668
.pdf
На границе OA главные напряжения σ1 = pu направлены вертикально вниз, и параметр α = 0. Поскольку параметры σ и α в точке (dx = 0, dz = 0) связаны соотношением согласно (1.52) и (1.62):
σ = σ0em2tgϕ(α−α0 ) ,
то отсутствие изменения в пределах точки A величины σ влечет отсутствие изменения и величины α.
Так как на контуре AD, свободном от нагрузки, напряжение σ1 направлено по касательной к нему, а в точке A α = 0, то контур склона будет выходить из этой точки A вертикально вниз. Это положение хорошо согласуется с тем, что выше точки A расположен вертикальный откос высотой hпр. Таким образом, очертание грунтового массива получает плавный переход от вертикального откоса к равноустойчивому склону.
Совпадение направления σ1 и касательной к свободному контуру следует из равенства нулю на нем и нормальных и касательных напряжений. Отсутствие касательных напряжений означает, что площадки, направленные по контуру, а также перпендикулярные ему, являются главными в данной точке. При этом по определению σ1 > σ3, и, значит, нулю равно именно третье главное напряжение.
На рис. 2.42, а показано совпадение направления σ1 и касательной к поверхности склона в некоторой точке M свободной поверхности: α = βM. Угол β определяется дифференциальным уравнением равноустойчивого откоса:
tgβ = dx . dz
Заключительным шагом решения станет численное интегрирование канонической системы уравнений (1.52) ТПРГ в рамках III краевой задачи в приоткосной области ABD. Здесь главная особенность построения решения заключается в том, что очертание контура заранее неизвестно, оно определится лишь в результате самого решения. Определение точек, непосредственно находящихся на контуре, ведется по формулам (1.60) или (1.61), остальные точки в области ABD находим по общей системе конечно-разностных
153
уравнений (1.55). Подробнее техника численного интегрирования для границы с неизвестным контуром изложена в § 1.4.
Рассмотрим задачу нахождения очертания равноустойчивого откоса, если на бровке действует предельная нагрузка сверх веса вертикального откоса:
p |
> γh |
= |
|
2ccosϕ |
. |
(2.61) |
|
|
|||||
u |
ï ð |
|
1− sin ϕ |
|
||
Последовательность краевых задач для этого случая показана на рис. 2.42, б. От только что выполненного решения данную схему отличает наличие особой точки A, в которой происходит скачок параметра σ.
Действительно, на свободной поверхности склона AD величина σ определяется по формуле (2.60), а на границе OA с учетом (2.59) и (2.61):
|
|
2ccosϕ |
+ p + c ctg ϕ |
|
|
|
|
σ = |
1− sin ϕ |
> c ctg ϕ , |
|||||
u |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1+ sin ϕ |
1− sin ϕ |
||||
где pu − превышение нагрузкой pu, действующей на OA, величи-
ны γhпр.
Тогда в особой точке A, представляющей собой вырожденную характеристику 1-го семейства, согласно (1.62) имеем
|
|
|
σOA = σADe−2tgϕ(αOA−αAD ) . |
|
|
|
(2.62) |
|||||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
= |
pu + c ctgϕ |
, |
σ |
|
= |
c ctg ϕ |
, |
α |
|
= 0. |
OA |
1+ sin ϕ |
AD |
|
OA |
||||||||
|
|
|
|
1− sin ϕ |
|
|
|
|||||
Отсюда найдем угол αAD, который, кроме того, определит угол β выхода равноустойчивого контура из точки A.
Теперь в области радиального веера ABC решаем II краевую задачу, а в приоткосном участке ABD − III краевую задачу по описанной выше методике.
На рис. 2.43 приведены примеры расчета равноустойчивого склона при следующих исходных данных: ширина бровки склона b = 1 м, угол внутреннего трения ϕ = 30°, удельное сцепление c = 3 кПа, удельный вес грунта γ = 20 кН/м3.
154
155
a)
Рис. 2.43. Примеры сетки линий скольжения в склоне равноустойчивого контура (начало): а − при давлении на бровке pu = γhпр
156
б)
Рис. 2.43. Примеры сетки линий скольжения в склоне равноустойчивого контура (окончание): б − при давлении на бровке pu > γhпр
На рис. 2.43, а показан случай нагружения склона давлением от веса вертикального откоса предельной высоты, рассчитанным по формуле (2.58):
p |
= γh |
= 2 3 cos30° = 10,4êÏ à, |
u |
ï ð |
1− sin30° |
|
|
а на рис. 2.43, б случай действия нагрузки, превышающей давле-
ние γhпр:
pu = 70êÏ à > γhï ð = 10,4êÏ à .
Проанализируем, как зависит очертание равноустойчивого склона сначала от величины угла внутреннего трения, а затем – от величины нагрузки pu на бровке склона. Расчет будем выполнять в относительных переменных: c = 1 − единица напряжения, γ = 1 − единица массовой силы. Переход от относительных переменных x′, z′ и σ′ к фактическим осуществляется по формулам [26]:
x = |
c |
x', |
z = |
c |
z', σ = cσ'. |
|
|
||||
|
γ |
|
γ |
||
На рис. 2.44 показаны контуры равноустойчивых склонов для углов внутреннего трения ϕ = 0,5…45°. Для удобства на этом рисунке начало координат совмещено с крайней точкой бровки. Здесь же показаны предельные высоты вертикальных откосов.
Для вычисления контура равноустойчивого откоса можно воспользоваться приближенной формулой А.М. Сенкова [24]:
z = |
πc |
− |
1 |
|
+ x tg ϕ, m = |
γx |
tg |
2 |
µ. |
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
(2.63) |
|||||
γ |
e |
m |
2c |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Начало координат совпадает здесь с точкой O на рис. 2.44. Из приведенных результатов можно сделать некоторые вы-
воды. Во-первых, с глубиной контур равноустойчивого склона выходит на асимптоту, составляющую с горизонтом угол, равный углу внутреннего трения. Во-вторых, для идеально-связного грунта можно показать, что если предельная высота вертикального откоса составляла 2c/γ (см. (2.54)), то предельная высота равноустойчивого склона составит πc/γ. В-третьих, для идеальносыпучего грунта высота вертикального откоса равна нулю, а контур равноустойчивого склона представляет собой прямую, наклоненную под углом ϕ к горизонту.
157
Рис. 2.44. Равноустойчивый контур для разных углов внутреннего трения
Различные очертания склона в зависимости от нагрузки, действующей по его бровке, даны на рис. 2.45. Расчет для значений исходных параметров: b = 1 м, ϕ = 30°, c = 1 кПа, γ = 1 кН/м3, pи = = 0, 5, 15, 30, 50, 75 кПа при давлении от вертикального откоса предельной высоты, равном γhпр = 3,465 кПа. Сетки характеристик внутри областей предельного равновесия и очертания зоны радиального веера здесь не показаны.
158
Рис. 2.45. Равноустойчивый контур при разных нагрузках на бровке склона
159
2.3.4. Расчет устойчивости методами отсеков. Коэффициент устойчивости
Строгие классические решения ТПРГ, которые мы только что рассмотрели, обладают одним существенным недостатком − они накладывают значительные ограничения на задание исходных данных. С позиций строгого статического метода ТПРГ невозможно оценить устойчивость склона произвольного очертания сложного геологического строения при действии на него произвольного нагружения. Вместе с тем в практике проектирования оснований и строительства вопрос обычно ставится именно так. Оценивать устойчивость в этом случае приходится приближенными методами, наибольшее распространение из которых получили расчетные схемы «методов отсеков».
Эти решения не относятся к строгому статическому методу ТПРГ, однако их практическое значение столь высоко, а работ, посвященных этой проблеме, выполнено так много, что было бы неправильно не сказать о них хотя бы несколько слов.
Суть этих методов заключается в следующем. В заданном склоне, устойчивость которого требуется определить, проводят некоторую поверхность скольжения AB, выделяя тем самым область OAB обрушения грунта (рис. 2.46). Далее эту область условно разбивают на n отсеков и рассматривают систему сил, действующих на каждый i-й отсек. К основным силовым факторам можно отнести: собственный Gi вес i-го отсека, внешние распределенные pi и сосредоточенные нагрузки Pi, силу трения Ti, возникающую по подошве i-го отсека.
Проверяя равновесие всего массива в целом или только сравнивая сдвигающие и удерживающие силы, действующие по выбранной поверхности скольжения, делают вывод об общей устойчивости склона. При этом в процессе расчета, как правило, требуется определить наиболее опасную линию скольжения, форма и положение которой также заранее неизвестны. Поэтому приходится выполнять серию расчетов с разными поверхностями скольжения.
В рамках данной концепции приведем простейшую последовательность вычислений на примере склона, показанного на рис. 2.46.
160
Рис. 2.46. Расчетная схема методов отсеков (ИГЭ − инженерно-геологический элемент)
161
Допустим, мы задались некоторой линией скольжения AB, форму и положение которой в первом приближении можно назначить, например, исходя из характера напластования слоев или общих соображений о характере возможного обрушения склона. Далее вертикальными линиями образовали в теле оползня n отсеков. Рассмотрим систему сил, действующих на произвольный i-й отсек (рис. 2.47, а).
а) |
i |
|
|
|
Fi |
|
|
|
|
|
|
Pi |
||
|
|
|
||
|
|
Gi |
αi |
Fi + 1 |
|
Q |
i |
N |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
Ti |
|
Ni' |
|
αi |
|
|
|
|
||
|
li |
|
|
|
б) |
i |
|
|
|
Xi |
|
|
|
|
|
|
Pi |
||
|
|
|
||
|
|
Gi |
|
Xi + 1 |
|
|
αi |
|
|
|
Q |
i |
N |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
Ti |
|
Ni' |
|
αi |
|
|
|
|
||
|
li |
|
|
|
Рис. 2.47. Система сил, действующих на i-й отсек: а − в простейшем методе; б − в методе Бишопа
Здесь сделаем два основных допущения, без которых расчет существенно усложняется. Будем считать, что силы взаимодействия соседних отсеков уравновешивают друг друга, поэтому не станем их рассматривать, а все остальные силы, действующие на отсек, приложены к центру его подошвы.
Назовем силы, действующие на i-й отсек, − это собственный отсека вес Gi и реакция неподвижной части основания, которую разделим на две − силу трения Ti, действующую в плоскости подошвы отсека, и перпендикулярную ей Ni′. Все силы приложены к центру подошвы.
Определим собственный вес отсека:
Gi = Vi γi ,
где Vi − объем отсека, для условий плоской задачи численно равный площади его сечения плоскостью xOz: Vi = Ai ×1; γi − средневзвешенный удельный вес грунтов, попадающих в i-й отсек.
162