668

Кроме дифференциалов dx, dz, dα, dσ, в выражения (1.52) входят значения функций α(x, z), σ(x, z). В предлагаемой ниже конечно-разностной аппроксимации канонических уравнений будем обозначать значения этих функций через α% и σ% с «волной», а запись α и σ без «волны» будем использовать для значений этих функций в искомой точке M. С точки зрения конечно-разност- ного решения существует две пары значений α% и σ% : по характеристике 1-го семейства − α% 1 и σ%1 , по характеристике 2-го − α% 2 и

σ% 2 . Соответственно значения α% 1 и σ%1 должны принадлежать ин-

тервалам [α, α1] и [σ, σ1], а α% 2 и σ% 2 − интервалам [α, α2] и [σ, σ2]. С учетом сказанного распишем уравнения (1.52) в конечно-

разностном виде:

Четыре уравнения (1.53) содержат четыре неизвестных величины x, z, α, σ в точке M, а также четыре неизвестных значения α% 1, σ%1 , α% 2 и σ% 2 , у которых известен лишь диапазон их изменения

(см. выше). Следуя [31], эту систему можно решать итерационным методом, задав на первом шаге какие-либо значения α% 1, σ%1 ,

α% 2 и σ% 2 , а затем, рассчитав основные искомые x, z, α, σ, коррек-

тировать их.

Выразим искомые величины из (1.53):

z = x1 − x2 − z1tg(α% 1 + µ) + z2tg(α% 2 − µ) , tg(α% 2 − µ) − tg(α% 1 + µ)

Такие вычисления осуществляются на ЭВМ с помощью итераций на каждом шаге интегрирования. Для этого удобно исполь-

64

Определить параметры канонической системы в точке M пересечения этих характеристик. Количество итераций − 3.

Данный расчет ведется по формулам (1.55). Результаты расчета сведены в табл. 1.1 Окончательные значения параметров канонической системы уравнений в искомой точке выделены в табл. 1.1 жирным шрифтом.

1.4.3. Решение вблизи границы

Могут быть и другие варианты задания исходных данных и, следовательно, решения канонической системы. Разберем случай, когда в некоторой точке 1, принадлежащей характеристике 1-го семейства, известны все параметры канонической системы уравнений − x1, z1, α1, σ1 (рис. 1.21). Данная линия скольжения может быть продолжена до пересечения с некоторой линией (не характеристикой!), если на последней известны два параметра из четырех. В приведенном на рис. 1.21 примере это известные значения

z0 и α0.

С практической точки зрения такой границей может быть горизонтальная поверхность основания с известной ординатой z0

66

скую систему, например x0 и α0. Такие граничные условия часто ставят, например, на оси симметрии, где σ1 может быть направлено либо строго вертикально, либо горизонтально, и уравнение которой задается в виде x = x0 = const. Тогда выражения (1.56) примут вид:

Нетрудно получить такие же выражения для случая, когда интегрирование ведется по характеристике второго семейства.

1.4.4. Решение с неизвестным контуром

Рассмотрим еще один случай, когда при интегрировании вдоль только одной из характеристик неизвестен контур границы, до которого должна «дотянуться» характеристика, неизвестны также значения и направления напряжений, но известно лишь, что эта граница свободна от нагрузки. Такая ситуация показана на рис. 1.22 и может возникнуть, например, при расчете предельного очертания склона.

Предположим, что из предыдущего решения известны значения параметров x1, z1, α1, σ1 в точке 1. Определим параметры канонической системы уравнений в точке M свободного от нагрузки контура грунтового массива. Допустим, что в ближайшем и к искомой точке M, и к заданной точке 1, узле O, принадлежащим контуру, известно: его координаты x0, z0, параметр α0, который является, по существу, граничным условием. Значение среднего приведенного σ0 напряжения в этой точке для излагаемого ниже решения несущественно.

Приняв во внимание, что неизвестный контур свободен от нагрузки, можно сделать два вывода.

68

(x − x0 ) = (z − z0 ) tgα% 0 , (x − x1) = (z − z1) tg(α% 1 + µ),

(σ − σ1) + (σ + σ1) tgϕ (α − α1) = γ[z − z1 − (x − x1) tgϕ], (1.60)

Разрешая систему (1.60) относительно неизвестных, имеем:

1.t1 = tg(α% 1 + µ),

t0 = tg α% 0 ;

2.z = x1 − x0 − z1t1 + z0t0 ; t0 − t1

5. α = p1 − σ + σ1 + α1.

a11

На первой итерации принимаем α% 0 = α0 , на последующих

1.4.5. Понятие о краевых задачах

Численное решение задач ТПРГ сводится к интегрированию по трем схемам, или краевым задачам. Последовательности построения сетки линий скольжения в каждом из трех случаев показаны на рис. 1.23.

Первая краевая задача (задача Коши). В этом случае задана некоторая граница, например, участок поверхности основания OA (см. рис. 1.23, а), на которой в каждой точке известны все параметры канонической системы x, z, α, σ. Вначале производят дискретизацию участка границы. На показанном на рис. 1.23, а примере на отрезке выделено четыре точки. После чего согласно ука-

70

Третья краевая задача (смешанная задача). В этом случае задана характеристика какого-либо семейства и граница, на которой заданы два из четырех параметров канонической системы. При этом, как и в предыдущем случае, решение будет строиться по одну сторону от точки пересечения заданной линии скольжения AB и заданного участка границы OA (см. рис. 1.23, в). Последовательность построения сетки характеристик показана на рисунке стрелками. Особенность III краевой задачи состоит в том, что определение точек непосредственно на границе OA будет производиться по формулам (1.57) или (1.59) в зависимости от способа задания граничных условий. В примере, который дан на рис. 1.23, в должны использоваться формулы (1.57). Остальные точки получают по общим уравнениям (1.55).

Область радиального веера. Вторая краевая задача имеет очень важный частный случай, получивший широкое применение для решения многих практических задач, − область радиального веера. Такая ситуация возникает, если, представим, одна из двух заданных линий скольжения, например OA на рис. 1.23, б окажется стянутой в точку, из которой таким образом будет выходить пучок линий скольжения другого семейства. В результате получается область, примерный вид которой показан на рис. 1.24, а. Точки, из которых выходит пучок характеристик одного семейства, в ТПРГ называются особыми.

Последовательность построения сетки линий скольжения для этого случая при заданной характеристике OB и особой точке O(A) показана на рис. 1.24, а. От решения обычной задачи Гурса случай радиального веера отличает только наличие особой точки, «строение» которой показано на рис. 1.24, б.

В пределах особой точки меняется два параметра α и σ, но остаются постоянными ее координаты x = const и z = const. Поскольку особая точка представляет собой вырожденную линию скольжения (в примере, показанном на рис. 1.24, б, − 1-го семейства), то изменение параметров α и σ в ней описывается соответствующими уравнениями канонической системы при dx = 0, dz = 0.

Тогда из двух канонических уравнений, определяющих характеристики 1-го семейства, остается одно:

dσ + 2σ tgϕ dα = 0.

72