668

Отсюда

dλ = {F}Ò[De ]{P}{dε}.

Наконец, подставив выражение для dλ в (3.47), получим искомое уравнение состояния упругопластической среды:

e

рица.

Таким образом, механические свойства упругопластического основания, деформирование которого описывается уравнениями (3.41) – (3.46), полностью характеризуются четырьмя параметрами: E − модуль деформации, ν − коэффициент Пуассона, ϕ − угол внутреннего трения, c − удельное сцепление.

Получив определяющие уравнения упругопластической среды и выяснив принципиальную схему решения, перейдем далее к задаче, на примере которой рассмотрим проблему получения предельной нагрузки в упругопластических расчетах грунтовых оснований.

3.4.4. Задача об упругопластическом деформировании основания штампа

Рассмотрим плоскую задачу о вдавливании штампа в непригруженное невесомое сыпучее грунтовое основание, поведение которого описывается простейшей идеально-упругопластичес- кой моделью (3.41), (3.42) при ассоциированном законе пластического течения (3.46) [8]. Принятие данной модели объясняется, во-первых, тем, что она используется в практических расчетах, во-вторых, тем, что она является базовой для ряда других моделей, в которых также возникает указанная проблема, в- третьих, надежностью априорной оценки величины предельного

243

Впервые эти зоны возникают под краями штампа и на некоторой глубине под центром его подошвы при нагрузке, равной первой критической по Н.П. Пузыревскому. При P1êð < P < P2êð они раз-

виваются преимущественно вниз на глубину от 2b при ϕ = 0 до 8b при ϕ = 40° (b − ширина штампа), и лишь при P > P2êð выходят на

поверхность (тем быстрее, чем меньше ϕ). В результате в момент приложения нагрузки, равной P2кр, очертание зон пластических деформаций качественно не совпадает с очертанием областей предельного равновесия, получаемых и в строгих решениях статики сыпучей среды, и в эксперименте, а когда уже почти вся расчетная область основания оказывается охваченной предельным напряженным состоянием, нагрузка значительно превышает P2кр.

x

0

z

Рис. 3.15. Расчетная схема

245

упругопластического тела в рамках МКЭ в явном виде входит только равенство нулю условия прочности. Выполнение же равновесия в МКЭ должно являться следствием равновесия узлов сетки, гарантируемого принципом возможных перемещений [8]. Естественным выходом в этой ситуации является проверка статического равновесия в основании.

3.4.5. Проверка уравнений равновесия

Для оценки результатов решения была осуществлена проверка выполнения уравнений равновесия в расчетной области на всех шагах нагружения основания. Дифференциальные уравнения равновесия проверялись в конечно-разностной форме с помощью интегральных коэффициентов:

где i − номер элемента; n − общее количество элементов; Ai, Bi, Ci, Di − частные производные напряжений в i-м элементе:

Очевидно, что при выполнении дифференциальных уравнений равновесия во всей области должны выполняться и равенства kx = 1 и kz = 1. Рассмотрим поведение коэффициентов kx и kz в процессе нагружения (рис. 3.17 и 3.18).

Из рисунков видно, что пока все основание работает «упруго» (P < P1кр) коэффициенты практически равны единице. С появлением пластических деформаций kx и kz отклоняются от единицы. Уточняющие расчеты показали, что отклонение коэффициентов kx и kz от единицы в целом устойчиво увеличивается с ростом области упругопластической работы грунта. Заметим, что величина P1кр ближе всего к значению P2кр для грунтов с малыми углами внутреннего трения, а с ростом параметра ϕ разность (P2кр − P1кр) увеличивается.

247

Несоблюдение дифференциальных уравнений равновесия может означать нарушение равновесия в целом или указывать на тот факт, что поле напряжений разрывно. Этот вопрос выясним прямой проверкой статического равновесия сил, действующих на некоторые прямоугольные области, определяемые произвольно. Равновесие оценим величинами:

ΣX =100 ΣX + + ΣX − ,

ΣX −

ΣM =100 ΣM + + ΣM − ,

ΣM −

где X + , X − , Z+ , Z− − суммы положительных и отрицательных проекций сил, действующих по граням выделенной зоны, на координатные оси; M + , M − − моменты сил относительно центра тяжести выделенной области, действующие против и по часовой стрелке.

На рис. 3.15 прямоугольником выделена область, результаты проверки равновесия которой в процентах приведены на рис. 3.19 – 3.21. Из представленных графиков следует, что равновесие стабильно сохраняется в «упругой» стадии работы элементов выделенной области. Обращает на себя внимание нестрогое равенство нулю суммы проекций сил на ось Oz даже в начальной стадии работы, что можно отнести за счет погрешностей численного решения. Далее, в упругопластической стадии работы основания, уравнения равновесия выполняются с точностью 1–3 % до некоторого значения нагрузки, превышение которого приводит к резкому, недопустимому нарушению уравнений равновесия до 20 % и более. Интересно отметить, что это критическое для равновесия значение нагрузки довольно точно соответствует предельному давлению (P2кр = 5,14), определенному по теории предельного равновесия грунтов и этот результат устойчиво повторяется во всем диапазоне изменения угла внутреннего трения грунта в задаче о штампе.

249

Рис. 3.21. Проверка равновесия выделенной области по уравнению моментов

Выполненный анализ позволяет сделать три важных вывода:

1.При выполнении упругопластических расчетов необходимо осуществлять прямую проверку выполнения уравнений равновесия.

2.Область применения анализа упругопластического поведения грунтового массива должна ограничиваться условием выполнения общих уравнений равновесия.

3.Величину предельной нагрузки, получаемой в упругопластических расчетах грунтовых массивов, необходимо контролировать решениями ТПРГ.

251