668

Рис. 2.64. Схема к формуле Понселе

Продифференцировав это выражение по dθ, а затем приравняв нулю, получим

cos(ε + ϕ + 2θ)cos(ε − α)sin (ε + δ + ϕ + θ)cos2 ε×

×cos(α + θ)− cos(ε + ϕ + δ + α + 2θ)cos2 εcos(ϕ + θ)× (2.93)

×cos(ε − α)sin (ε + θ) = 0.

Решение этого уравнения дает угол θ = θ0, определяющий положение наиболее опасной линии скольжения, и при котором, очевидно, величина E достигает максимального значения. Полученная величина и является искомой силой активного давления Ea.

Данное решение используется в нормативных документах в следующем виде [24]. Сила активного давления раскладывается на горизонтальную и вертикальную составляющие. Горизонтальная составляющая Eah дается выражением

Коэффициент активного давления в рассматриваемом решении λa определяется формулой

194

(упругость, пластичность, ползучесть), но и по пути дальнейшего развития уже существующих моделей, учитывая новые, дополнительные факторы, влияющие на работу грунта.

ТПРГ развивается сегодня по нескольким направлениям. Вопервых, это получение новых решений в классической постановке [33, 34, 18], во-вторых, различные обобщения классической ТПРГ [1, 40, 17], в-третьих, развитие осесимметричной задачи [12] и многое другое. Также здесь можно выделить в отдельное, строго говоря, смежное направление создание принципиально новых по своей надежности методов расчета в рамках существующих приближенных схем, о чем шла речь выше [13].

Здесь будут рассматриваться решения ТПРГ для континуально неоднородной среды с условием прочности, обобщающим закон Кулона–Мора в части учета нелинейности графика сдвига [26, 3, 40, 11]. Термин континуально неоднородная среда означает, что параметры грунта непрерывно меняются от точки к точке, например, по некоторой экспериментально установленной непрерывной функции. Полученные при таком условии прочности уравнения ТПРГ позволяют рассмотреть целый ряд очень важных практических задач, в том числе перейти к задачам о несущей способности консолидирующихся оснований [27]. В завершение настоящей главы рассмотрим одну частную задачу, имеющую очень большое значение для современных геотехнических расчетов и проектирования оснований и фундаментов.

3.1.2.Прочность континуально неоднородной сыпучей среды

снелинейным графиком сдвига

Как уже говорилось в первой главе, прочность грунтов исследуют в сдвиговых испытаниях. В результате таких испытаний получают опытную зависимость предельных касательных напряжений τn от нормальных σn по площадке скольжения:

График этой функции, напомним, называется графиком сдвига или графиком среза грунта. Ясно, что функция ƒ(σn) является огибающей предельных кругов Мора (рис. 3.1).

Наибольшее распространение получила простейшая аппроксимация экспериментальной зависимости (3.1) − прямая Кулона

196

ций в плоскости τnOσn даны на рис. 3.2, а, для следующих значений параметров: k = 0,1; H = 0,03; n = 2; λ = 1; a = 0,05; b = 0,01.

Экспериментально полученную нелинейную зависимость (3.1) можно обобщить в виде условия прочности (1.7), представляющего собой функцию главных напряжений. Предположим, что далее это условие прочности можно записать в виде:

где τ и σ − полуразность и полусумма главных напряжений:

Так, если условие прочности Кулона–Мора в главных напряжениях (1.15) переписать в виде (3.2), то получим

Условие прочности вида (3.2) оказалось весьма удобным как для теоретического анализа, так и для практических расчетов, и именно к этому виду условия прочности грунта мы будем в дальнейшем обращаться.

Приведем несколько условий прочности, записанных в виде (3.2) [40]:

− степенное

Графики указанных функций пластичности в плоскости τOσ даны на рис. 3.2, б для следующих значений параметров: k = 0,1; H = 0,03; n = 2; λ = 1.

198

3.1.3. Постановка плоской задачи статики континуально неоднородной сыпучей среды

Рассмотрим плоскую задачу ТПРГ с условием прочности (3.2). Для континуально неоднородной среды параметры прочности являются функциями координат. Тогда плоская задача предельного равновесия континуально неоднородной сыпучей среды с нелинейным графиком сдвига примет вид:

τ = τ(σ, x, z).

Преобразования системы (3.4) выполняются в целом аналогично тому, как это делалось в главе 1 для случая линейного закона Кулона, поэтому здесь будем следовать описанной ранее последовательности действий, по возможности избегая повторений.

Компоненты тензора предельных напряжений даются выражениями, известными из курса «Сопротивления материалов»:

где α − угол между направлением σ1 и осью Oz (см. рис. 1.19, б). Заметим, что, приняв закон прочности Кулона–Мора (3.3),

уравнения (3.5) можно без труда привести к виду (1.33), полученному ранее для этого случая.

Подставим выражения для компонент напряжений (3.5) в уравнения равновесия. Для этого предварительно выполним дифференцирование функции τ = τ(σ, x, z), определяющей прочность неоднородной среды в каждой точке, по координатам:

С учетом полученных выражений возьмем частные производные от функций напряжений (3.5):

200

Выполнив сходные операции дифференцирования по x и z остальных уравнений (3.5), по аналогии с (1.34) сможем записать:

В формулах (3.6) для краткости введены обозначения:

Подставим полученные после дифференцирования зависимости (3.6) в уравнения равновесия, а затем приведем подобные слагаемые:

Присовокупим к уравнениям (3.8) выражения для частных дифференциалов искомых функций:

Теперь умножим оба уравнения (3.8) на dx и подставим в них выражения для частных дифференциалов. Результат запишем в виде:

201

Решим систему (3.9) методом Крамера относительно производных искомых функций:

Как и в случае с линейным законом прочности, решение будем искать, приравнивая нулю числитель и знаменатель одновременно. Из равенства нулю знаменателя получим уравнения характеристик, а приравняв нулю любой из числителей (3.11), получим уравнения, связывающие искомые функции α и σ вдоль этих характеристик.

Итак, положив равным нулю знаменатель:

a11a22 − a21a12 = 0,

а также выполнив необходимые алгебраические преобразования с учетом (3.7) и (3.10), получим:

(dx)2 (−2τ)(τ′σ + cos 2α)+ 4τsin 2α dx dz +

+2τ(cos 2α − τ′σ )(dz)2 = 0,

или

Корни данного квадратного уравнения определят уравнения характеристик:

202