668

также для каждого отсека можно записать коэффициент устойчивости в виде:

где ci,пр, ϕi,пр − значения характеристик прочности, отвечающие состоянию предельного равновесия склона.

Далее, принимая значение коэффициента устойчивости одинаковым для всех отсеков, станем пропорционально уменьшать параметры ci и ϕi вдоль исследуемой линии скольжения и, соответственно, коэффициент устойчивости kуст, постепенно приближая их значения к предельным ci,пр, ϕi,пр:

Выполнив серию расчетов склона симплекс-методом для данных значений прочностных параметров, можно установить граничные значения коэффициента kуст, разделяющие области недопустимых и предельных

173

Отличие от традиционного понятия коэффициента устойчивости заключается в том, что значение kуст = 1 имеет место для целого диапазона значений прочностных параметров грунтов ci, ϕi, тогда как в известных вариантах «методов отсеков» пропорциональное изменение характеристик прочности в соответствии, например, с формулой (2.68) дает значение kуст = 1 при одном сочетании значений сi, ϕi. Однако это значение включает в себя неопределенность дополнительных гипотез метода, тогда как в предлагаемом варианте расчета значение коэффициента устойчивости отвечает лишь уравнениям равновесия и закону прочности грунта.

§ 2.4. Предельное давление грунта на подпорные сооружения

2.4.1. Понятие активного и пассивного давления

Проблема определения предельного давления грунта на подпорные сооружения, как указывалось в начале этой главы, является одной из основных проблем в ТПРГ. Исследование этого вопроса начнем с задачи, приводящей к понятию активного и пассивного давления.

Рассмотрим схему, показанную на рис. 2.51. Пусть задана горизонтальная поверхность основания, свободная от нагрузки. Допустим, что данный геологический район в процессе формирования не подвергался тектоническим воздействиям, сам процесс осадконакопления протекал равномерно в направлении оси Oz. Сделанные предположения приводят к выводу о том, что грунт работает в условиях, близких к компрессионным, и, вероятнее всего, в допредельной стадии. Последнее обстоятельство означает, что поведение грунта может описываться решениями теории линейно-деформируемой среды (ТЛДС), в основу которой положены условия равновесия и закон Гука [32]. Согласно этой теории вдоль любой вертикальной линии, например, оси Oz, напряжения в основании определятся уравнениями:

где ξ0 = 1−νν − коэффициент бокового давления грунта, ν − коэффициент Пуассона.

174

стояние. Сформируется призма обрушения, которая при сколь угодно малом дополнительном перемещении стенки обрушится вниз за стенку. Давление грунта, которое в этот момент будет действовать на стенку, называется активным давлением σа.

σ0

σa

Рис. 2.52. Давление грунта σx на подпорную стенку – а и зависимость этого давления от перемещения u стенки – б (масштабы перемещений на схеме и на графике не совпадают)

По мере перемещения стенки в сторону прилегающего массива давление грунта, напротив, будет расти. При некотором значении up напряжения в грунте достигнут предела текучести, в грунтовом массиве сформируется область предельного напряженного состояния − призма выпирания, которая при сколь угодно малом дополнительном перемещении стенки станет выпирать на поверхность. Давление, с которым грунт в этот момент действует на подпорное сооружение, называется пассивным давлением σp.

Итак, активным давлением грунта называется предельное давление, возникающее при отодвигании стенки от грунтового массива в момент обрушения грунта в сторону стенки.

Пассивным давлением грунта называется предельное давление, образующееся при надвигании стенки в сторону грунтового массива в момент выпирания грунта на поверхность за стенкой.

176

Рис. 2.53. Схемы к выводу уравнений для активного (а) и пассивного (б) давлений

Отсюда выразим активное давление

σa = (γz + p)11+− sinsin ϕϕ − 2c1+ sin ϕ .

Обычно это уравнение записывают в стандартном виде:

где ξa − коэффициент активного давления грунта, равный:

Пассивное давление найдем аналогично. Схема к определению пассивного давления дана на рис. 2.53, б. Внешнее давление на верхней бровке обозначим через q. Будем считать, что стенка получила перемещение up, достаточное для реализации пассивного давления.

Как и прежде, подпорную стенку примем абсолютно гладкой, но в отличие от случая активного давления здесь горизонтальное давление определяет направление разрушения грунта, поэтому является первым главным напряжением. Ясно, что это напряжение, определяющее силовое взаимодействие подпорной стенки и грунтового массива, и будет искомым пассивным давлением.

Учитывая все вышесказанное, определим главные напряжения:

178

Подставим эти напряжения в закон Кулона–Мора:

σp − (γz + q) = (σp + γz + q + 2c ctgϕ)sin ϕ. Выразим отсюда пассивное давление

σp = (γz + q)11+− sinsin ϕϕ + 2c1− sin ϕ . Запишем пассивное давление в стандартной форме:

где ξp − коэффициент пассивного давления грунта, равный:

2.4.3. Исследование активного и пассивного давления грунта

Обратимся к распределению предельных напряжений в грунте вдоль подпорной стенки. Из выражений (2.78) и (2.81) следует, что эпюры активного σa и пассивного σp давлений имеют трапецеидальное очертание (рис. 2.54).

Рис. 2.54. Эпюры активного (а) и пассивного (б) давления

Для практических расчетов и для анализа напряженного состояния часто бывает удобно разделять трапецеидальную эпюру на прямоугольную и треугольную. Тогда активное давление (2.78) можно представить в виде суммы двух эпюр:

179

Аналогично запишется выражение (2.81) для пассивного давления:

ставляющие активного и пассивного давлений. Вид этих эпюр показан на рис. 2.54.

Равнодействующие эпюр предельных давлений на стенку высотой h (см. рис. 2.54) могут быть рассчитаны по формулам:

Эпюра активного давления может иметь особенность, которая состоит в том, что при малых значениях внешней нагрузки p и при c ≠ 0 активное давление до некоторой глубины hкр может быть отрицательным.

Определим указанную глубину, приравняв нулю уравнение (2.78), записанное в виде:

Полученное выражение совпадает с уравнением (2.53) предельной высоты hпр вертикального откоса, в пределах которого не достигается предельного состояния и не возникает давления на стенку, поскольку при отодвигании стенки откос мощностью hпр = hкр держит себя сам. Это означает, что до глубины hкр активное давление равно нулю, а при z > hкр может быть рассчитано по формуле (2.78). Вид эпюры активного давления и его составляющих для этого случая показан на рис. 2.55.

В практических расчетах часто требуется выполнить учет слоистости грунтового массива. Рассмотрим это на примере активного давления [9]. Пусть по высоте h подпорной стенки в грунтовом массиве выделено два инженерно-геологических эле-

180

мента (ИГЭ) с характеристиками соответственно γ1, ϕ1, c1 и γ2, ϕ2, c2 (рис. 2.56).

Рис. 2.55. Эпюры активного давления

в случае существования отрицательных напряжений в пределах глубины hкр

z

Рис. 2.56. Эпюры активного давления в двухслойном основании при различных соотношениях характеристик слоев

В общем случае на границах ИГЭ предельное давление следует определять дважды − σ1a для верхнего грунта в уровне его подошвы и σ2a для нижнего в уровне его кровли:

σ1a = (γ1h1 + p)ξ1a − 2c1 ξ1a , σ2a = (γ1h1 + p)ξ2a − 2c2 ξ2a ,

где ξ1a и ξ2a − коэффициенты активного давления, рассчитываемые по формуле (2.79) в зависимости от значений углов внутреннего трения ϕ1 и ϕ2.

181

Активное давление в пределах 2-го ИГЭ (h1 < z < h1 + h2) может быть рассчитано по формуле

Здесь в обозначениях коэффициента активного давления ξ1a и ξ2a верхний индекс обозначает номер ИГЭ (!), а не степень.

Другими словами, при определении предельного давления, возникающего в i-м слое грунта, нагрузка на поверхности основания и вес верхних слоев рассматривается как внешняя нагрузка по кровле i-го слоя.

На рис. 2.56 в качестве примера показаны некоторые возможные очертания эпюр активного давления в двухслойном основании. Эпюра I отвечает случаю близких значений параметров прочности 1-го и 2-го ИГЭ, но существенно различных значений удельного веса γ1 и γ2. Распределение напряжений II имеет место, если нижний грунт 2 прочнее верхнего 1. Причем если удельное сцепление c2 достаточно велико, то значение σ2a может оказаться

отрицательным, как показано на эпюре III. Это означает высокую прочность грунта ИГЭ № 2, не позволяющую в нем реализовываться предельному состоянию на глубине h1. Наконец случай IV наступает, когда нижний грунт 2 слабее верхнего 1.

2.4.4. Призма обрушения и призма выпирания грунта

Возникновение активного и пассивного давлений означает наступление в некотором объеме грунтового массива вблизи стенки предельного напряженного состояния. Учитывая отсутствие касательных напряжений по задней грани подпорной стенки и неизменность граничных условий на верхней бровке основания, можно утверждать, что главные напряжения определяются выражениями (2.77) и (2.80) не только непосредственно на контакте «основание–стенка», но и на некотором расстоянии в глубине грунтового массива, очевидно, в пределах образовавшейся области предельного напряженного состояния.

Область предельного напряженного состояния, возникающая в массиве при отодвигании от него стенки, называется призмой обрушения, а при надвигании на него стенки − призмой выпирания. В пределах областей предельного равновесия в каждой точке

182