668
.pdf
2.1.7.Некоторые замечания по задачам
определьном давлении штампа на основание
Заканчивая рассмотрение задач о предельном давлении одиночного штампа на основание сделаем несколько важных выводов.
Первое. Для весомого сыпучего основания различия в способе задания граничных условий − наличие или отсутствие трения по подошве штампа − при всей схожести решений приводит к качественно различному очертанию областей предельного равновесия в целом.
Так, правые половины симметричных относительно оси Oz областей предельного равновесия в основании даны на рис. 2.11 для гладкого штампа и на рис. 2.15 для шероховатого. Для наглядности изобразим эти схемы полностью. В основании гладкого штампа имеет место так называемый односторонний выпор грунта или, как говорят, выпор по схеме Хилла (рис. 2.20, а), а для шероховатого − двусторонний выпор, или выпор по схеме Прандтля (рис. 2.20, б).
|
b |
pu(x) |
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
q |
O |
|
q |
|
|
x |
|
|
|
|
|
D' |
A' |
A |
D |
B' |
C' |
C |
B |
|
z |
|
|
|
b |
pu(x) |
|
б) |
|
|
|
|
τ u(x) |
|
|
q |
|
q |
|
|
|
||
|
O |
|
x |
D' |
A' |
A |
D |
|
C |
|
|
B' |
z |
|
B |
|
|
||
|
|
|
|
|
Рис. 2.20. Схемы разрушения основания: |
||
а − одностороннее выпирание при гладком штампе, |
|||
б − двусторонний выпор при шероховатом штампе |
|||
|
|
|
113 |
Для невесомого и идеально-связного основания обе схемы выпора дают одинаковые значения предельных нагрузок, без трения по подошве и отличаются лишь размерами областей предельного равновесия. Наличие трения по подошве штампов, действующих на невесомое основание, рассмотрено, например, в [26].
Второе. Сравнивая рис. 2.19 и рис. 2.14, видим, что поведение зависимостей предельной нагрузки от пригрузки для гладкого и шероховатого штампа качественно вполне совпадает, причем с ростом пригрузки их значения становятся близки. Это объясняется тем, что с увеличением пригрузки влияние собственного веса грунта становится мало, и при q → ∞ предельным переходом получается решение для невесомой среды. В решении же для невесомой среды предельная нагрузка, получаемая при односторонней и двусторонней схемах выпора, совпадает. В самом деле, при построении решения для невесомой среды (см. рис. 2.7) мы рассматривали только области ABD, ABC и A′AC, при этом зоны A′B′D′ и A′B′C влияния на построение решения не оказывали − их наличие или отсутствие не сказывается на величине предельной нагрузки. Та же картина наблюдается и для идеально-связной среды.
Третье. Несущая способность основания и шероховатого, и гладкого штампа определяется формулой (2.30). В обоих случаях коэффициенты несущей способности Nq и Nc могут быть с высокой точностью рассчитаны по формулам (2.15) из решения Прандтля, а для коэффициента Nγ даны аппроксимационные формулы − (2.32) для гладкого штампа и (2.35) для шероховатого. Графически соотношение между ними представлено на рис. 2.21, из которого следует, что несущая способность шероховатого штампа существенно выше, чем несущая способность гладкого штампа.
Четвертое. Величина предельной нагрузки на невесомое сыпучее и весомое идеально-связное основание не зависит от ширины штампа. Для весомого сыпучего основания ширина штампа оказывает влияние на его несущую способность. Во всех случаях при ϕ ≠ 0 величина угла внутреннего трения является фактором, оказывающим наибольшее влияние на несущую способность основания.
114
50 |
Nγ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
ϕ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
|
|
|
Hill |
Prandtl |
|
|
Рис. 2.21. Значения коэффициента Nγ
при определении несущей способности основания шероховатого штампа (верхняя линия) и гладкого штампа (нижняя линия)
Пятое. Частный случай предельного давления штампа на непригруженное идеально-сыпучее (γ ≠ 0, ϕ ≠ 0, c = 0, q = 0) основание является наиболее сложным и требует специального рассмотрения. Этот случай обсуждается, например, в [20, 34].
§ 2.2. Предельное давление нескольких штампов на основание
2.2.1. Взаимное влияние штампов на несущую способность основания
Одним из обобщений задачи о несущей способности основания штампа является задача о несущей способности основания нескольких штампов. Заметим, что в теории линейнодеформируемой среды (или теории упругости), где справедлив принцип независимости действия сил, такого рода решения не вызывают затруднений, ибо их получают простым алгебраическим суммированием напряжений и деформаций, вызванных действием каждой из нагрузок. В ТПРГ эта задача требует специального решения.
115
В качестве примера рассмотрим два штампа шириной b каждый, расстояние между которыми в свету равно a. Ширину призмы выпирания для каждого из них в отдельности обозначим через l. Расчетные схемы возможных случаев взаимного расположения показаны на рис. 2.22, где цифрами обозначены номера краевых задач. С точки зрения построения решений статики сыпучей среды возможны следующие ситуации.
b |
a |
b |
а) |
l |
l |
II |
I |
I |
|
II |
b |
a < l |
b |
б)
в) |
b |
a = l |
b |
|
II |
I |
II |
|
|
Рис. 2.22. Взаимное расположение штампов (цифрами проставлены номера краевых задач):
а − специального решения не требуется; б − требуется построение специального решения; в − минимальное расстояние между штампами, при котором специального решения еще не требуется
Если штампы расположены достаточно далеко (a > l) и области предельного равновесия не пересекаются (см. рис. 2.22, а), то специального решения не требуется, и в рамках ТПРГ взаимное влияние штампов на несущую способность основания отсутствует. Если штампы находятся расстоянии a < l (см. рис. 2.22, б), то будет иметь место наложение областей предельного равновесия, построенных для каждого штампа в отдельности, и здесь требуется специальное решение. Расстояние a = l − в указанном смысле критическое расстояние между штампами (см. рис. 2.22, в).
116
Следует обратить внимание на то, что частичное или даже полное (см. рис. 2.22, в) наложение областей первой краевой задачи, построенных для каждого из штампов в отдельности, приводит к тривиальному решению, т.е. без учета взаимного влияния штампов.
2.2.2. Предельное давление бесконечного ряда штампов на основание
Рассматривать задачи о взаимном влиянии штампов будем по принципу от простого к сложному. Наиболее простой задачей из этой серии является задача о несущей способности основания бесконечного количества одинаковых штампов с шероховатой подошвой, расчетная схема которой дана на рис. 2.23.
a/2 |
b |
a |
b |
|
a |
|
b |
a |
b |
a/2 |
q |
Pu |
|
q |
Pu |
q |
|
Pu |
q |
Pu |
q |
|
|
|
O |
A |
|
|
D |
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
B |
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.23. Граничные условия к задаче о бесконечном количестве штампов
Ширина каждого штампа равна b, расстояние между штампами в свету a < l, где l − ширина призмы выпирания в основании одиночного штампа шириной b. Эпюры предельных нормальных и касательных напряжений по подошве штампов неизвестны. На участках между штампами действует равномерная вертикальная пригрузка интенсивностью q.
Для такой схемы можно выделить два типа осей симметрии, обозначенных на рис. 2.23 цифрами 1 и 2. Оси симметрии 1 проходят через середину расстояния между штампами, оси 2 – через середины штампов. Решение будем строить для части основания, заключенной между двумя осями симметрии, как показано на рис. 2.24.
Анализируя граничные условия, можно сделать важный вывод о том, что на оси симметрии 2 (ось Oz), как в области, при-
117
мыкающей к границе с предельной нагрузкой, будут выполняться условия, аналогичные (2.33) в задаче Прандтля:
α = 0 , x = 0, |
(2.36) |
а на оси симметрии 1, следуя характеру развития зон предельного равновесия:
α = |
π |
, |
x = b |
+ a . |
(2.37) |
|
2 |
|
2 |
2 |
|
b/2 |
|
|
a |
|
|
Pu |
|
|
|
q |
|
x
O III |
A |
I |
|
|
D
H |
C |
σ1 |
α = 0 |
z 
|
II |
B |
σ |
|
|
||
|
|
|
1 |
II |
|
F III |
α = +π/2 |
|
|
|
E σ1
Рис. 2.24. Последовательность краевых задач в задаче о предельном давлении бесконечного количества
одинаковых штампов на основание
Определим последовательность краевых задач (см. рис. 2.24). В зоне ABD, симметричной относительно оси симметрии BE, имеем замкнутое решение I краевой задачи (2.6) или (2.23), как в зоне максимального напряженного состояния:
σ = |
γz + q + c ctg ϕ |
, |
α = |
π . |
(2.38) |
|
1− sin ϕ |
||||||
|
|
|
2 |
|
Область радиального веера определится численным решением II краевой задачи с полученными условиями (2.38) на характеристике AB и условиями в особой точке A аналогично (2.34):
π |
≥ α ≥ α*, |
σ = |
q + c ctgϕ |
e |
(π−2α)tgϕ |
. |
(2.39) |
2 |
1− sin ϕ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
118
Верхний предел интегрирования α* в особой точке A определится позже, как и в задаче Прандтля, из условия пересечения характеристики AC, определяемой на выходе из особой точки значением α*, с осью симметрии Oz под углом µ, обеспечивая тем самым требование (2.36).
Поскольку согласно условиям задачи a < l, то размеры зоны ABD ограничены (по сравнению с решением для одиночного штампа) и, следовательно, размеров области радиального веера ABH будет недостаточно, чтобы крайняя ее характеристика смогла «дотянуться» до оси симметрии Oz. Ввиду сказанного необходимо продолжить решение ниже характеристики BH.
На характеристике BH выберем некоторую точку F и при известных параметрах канонической системы уравнений на отрезке BF и условиях (2.37) на линии BE решим III краевую задачу в зоне BEF. После чего замкнем поле предельных напряжений решением II краевой задачи в области CEFH.
В техническом отношении основным вопросом здесь будет подбор точки F, которая, определяя на оси симметрии точку E, даст такую линию скольжения EC, которая, в свою очередь, обеспечит в точке C выполнение требований (2.36). Таким образом, определится характеристика AC и, соответственно, параметр α* в особой точке A. Существование точки C, удовлетворяющей условиям (2.36), установлено в численных решениях.
Последним шагом будет решение III краевой задачи в зоне OCA под штампом, в результате чего получим в том числе и эпюры предельных нормальных и касательных напряжений по подошве штампа. Техника численного решения в этой области была описана нами выше в рамках задачи о несущей способности основания шероховатого штампа (см., например, рис. 2.16).
На рис. 2.25 дан фрагмент сетки линий скольжения в основании бесконечного количества штампов при следующих исходных данных: полная ширина штампа b = 1 м, расстояние между штампами в свету a = 1,4 м, угол внутреннего трения ϕ = 30°, удельное сцепление c = 1 кПа, удельный вес грунта γ = 20 кН/м3, пригрузка q = 3 кПа. На этом же рисунке приведены искомые эпюры предельных нормальных и касательных напряжений по подошве шероховатого штампа. Равнодействующая предельного давления на штамп шириной 1 м составила 308 кН.
119
120
Рис. 2.25. Сетка линий скольжения в основании бесконечного количества штампов
Анализируя данное решение, проследим, как меняется предельная нагрузка в зависимости от расстояния между штампами. Расчет будем вести в тех же относительных переменных, что и раньше: b = 1 − единица длины; γ = 1 − единица массовой силы.
В качестве величины, характеризующей относительную близость штампов, введем новую переменную:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
η = |
|
a |
, |
(2.40) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
|
= |
a |
|
|
− |
относительное расстояние |
между штампами |
|||||||
a |
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
шириной b; |
|
= |
l |
|
− относительная ширина призмы выпирания в |
||||||||||
l |
|
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|||||||
основании одиночного штампа (см. п. 2.1). |
|
||||||||||||||
Величина l |
может быть получена непосредственно из рас- |
||||||||||||||
смотренной выше задачи о предельном давлении шероховатого штампа на весомое сыпучее основание. Для удобства дальнейших рассуждений значения l = l/b приведены в табл. 2.1 для различных углов внутреннего трения и величин относительных пригрузок q′, определяемых согласно (2.28).
Зависимость предельного среднего приведенного давления по подошве от относительного приведенного расстояния η будет оцениваться коэффициентом влияния k, определяемым из выра-
жения |
|
pотн = (1 + k) pотн,1, |
(2.41) |
где pотн − относительное приведенное предельное нормальное давление, воспринимаемое каждым из бесконечного ряда штампов шириной b = 1, отстоящих друг от друга на расстоянии а/l; pотн,1 − относительное приведенное предельное давление на одиночный штамп шириной b = 1, принимаемое по табл. 2.1 для соответствующих значений угла внутреннего трения ϕ и относительной пригрузки q′.
Переход от относительных значений pотн предельного давления к фактическим pфакт осуществляется по формуле (2.29).
Графики зависимости коэффициента влияния k от относительного расстояния η показаны на рис. 2.26. Детальные исследо-
121
вания этой задачи показывают, что величина пригрузки незначительно влияет на функцию k(η) [18]. Поэтому на рис. 2.26 приведены результаты расчетов для одного значения относительной пригрузки − q′ = 15.
Таблица 2.1
Предельное давление pотн,1 на основание
и ширина l призмы выпирания в основании одиночного штампа
q′ |
ϕ = 10° |
ϕ = 20° |
ϕ = 30° |
ϕ = 40° |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
pотн,1 |
l |
pотн,1 |
l |
pотн,1 |
l |
pотн,1 |
l |
||
|
|||||||||
0,5 |
1,731 |
0,892 |
5,671 |
1,562 |
20,178 |
2,732 |
90,042 |
5,062 |
|
1 |
3,036 |
1,058 |
9,135 |
1,782 |
30,422 |
3,044 |
127,24 |
5,554 |
|
3 |
8,063 |
1,298 |
22,306 |
2,112 |
68,826 |
3,556 |
264,60 |
6,448 |
|
5 |
13,030 |
1,384 |
35,236 |
2,236 |
106,25 |
3,760 |
396,55 |
6,836 |
|
10 |
25,416 |
1,464 |
67,367 |
2,360 |
198,86 |
3,972 |
722,63 |
7,282 |
|
15 |
37,794 |
1,497 |
99,478 |
2,411 |
291,56 |
4,067 |
1046,4 |
7,480 |
|
4,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ = 10 |
|
3,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ = 20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ = 30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ = 40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
η |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
1,0 |
|
|
Рис. 2.26. Зависимость коэффициента влияния |
|
|
||||||
|
|
|
от расстояния между штампами |
|
|
|
||||
122