхний предел в особой точке A согласно (2.24) составят следующие значения:

Теперь можно решить II краевую задачу в зоне радиального веера ABC при известных условиях (2.23) на границе AB, и известных условиях в особой точке A:

Остается неопределенным только общий размер зоны ABD. Он будет получен в конце решения в зависимости от величины b/2.

На этом, предпоследнем, этапе имеем полученную из решения в переходной зоне характеристику AC и два известных параметра из четырех на границе OA:

Таким образом, в зоне OAC решается III краевая задача по рекуррентным конечно-разностным формулам (1.55) и (1.57) согласно схеме, данной на рис. 1.23, в. Зная параметры α и σ в точках на границе OA, по формуле (1.33) для σz рассчитывается искомое предельное давление pu (x) = σz.

На рис. 2.12 изображена правая половина симметричной сетки линий скольжения для следующих исходных данных: полная

101