668
.pdf
грунта возникают две линии скольжения различных семейств, образующих с направлением σ1 углы ±µ (см., например, рис. 1.19). Так, учитывая направление σ1, в пределах призмы обрушения сетка линий скольжения будет представлена двумя семействами прямых линий, составляющих угол ±µ с вертикалью (рис. 2.57, а), а в пределах призмы выпирания − двумя семействами прямых, составляющих с горизонталью угол ±µ (рис. 2.57, б). Данные области предельного равновесия будут, очевидно, ограничены линиями AB (см. рис. 2.57), положение которых определяется высотой h подпорной стенки.
а) |
|
|
p |
б) |
|
|
|
q |
|
B |
|
|
O |
x |
B |
µ |
|
O |
x |
|
|
|
|
||||||
h |
|
µ |
|
h |
|
σ1 |
µ |
|
|
µ |
µ |
|
|
|
µ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
σ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
z |
|
|
|
A |
z |
|
Рис. 2.57. Общий вид призмы обрушения (а)
ипризмы выпирания (б) грунта за стенкой
Спозиций строгого статического метода ТПРГ призма обрушения представляет собой область минимального напряженного
состояния, а призма выпирания − область максимального напряженного состояния. В самом деле, нетрудно показать, что компоненты напряжений в области минимального напряженного состояния (2.5) совпадают с выражениями (2.77) – (2.79), полученными для активного давления, а напряжения в области максимального напряженного состояния (2.7) совпадают с выражениями (2.80) – (2.82). При этом линии скольжения в областях призм обрушения и выпирания описываются уравнениями (2.4) и (2.6) соответственно.
Таким образом, рассмотренные решения (2.77) – (2.82) являются строгими статическими решениями ТПРГ для соответствующих граничных условий.
183
2.4.5. Численное решение задачи определения активного давления грунта
В случае горизонтальной верхней поверхности основания, сложенного однородным грунтом, и вертикального положения абсолютно гладкой стенки имеем замкнутое решение ТПРГ, которое мы привели выше. Если верхняя поверхность грунта или само подпорное сооружение сориентированы иначе, то в общем случае приходится прибегать к численному интегрированию канонической системы уравнений ТПРГ.
Рассмотрим задачу об активном давлении грунта на гладкую наклонную подпорную стенку (рис. 2.58). На верхней границе основания OA, составляющей с горизонтом угол β1, перпендикулярно к ней задана предельная нагрузка pu, под действием которой грунт стремится обрушиться в сторону подпорной стенки. Задняя грань стенки совпадает с границей OD и составляет с вертикалью угол β2. На границе OD контакта «грунт – стенка» действует неизвестная пригрузка q, представляющая собой искомое активное давление σa.
A |
|
pu |
|
σ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
β1 |
O |
x |
α = −β1 |
I |
µ |
β2 |
|
|
q = σa |
|
|
2µ |
|
|
|
|
II |
Ea |
|
C |
III |
|
|
|
B 
µ |
|
|
|
D |
|
z |
σ1 |
|
α = β 2 |
||
|
Рис. 2.58. Последовательность краевых задач при определении активного давления
184
Анализируя исходные данные, приходим к выводу, что на границах OA и OD действуют главные напряжения. Учитывая направления возможных перемещений границ OA и OD по аналогии с моделями на рис. 2.2, а также расчетными схемами на рис. 2.41 и 2.42, можно утверждать, что σ1 направлено перпендикулярно границе на OA и параллельно границе на OD.
В задачах о несущей способности основания штампов, об устойчивости склонов, о предельном давлении грунта на вертикальные стенки нами были использованы замкнутые решения (2.4) – (2.7), полученные для минимального и максимального напряженных состояний. Эти интегралы предполагали наличие горизонтальной поверхности основания при вертикальном направлении удельного веса грунта. В данном случае контур грунтового массива и задняя грань стенки составляют произвольные углы с горизонталью и вертикалью, следовательно, формулы (2.4) – (2.7) здесь не применимы, и решение будет строиться численным методом ТПРГ.
Итак, определим последовательность краевых задач. В области OAC решается I краевая задача с известной границы OA, на которой имеют место равенства:
σ = |
pu + c ctg ϕ |
, α = −β , |
z = x tgβ , x < 0. (2.83) |
|
|||
|
1+ sin ϕ |
1 |
1 |
|
|
|
В области радиального веера решается II краевая задача на полученной интегрированием в зоне OAC характеристике OC и условиях в особой точке O согласно (1.62):
σOC = σOBe−2tgϕ(αOC −αOB ) , |
(2.84) |
где σOC − приведенное среднее напряжение на характеристике OC |
|
в точке O, рассчитываемое по формуле (2.83), αOC |
= −β1 и |
αOB = β2 − значения параметра α на характеристиках OC и OB в точке O.
Зная величины σOC, αOC и αOB, из (2.84) определим σOB. Область радиального веера OBC существует, только если
β1 + β2 > 0, в противном случае можно ограничиться только решением I краевой задачи в зоне OAC и III краевой задачи в зоне ODC. Данный вариант решения будет в целом аналогичен реше-
185
нию задачи о равноустойчивом контуре, расчетная схема которой дана на рис. 2.42, а.
Область OBD определится решением III краевой задачи на характеристике OB, принадлежащей зоне радиального веера OBC, и условиях на границе OD:
α = β2 , x = z tgβ2 . |
(2.85) |
Конечно-разностные формулы для определения параметра σ в точках, находящихся непосредственно на границе OD, а также для координат этих точек, связанных вторым из выражений (2.85), могут быть получены, например, из системы (1.56), если положить в ней α0 = β2, x = z0 tg β2. Для остальных точек этой области интегрирование ведется по формулам (1.55).
На рис. 2.59 изображена сетка линий скольжения в грунтовом массиве вблизи подпорной стенки и эпюра активного давления для следующих исходных данных: ширина призмы обрушения b = 1/cos β1 м, угол внутреннего трения ϕ = 30°, удельное сцепление c = 1 кПа, удельный вес грунта γ = 20 кН/м3, нагрузка на призме обрушения pu = 3 кПа, наклон верхней границы OA к горизонтали β1 = 20°, наклон подпорной стенки к вертикали β2 = 10°. Равнодействующая активного давления составила Ea = = 26,4 кН.
2.4.6. Численное решение задачи определения пассивного давления грунта
Перейдем к задаче определения пассивного давления грунта на ограждения. На рис. 2.60 приведена расчетная схема к этой задаче. Как и ранее, заднюю грань подпорной стенки, совпадающей с границей OA, будем считать абсолютно гладкой. Угол ее наклона к вертикали обозначим через β2. На границе OD, составляющей с горизонтом угол β1, нормально к ней приложена пригрузка интенсивностью q.
Учитывая направления возможных перемещений грунта, заключаем, что первое главное напряжение σ1 направлено вдоль контура грунтового массива на границе OD и перпендикулярно ему границе на OA, где предельная нагрузка pu и определит пассивное давление σp грунта на стенку.
186
Рис. 2.59. Пример сетки линий скольжения и эпюры активного давления грунта
Опишем последовательность численного решения данной задачи. В зоне OBD численно решается I краевая задача при известных условиях на границе OD:
σ = |
q + c ctg ϕ |
, |
α = |
π + β , |
z = −x tgβ , x > 0. (2.86) |
|
|
||||||
|
1− sin ϕ |
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|||
В области радиального веера реализуется решение II краевой задачи на полученной характеристике OB и для условий в особой точке O:
σOC = σOBe−2tgϕ(αOC −αOB ) , |
(2.87) |
|
187 |
где σOB − приведенное среднее напряжение на характеристике OB в точке O, рассчитываемое по формуле (2.86), αOB = π/2 + β1 и αOC = π/2 − β2 − значения параметра α на характеристиках OB и OC в точке O.
|
|
|
q |
|
|
σ1 |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
µ |
|
|
|
|
|
|
|
|
pu = σp |
O |
|
β1 |
I |
|
α = π/2 + β1 |
µ |
|
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
β2 |
|
|
B |
x |
Ep |
|
II |
|
|
||
|
|
2µ |
C |
|
|
|
|
|
III |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
σ1
A
α = π/2 − β 2
z
Рис. 2.60. Последовательность краевых задач при определении пассивного давления
Так же, как и в случае активного давления, радиальный веер существует, только если β1 + β2 > 0.
Наконец, в области OAC решается III краевая задача на известной характеристике OC и условиях на границе OA контакта «грунт – стенка»:
α = π − β |
2 |
, |
x = −z tgβ |
2 |
. |
(2.88) |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Особенности численного решения в области OAC описаны выше − в задаче об активном давлении.
На рис. 2.61 дан пример сетки линий скольжения и эпюра пассивного давления грунта для следующих исходных данных: угол внутреннего трения ϕ = 30°, удельное сцепление c = 1 кПа, удельный вес грунта γ = 20 кН/м3, пригрузка на призме выпирания q = 3 кПа, наклон верхней границы OD к горизонтали β1 = 20°, наклон подпорной стенки к вертикали β2 = 10°. Равнодействующая пассивного давления составила Ep = 195 кН.
188
189
Рис. 2.61. Пример сетки линий скольжения и эпюры пассивного давления грунта
2.4.7. Метод плоских поверхностей скольжения (метод Кульмана)
В общем случае, когда поверхность грунта засыпки за стенкой имеет сложное очертание и приложена произвольная нагрузка, определение активного и пассивного давления выполняют графоаналитическим методом с использованием плоских поверхностей скольжения.
Это приближенный метод расчета, в котором рассматриваются условия предельного равновесия с использованием упрощающих расчет гипотез. Основная гипотеза − это назначение схемы разрушения массива грунта. В данном случае с использованием упомянутых плоских поверхностей скольжения. Далее, взаимодействие грунта на отдельных участках представляется в виде равнодействующих сил. При этом точка приложения этих сил не всегда учитывается. Достаточно обратиться к случаю активного давления с отрицательным участком эпюры. Если в строгом решении эта ситуация разумно интерпретируется, то в приближенном решении, как станет ясно из дальнейшего, она оказывается за рамками формульного аппарата, т.е. не учитывается. Тем не менее приближенные расчеты имеют большое практическое значение, поскольку круг расчетных схем строгих решений весьма ограничен.
Ниже будет излагаться метод Кульмана, но не в авторском (графическом) варианте, а в аналитическом виде, позволяющем построить алгоритм численного расчета.
На рис. 2.62 приведена расчетная схема для определения активного давления грунта на подпорную стенку. Прямой линией скольжения BC выделена исследуемая область обрушения грунта. Линия скольжения BC отклонена от вертикали на угол θ. На схеме (см. рис. 2.62) обозначены:
P − равнодействующая внешних нагрузок, приложенных к участку поверхности AC, отклонена от вертикали на угол β;
G − равнодействующая массовых сил, действующих в области ABC, отклонена от вертикали на угол ω;
T − сила сопротивления сдвигу по линии скольжения BC, обусловленная сцеплением грунта; T = cl (l − длина отрезка BC);
R − равнодействующая нормальной силы и касательной силы сопротивления сдвигу, обусловленной внутренним трением грун-
190
та, действующей по линии скольжения BC; сила R отклонена от нормали к BC на угол ϕ;
E − сила давления, действующая на заднюю грань стенки AB; задняя грань стенки AB наклонена к вертикали на угол ε; сила E отклонена от нормали к AB на угол δ − угол трения стенки о грунт.
O x |
β P |
C |
z
|
|
ω |
G |
|
A |
|
π/2 |
||
|
|
|||
|
|
|
||
π/2 |
|
|
ϕ |
|
|
|
|
||
δ |
ε |
θ |
T |
|
R |
||||
|
|
E
B
Рис. 2.62. Схема к определению активного давления методом Кульмана
Запишем уравнения равновесия всех сил, действующих на выделенную область в вертикальном и горизонтальном направлениях:
Pcosβ + G cosω −T cosθ = E sin(ε + δ) + Rsin(θ + ϕ); |
(2.89) |
Psinβ + Gsin ω −T sin θ = E cos(ε + δ) − Rcos(θ + ϕ). |
Из данной системы находим силу давления E при данном положении линии скольжения:
E = |
Pcos(θ + ϕ − β) + G cos(θ + ϕ − ω) −T cosϕ |
. |
(2.90) |
|
|||
|
sin(ε + δ + ϕ + θ) |
|
|
Статическое решение определяет наиболее неблагоприятное очертание области обрушения, которому соответствует максимальная величина давления на стенку. Для других схем обрушения давление на стенку будет меньше активного.
191
Поэтому определяется максимальное значение величины E по углу θ. Этот максимум и будет искомой величиной силы активного давления грунта на подпорную стенку Ea.
Отсюда следует еще одно определение активного давления (см. п. 2.4.1): активное давление − это максимальное давление грунта на стенку, при котором будет происходить обрушение
грунта в сторону стенки.
Пассивное давление стенки на грунт графоаналитическим методом определяется по аналогичной схеме.
На рис. 2.63 приведена расчетная схема для определения пассивного давления грунта на подпорную стенку. Прямой линией скольжения BC выделена исследуемая область выпора грунта. Линия скольжения BC отклонена от вертикали на угол θ. Обозначения сил, действующих на область выпора, по содержанию отвечают случаю активного давления. Изменения в направлении этих сил указаны на схеме рис. 2.63.
O x |
β P |
C |
z |
|
|
|
ω |
G |
R |
A |
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
E |
|
|
π/2 |
δ |
ε θ |
|
T |
|
|
|
|
|
π/2 |
|
|
B
Рис. 2.63. Схема к определению пассивного давления методом Кульмана
Запишем уравнения равновесия всех сил, действующих на выделенную область в вертикальном и горизонтальном направлениях:
Pcosβ + G cosω −T cosθ = E sin(ε − δ) + Rsin(θ − ϕ); Psinβ + Gsin ω −T sin θ = E cos(ε − δ) − Rcos(θ − ϕ).
192