668

а после небольших тригонометрических преобразований получим

где µ = π4 − ϕ2 .

Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения характеристик канонической системы уравнений статики сыпучей среды. Важнейшим свойством характеристик является их совпадение с линиями скольжения, также составляющими углы (α ± µ) с осью Oz (см. рис. 1.19). Следовательно, как и в случае с линиями скольжения, существует два семейства действительных характеристик, определяемых указанными уравнениями. Верхний знак в уравнениях (1.41) отвечает характеристикам (линиям скольжения) 1-го семейства, нижний знак отвечает характеристикам (линиям скольжения) 2-го семейства.

В дальнейшем изложении понятия характеристик и линий скольжения будут практически взаимозаменяемыми.

Продолжим исследование решений (1.39) основной системы (1.37) уравнений ТПРГ и теперь приравняем нулю числитель первого из уравнений (1.39):

b1a22 − b2a12 = 0.

Распишем это равенство с учетом формул (1.38) и (1.35):

×(−2σsin ϕsin 2α dx − 2σsin ϕcos2α dz)−

−(Zdx − sin ϕsin 2α dσ − 2σsin ϕcos 2α dα)×

×(2σsin ϕcos 2α dx − 2σsin ϕsin 2α dz) = 0.

Раскроем скобки:

−2σsin ϕsin 2α X (dx)2 − 2σsin ϕcos 2α Xdxdz +

+2σsin ϕsin 2α dσdx − 2σsin2 ϕsin 2α cos 2α dσdx + +2σsin ϕcos 2α dσdz − 2σsin2 ϕcos2 2α dσdz +

+4σ2 sin2 ϕsin2 2α dαdx + 4σ2 sin2 ϕsin 2α cos 2α dαdz − −2σsin ϕcos 2α Z(dx)2 + 2σsin ϕsin 2α Zdxdz +

54

зависимость, связывающую параметры основной системы (1.37) уравнений ТПРГ − искомые функции σ и α − вдоль линии скольжения соответствующего семейства. Другими словами, полученное уравнение определяет поведение искомых функций вдоль линий скольжения (характеристик).

Характеристики определяются уравнениями (1.40) или (1.41). Воспользуемся первой формой записи. Нетрудно показать, что

Тогда (1.42) примет вид:

sin 2αdσ − dσ(sin 2α m cosϕ) + 2σsin ϕdα =

= (X sin 2α + Z cos 2α)dx + (X cos 2α − Z sin 2α)dz

или

± cosϕdσ + 2σsin ϕdα =

= X sin 2α dx + Z cos 2α dx + X cos 2α dz − Z sin 2α dz.(1.44)

Знак «+» в уравнениях (1.44) отвечает линиям скольжения 1-го семейства, т.е. определяет изменение параметров σ и α вдоль линий 1-го семейства, знак «−», соответственно, определяет взаимосвязь этих функций вдоль линий скольжения 2-го семейства.

Проведем над уравнениями (1.44) еще ряд преобразований, приводя их к виду, более удобному для интегрирования. Для этого выразим cos2α, используя вначале первое из уравнений (1.43) характеристик, а затем второе:

cos2α = dz (sin 2α ± cosϕ) − sin ϕ, dx

cos2α = − dx (sin 2α m cosϕ) + sin ϕ. dz

Полученные выражения подставим в (1.44):

±cosϕdσ + 2σsinϕdα =

56

совпадают, в чем можно убедиться с помощью (1.38) и (1.35). Второе. Если систему (1.36) решить относительно другой пары

производных − ∂σ и ∂α , то придем к тем же результатам.

∂x ∂x

В случае весомого сыпучего основания и действии собственного веса γ, направленного вертикально вниз, − наиболее распространенный при решении практических задач случай − канонические уравнения (1.46) имеют вид:

dx = dz tg(α ± µ),

(1.47)

dσ ± 2σ tgϕ dα = γ(dz m dx tgϕ).

1.3.5. Канонические системы уравнений для частных случаев

Канонические уравнения для предельных (частных) случаев идеально-связного и идеально-сыпучего основания, а также невесомого сыпучего легче получить путем преобразований не исходных систем уравнений (1.27) или (1.28), а канонической (1.47) для общего случая.

Отметим одну важную особенность идеально-связного грунта: при ϕ = 0 угол между линиями скольжения двух разных семейств согласно (1.29)

2µ = π2 .

Из курса «Сопротивления материалов» известно, что, например, при сжатии чугунного образца (металлы не обладают внутренним трением) в момент его разрушения образуются два семейства поверхностей скола, по которым происходит разрушение и которые составляют между собой прямой угол.

Итак, первое из уравнений (1.47) запишется в виде:

dx = dz tg α ± π4 .

Второе уравнение (1.47) перепишем с учетом того, что для идеально-связного грунта cctg ϕ = ∞, и вместо понятия среднего приведенного напряжения (1.30) вводится понятие простого среднего напряжения σ = (σx + σz)/2:

d (σ + c ctgϕ)± 2(σ + c ctgϕ)tgϕ dα = γ(dz m dx tgϕ),

58

(σx − σz )2 + 4τ2xz = (σx + σz + 2c ctgϕ)sin ϕ.

Исходная система уравнений в случае весомого сыпучего грунта при X = 0, Z = γ:

Каноническая система уравнений в общем случае весомого сыпучего грунта:

dσ ± 2σ tgϕ dα = X (dx ± dz tgϕ) + Z(dz m dx tgϕ).

Каноническая система уравнений в случае весомого сыпучего грунта при X = 0, Z = γ:

dx = dz tg(α ± µ),

(1.47*)

dσ ± 2σ tgϕ dα = γ(dz m dx tgϕ).

Исходная система уравнений для идеально-связного основания:

Компоненты предельных напряжений:

60

ds ± 2cdα = 0,

где s = σ − γz.

Исходная система уравнений для идеально-сыпучего основания:

Компоненты предельных напряжений:

Исходная система уравнений для невесомого сыпучего основания:

(σx − σz )2 + 4τ2xz = (σx + σz + 2c ctgϕ)sin ϕ. Компоненты предельных напряжений:

Здесь

Каноническая система уравнений:

dx = dz tg(α ± µ),

(1.51*)

dσ ± 2σ tgϕ dα = 0.

В формулах (1.33), (1.46) – (1.51): α − угол между направлением σ1 и осью Oz (см. рис. 1.19, б):

Большая часть задач ТПРГ решается с использованием систем канонических уравнений (1.46), (1.47), (1.49) или (1.51). С помощью непосредственно исходных уравнений (1.25) – (1.28) можно рассмотреть лишь некоторые простые схемы.

Итак, в общем случае решение будет сводиться к интегрированию указанных канонических систем дифференциальных уравнений при заданных граничных условиях. В результате будут определены линии скольжения двух семейств и вдоль них определены функции σ(x, z) и α(x, z). Тогда по формулам (1.33), (1.48) или (1.50) может быть рассчитано поле предельных напряжений.

§ 1.4. Численное интегрирование канонической системы уравнений ТПРГ

1.4.1. Общие положения

Аналитических решений задач в ТПРГ на сегодняшний день известно очень немного, и наиболее важные из них мы рассмотрим ниже. В основном же при построении решений приходится прибегать к численному интегрированию канонической системы уравнений (1.47), которую перепишем в развернутом виде:

dx = dz tg(α + µ),

dx = dz tg(α − µ),

(1.52)

dσ + 2σ tgϕ dα = γ(dz − dx tgϕ), dσ − 2σ tgϕ dα = γ(dz + dx tgϕ).

62