668

грунтов, как испытания по схеме одноосного «растяжениесжатие» для изучения прочности металлов.

Выражение (1.12) иногда называют законом сухого трения. Физический смысл его очевиден: чем сильнее прижать грунт к поверхности скольжения, тем больше сила трения. Другой формой его записи можно считать известное из школьного курса «Физики» определение силы трения:

Fòð = µN ,

где µ − коэффициент трения (аналог величины tgϕ из закона Кулона); N = mg − реакция поверхности или вес сдвигаемого тела (аналог нормального напряжения σn), m − его масса, g − ускорение свободного падения.

На этом этапе, сравнивая выражения (1.3) и (1.12), заключаем, что, во-первых, закон прочности грунтов формулируется через касательные напряжения, а не через нормальные, как, например, у металлов, во-вторых, прочность грунтов зависит не только от параметров грунта, но и от параметров напряженного состояния, в-третьих, принципиально различается схема испытаний грунтов и металлов на прочность, о чем говорилось выше.

Наличие внутреннего трения является отличительной чертой грунтов по отношению ко многим другим строительным материалам. В частности, металлы, бетоны, дерево, пластики обладают нулевым или практически нулевым внутренним трением. Из грунтов внутреннее трение отсутствует или крайне незначительно только у тяжелых, жирных, полностью водонасыщенных глин. Закон Кулона в этом случае примет вид:

Такие грунты называются идеально-связными, а прямая Кулона для них показана на рис. 1.12, а.

Другим предельным случаем является отсутствие сцепления, что характерно в первую очередь для песчаных грунтов. Для таких грунтов, которые будем называть идеально-сыпучими, закон Кулона имеет вид:

Прямая Кулона для идеально-сыпучего грунта изображена на рис. 1.12, б.

34

следовательно, сдвига не произойдет ни по одной площадке и рассматриваемая частица грунта находится в допредельном (безопасном) состоянии.

Рис. 1.13. Взаимное расположение прямой Кулона и кругов Мора:

а− допредельное напряженное состояние;

б− предельное напряженное состояние; в − невозможная ситуация

Если круг Мора касается прямой Кулона хотя бы в одной точке (см. рис. 1.13, б), значит, существует площадка, по которой выполняется закон Кулона (1.12), и по которой, следовательно, произойдет сдвиг при дальнейшем сколь угодно малом увеличении нагрузки. Случай, показанный на диаграмме рис. 1.13, б,

36

ние (в плоских задачах, вычисляя среднее напряжение, промежуточное главное напряжение σ2 обычно не учитывают).

После подстановки полученных выражений в исходное полу-

Уравнение (1.15) называется условием прочности Кулона–Мо- ра в главных напряжениях, или закон Кулона–Мора в главных напряжениях. Чтобы привести его к виду (1.7), следует просто перенести все в левую часть:

Для широкого круга задач удобно использовать закон прочности не в главных компонентах напряжений, а в обычных. Приведем закон Кулона к виду (1.5). Схема для нижеследующего вывода приведена на рис. 1.15. Напомним, что мы рассматриваем грунтовые основания в плоскости xOz (см. рис. 1.1 – 1.2).

τn

τxz B

F

Рис. 1.15. К выводу закона Кулона–Мора в обычных компонентах напряжений

38

Выражения (1.19) и (1.20) в теории пластичности имеют очень большое значение теоретического и прикладного характера и называются условием пластичности Треска.

Для идеально-сыпучего грунта (c = 0) равенства (1.15) и (1.17) примут вид:

1.2.10.Поверхность текучести

икривая текучести Кулона–Мора

Вусловиях трехмерной задачи закон Кулона–Мора (1.15) с поправкой на промежуточное главное напряжение следует переписать в виде [40]:

σi − σ j = (σi + σ j )sin ϕ + 2c cosϕ, i, j = 1, 2, 3. (1.23)

Система из шести равенств (1.23) определяет в пространстве главных напряжений кусочно-гладкую поверхность, представляющую собой шестигранную пирамиду − поверхность текучести Кулона–Мора (рис. 1.16, а). Полученная шестигранная пирамида в полной мере обладает всеми перечисленными выше свойствами, характерными для поверхностей текучести идеально-плас- тических тел.

Кривая текучести Кулона–Мора показана на рис. 1.16, б. С увеличением среднего давления стороны шестиугольника будут пропорционально расти, образуя подобные фигуры.

40

Для того чтобы лучше представить себе особенности пирамиды Кулона, рассмотрим два ее сечения: плоскостью σ2 = 0 (рис. 1.17, а) и плоскостью, проходящей через ось σ1 и гидростатическую ось (рис. 1.17, б). Эти примеры взяты из учебного пособия А.К. Черникова [40], почти все обозначения сохранены.

Рис. 1.17. Сечение поверхности текучести Кулона–Мора плоскостью σ2 = 0 (а) и плоскостью, проходящей через ось σ1 и гидростатическую ось σ1 = σ2 = σ3 (б)

Пересечение пирамиды Кулона с плоскостью σ2 = 0 образует шестиугольник (см. рис. 1.17, а). Стороны AB и ED параллельны оси σ1, BC и EF – параллельны оси σ3, а AF и CD, очевидно, определяются уравнениями:

σ1 − σ3 = ±(σ1 + σ3 + 2c ctgϕ)sin ϕ.

(см. рис. 1.17, б). Так как временное сопротивление равностороннему растяжению равно (см., например, рис. 1.14):

H = cctgϕ,

41

величина отрезка OO1 на гидростатической оси (σ1 = σ2 = σ3), равнонаклоненной к координатным осям, составит

OO1 = 3 cctgϕ.

Зная теперь длину отрезка OO1 и отложив на каждой из осей σ1, σ2, σ3 в положительном направлении величину a, а в отрицательном − величину b, сможем провести шесть прямых из точки O1 через полученные точки на осях. В результате получим ребра шестигранной пирамиды Кулона.

Определим параметры кривой текучести, например, в девиаторной плоскости, проходящей через начало координат. Отрезок A′D′ − след этой плоскости (см. рис. 1.17, б). Для построения такой кривой достаточно определить величины отрезков OA′ и OD′ (см. рис. 1.16, б).

Гидростатическая ось составляет с осью σ1 угол α (см. рис. 1.5), косинус и синус которого равны:

Из точки A опустим перпендикуляр AA′′ на гидростатическую ось. Из подобия треугольников O1OA′ и O1A′′A имеем

Теперь выразим искомую величину из пропорции

42