668

осей σ1, σ2, σ3, но и относительно их отрицательных направлений.

Рис. 1.18. Поверхность текучести Треска (а) и кривая текучести Треска (б)

§1.3. Определяющие уравнения плоской задачи ТПРГ

1.3.1.Исходная система уравнений статического метода плоской задачи ТПРГ

Впредыдущих параграфах нам удалось математически описать два основных явления, наблюдаемых на последней стадии работы грунтовых оснований: равновесие грунтового массива и его предельное состояние в точке. Объединяя системы уравнений равновесия (1.1) с условием прочности Кулона–Мора (1.17), по-

лучим исходную систему уравнений плоской задачи ТПРГ:

(σx − σz )2 + 4τ2xz = (σx + σz + 2c ctgϕ)sin ϕ.

Уравнения (1.25) представляют собой замкнутую систему дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных, содержащую три неизвестных функции координат:

σx = σx (x, z) , σz = σz (x, z), τxz = τxz (x, z).

Если из объемных (массовых) сил действует только собственный вес грунта, направленный по оси Oz вертикально вниз, то исходная система уравнений ТПРГ запишется в виде:

44

и вытекающий из энергетических постулатов теории пластичности закон пластического течения

ε&ij = dλ ∂P(σij ) .

В этих формулах [10]:

∫σijε&ij dV + ∑ ∫ qi[u&i ]dS − скорость диссипации (рассеивания)

VS

механической энергии в теле при пластическом течении: первое слагаемое определяет скорость диссипации энергии в каждой точке пластического тела объемом V, а второе − на поверхностях

VS

них сил: первое слагаемое представляет собой скорость изменения работ всех объемных сил Fi, а второе − всех поверхностных сил pi по поверхности S пластического тела; u&i − компоненты скорости перемещений точек;

dλ − некоторый множитель, величина которого определяется граничными условиями; P(σij) − пластический потенциал, представляющий собой некоторую функцию напряжений, которая в ряде случаев совпадает с функцией текучести.

В этих формулах приняты сокращенные обозначения:

Приведенные уравнения составляют основу кинематического

метода ТПРГ или кинематики сыпучей среды [31].

В тех же обозначениях дадим формулировку плоской задачи

динамики сыпучей среды [6]:

46

(σx − σz )2 + 4τ2xz = (σx + σz + 2c ctgϕ)sin ϕ;

Первые два уравнения представляют собой уравнения движения или уравнения динамического равновесия [21]. Третье выражение − закон прочности Кулона–Мора, четвертое − уравнение сплошности несжимаемой среды [6, 21]. Пятое уравнение представляет собой условие совпадения направления максимальных скоростей сдвига с направлением площадок сдвига, по которым нормальные и касательные напряжения достигают своих предельных значений согласно закону Кулона.

Заканчивая на этом разговор о кинематике и динамике сыпучей среды, скажем лишь, что все эти уравнения являются частью общей теории предельного равновесия и теории пластичности. Уравнения равновесия, движения и неразрывности выражают, по сути, общие законы механики сплошной среды. Уравнение, связывающее направления скоростей и предельных касательных напряжений, уравнение скоростей виртуальных работ, закон пластического течения, условие прочности определяют пластические свойства грунтовой среды и ее поведение в предельном состоянии в рамках гипотез, принятых для математического описания явления.

Методы решения задач существенно различаются, хотя имеют и общие черты. Строго говоря, статические, кинематические и динамические решения должны дополнять друг друга, но таких комплексных исследований предельного равновесия грунтовых оснований известно очень немного [31].

В заключение еще раз подчеркнем, что из трех направлений ТПРГ наибольшее распространение и наибольшую практическую значимость имеет статика сыпучей среды.

1.3.3. Понятие о линиях скольжения

Вернемся к уравнениям статики сыпучей среды. Дальнейшие преобразования исходных систем уравнений (1.25) – (1.28) потребуют введения понятия линий скольжения, которые играют одну

47

из ключевых ролей при построении решений теории предельного равновесия. Под линией скольжения будем понимать след поверхности скольжения на плоскости чертежа.

Важнейшее свойство линий скольжения заключается в их ориентации относительно главных напряжений. Обратимся к диаграмме, изображенной на рис. 1.19, а. Положение площадки скольжения определяется точкой касания круга Мора и прямой Кулона. Для предельного круга Мора из точки A можно провести две касательные прямые Кулона с параметрами ϕ и с, отличающиеся между собой только знаком напряжений τn, следовательно, точек, указывающих ориентацию площадок скольжения, как и самих площадок, существует также две − B и B′.

Рис. 1.19. Ориентация линий скольжения: а − в плоскости σnOτn; б − в плоскости xOz

Таким образом, через каждую точку предельно напряженного грунта проходят две линии скольжения, образующие с направлением первого главного напряжения угол ±µ. На плоскости xOz эти линии скольжения пересекаются под углом 2µ (рис. 1.19, б). Условимся называть линиями скольжения 1-го семейства такие линии, которые составляют с вертикальной осью Oz угол (α + µ), и линиями скольжения 2-го семейства те, которые составляют с вертикалью угол (α − µ).

Величина угла 2µ может быть найдена как величина вписанного угла Bσ1B′, который по определению вдвое меньше, чем центральный угол BCB′, опирающийся на ту же дугу Bσ3B′

48

или, учитывая (1.30) и (1.31),

(σz − σx )1+ tg2 2α = 2σsin ϕ

и, выполнив элементарные тригонометрические преобразования, имеем

Объединив выражение (1.32) с (1.30), получим систему двух уравнений, которую решим относительно нормальных напряжений σx и σz, а чтобы получить выражения для касательных напряжений τxz, подставим (1.32) в (1.31). Теперь формулы для предельных напряжений примут окончательный вид:

Таким образом, две новые функции α и σ полностью определяют предельное напряженное состояние в точке. Поскольку формулы (1.33) тождественно удовлетворяют условию прочности Кулона, можно исходную систему трех уравнений (1.25) привести к двум уравнениям равновесия, записанным в α и σ. Для этого возьмем соответствующие частные производные функций (1.33) по x и z:

50

Далее умножим оба уравнения (1.36) на dx и подставим в них выражения для частных дифференциалов. Результат запишем в виде:

Выражения (1.37), как и (1.36), с математической точки зрения представляют собой систему квазилинейных дифференциаль-

ных уравнений в частных производных первого порядка гиперболического типа. Опуская строгое математическое обоснование, скажем лишь, что решение системы (1.37) или (1.36) обычно сводят к решению обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, называемых каноническими уравнениями, которые мы определим по следующей методике.

Решая систему (1.37) методом Крамера относительно производных, имеем

Если знаменатель и числитель в (1.39) будут отличны от ну-

ля, то производные ∂σ и ∂α определятся единственным обра-

∂z ∂z

зом. Если только знаменатель равен нулю, то система несовместна. Этот особый случай, приводящий к понятию линий разрыва, нами рассматриваться не будет. Искомое решение получают, ко-

52