668

104

Рис. 2.13. Значения параметров α (вверху) и σ (внизу) в узлах сетки линий скольжения в основании гладкого штампа

Приняв здесь соответствующие обозначения, приходим к уравнению (2.30). Заметим, что согласно (2.31) коэффициенты несущей способности Nq и Nc взаимозависимы. Этот же факт был установлен ранее в строгом аналитическом решении Прандтля формулами (2.15).

Аппроксимация результатов численного решения (см. рис. 2.14) уравнением (2.30) показывает, что коэффициенты Nq и Nc в численном решении с очень высокой точностью определяются выражениями (2.15) из формулы Прандтля. Для коэффициента Nγ может быть предложена следующая аппроксимационная формула:

Таким образом, формулы (2.30), (2.32) и (2.15) полностью определяют предельную нагрузку, передаваемую гладким штампом на грунтовое весомое сыпучее основание. Что касается очертания зон предельного равновесия, то они могут быть получены также из численного решения.

2.1.6.Задача о предельном давлении штампа

стрением по подошве

Случай шероховатого штампа является наиболее важным для практики. Это решение включено в СНиП [25] и широко используется для определения несущей способности грунтовых оснований реальных фундаментов, поскольку фундаменты зданий и транспортных сооружений имеют, как правило, не гладкую подошву, и в реальных условиях на границе фундамент – грунт, естественно, возникает трение.

Граничные условия для этой задачи, напомним, даны на рис. 2.10, б и сформулированы равенствами (2.22). Главной особенностью этого решения является наличие двух неизвестных функций на границе OA, для которой, следовательно, невозможно записать второе из условий вида (2.27), что повлечет за собой

106

В области радиального веера численно решается II краевая задача с известными из решения в зоне ABD условиями на характеристике AB и условиями (1.64) в особой точке A.

Нижний предел интегрирования в особой точке (постоянные α0 и σ0 в ф-ле (1.62)) был найден вполне аналогично тому, как это делалось в задаче о гладком штампе. Верхний предел дается некоторым значением угла α*. Напомним (см. рис. 1.24, б), что каждой характеристике, выходящей из особой точки, отвечает пара значений α и σ согласно уравнению (1.64). Максимальное значение верхнего предела интегрирования в особой точке ограничено равенствами (1.63), т.е. величина α* не может быть меньше значения (−π/2 + µ).

В данном случае искомая величина α* определяет такую характеристику, которая, выходя из особой точки, пересекает ось Oz под углом µ, обеспечивая тем самым вертикальное направление σ1 − требование, которое должно выполняться на оси симметрии согласно (2.33).

Получив, таким образом, точку C на оси симметрии и, соответственно, характеристику AC, далее можно выбрать один из двух вариантов решения. Первое. Симметрия расчетной схемы означает наличие слева от Oz зеркальной характеристики A′C, которая будет отличаться от AC только знаком параметра α и координаты x. На характеристиках AC и A′C решается II краевая задача. Второй путь. При полностью определенной характеристике AC и условиях (2.33) на оси симметрии решается III краевая задача.

Сделаем важное замечание. В обоих случаях полное решение II или III краевой задачи приведет к тому, что сетка линий скольжения при построении выйдет в отрицательную область − зона OCAC′ рис. 2.16. Это означает, что расчетная действительная область OAC должна отсекаться прямой z = 0, и по параметрам α и σ, попавшим в это сечение и формулам (1.33), определятся предельные нормальные pu(x) и касательные τu(x) напряжения по подошве штампа.

108

110

Рис. 2.17. Пример сетки линий скольжения в основании шероховатого штампа и эпюры предельных давлений по его подошве

Для аппроксимации численных решений также используется трехчленная формула (2.30):

причем коэффициенты несущей способности Nq и Nc, как и в случае гладкого штампа, с высокой точностью описываются формулами (2.15), а для коэффициента Nγ может быть предложена следующая аппроксимационная зависимость:

112