668

Из приведенных графиков видно, что, во-первых, при сближении штампов предельная нагрузка существенно возрастает, вовторых, эффект взаимного влияния сказывается тем сильнее, чем выше угол внутреннего трения.

Отметим одну особенность построения решений задач о взаимном влиянии, общую для всех подобных решений, − это отсутствие предельного перехода при неограниченном сближении штампов. Как видно из рис. 2.26, при относительном расстоянии между штампами η, меньшем чем 0,1…0,2, решения получить уже не удается.

2.2.3. Предельное давление двух одинаковых штампов на основание

Перейдем к следующей задаче о взаимном влиянии, имеющей к тому же большое практическое значение. Граничные условия к этой задаче показаны на рис. 2.27.

z

Рис. 2.27. Граничные условия к задаче о двух штампах

Из граничных условий ясно, что участки границы основания под штампами будут перемещаться вниз, а участки границы вблизи штампов, но не занятые штампами, станут испытывать поднятие. Схема имеет ось симметрии, поэтому строить решение будем для правой половины расчетной схемы.

Последовательность краевых задач представлена на рис. 2.28. Слева от штампа компоновка краевых задач совпадает с решением задачи о бесконечном ряде штампов, а справа − с обычным решением задачи о предельном давлении одиночного шероховатого штампа. Таким образом, области предельного равновесия будут строиться справа и слева от штампа навстречу друг другу, и основная проблема будет состоять в их сопряжении в некоторой точке C [16].

123

124

Рис. 2.28. Последовательность кривых задач в задаче о предельном давлении двух одинаковых штампов на основание

Рассмотрим ход решения. В зонах ABD и A′B′D′ максимального напряженного состояния согласно (2.6) и по аналогии с (2.9) имеем:

В равенствах (2.42) знак «+» отвечает зоне ABD, а знак «−» – зоне A′B′D′.

Методику сопряжения областей предельного равновесия разберем с помощью схемы, изображенной на рис. 2.29. Поскольку это, по существу, вспомогательная схема, то здесь присутствуют построения, отсекаемые на последнем этапе решения. Буквы, обозначающие те участки областей предельного равновесия, которые будут на последнем этапе отброшены или скорректированы, помечены знаком «*».

Рис. 2.29. Сопряжение областей предельного равновесия в задаче о двух штампах

Вначале, уже имея из (2.42) характеристику AB*, развернем зону радиального веера AB*N* полностью, т.е. так, чтобы крайняя характеристика 2-го семейства выходила из особой точки A по касательной к поверхности основания. Это означает, что граничные условия в особой точке согласно (1.64) и (2.42) имеют вид:

Сделаем замечание о процедуре поиска точки сопряжения − точки C. Допустим, ось симметрии слева отсутствует, тогда решение переходит в рассмотренное выше решение задачи об одиночном штампе. При этом в искомой точке C параметр α равнялся бы нулю, а параметр σ при интегрировании справа и слева совпадал. Наличие слева оси симметрии вносит возмущение в область E*F*H*P*, которое, в частности, заключается в более быстром, чем в пределах AB*N*, нарастании значений σ с глубиной. Поэтому, учитывая поведение параметра σ в пределах зон веера (см., например, рис. 2.18), точка сопряжения C, сдвигается влево, где значения среднего напряжения несколько увеличиваются в пределах AB*N* и несколько уменьшаются в пределах E*F*H*P*. При этом в точке C значение параметра α будет уменьшаться (см. рис. 2.28): α < 0.

Искомая точка C, находясь на пересечении характеристик AC и BC области AB*N* и характеристик A′C и CE′ области E*F*H*P*, замыкает решение, образуя непрерывное поле предельных статически безопасных напряжений. Окончательно области предельного равновесия ограничены снизу линиями скольжения BC и CE′, а характеристики AC и A′C формируют зону A′AC решением II краевой задачи (см. рис. 2.28).

Следует иметь в виду, что при решении II краевой задачи в зоне A′AC под штампом сетка характеристик будет распространяться в отрицательную область подобно тому, как показано на рис. 2.16. Нужно отсечь отрицательную часть этой области сечением z = 0. Попавшие в это сечение параметры α и σ с помощью формул (1.33) определят эпюры нормальных и касательных напряжений по подошве штампа.

На рис. 2.30 дана правая половина симметричной сетки линий скольжения в основании двух штампов при следующих исходных данных: полная ширина штампа b = 1 м, расстояние между штампами в свету a = 1,4 м, угол внутреннего трения ϕ = 30°, удельное сцепление c = 1 кПа, удельный вес грунта γ = 20 кН/м3, пригрузка q = 3 кПа. Равнодействующая предельного давления на штамп шириной 1 м составила 295 кН.

127

128

Рис. 2.30. Сетка линий скольжения в основании двух штампов

На рис. 2.30 также приведен качественный вид искомых эпюр нормальных и касательных напряжений по подошве шероховатого штампа. Начиная с этого рисунка и далее на эпюрах касательных напряжений положительные значения будут отсчитываться вверх, а не вниз, как это было на рис. 2.17, рис. 2.20 и рис. 2.25, где изображены отрицательные значения τu(x) по подошве штампов.

С практической точки зрения в этой задаче, прежде всего, представляет интерес зависимость несущей способности основания от расстояния между двумя штампами.

Анализ будем выполнять в тех же относительных переменных, что и раньше: b и γ − ширина фундамента и удельный вес грунта. Расстояние между штампами будет характеризоваться величиной η, определяемой по формуле (2.40). Степень влияния близости штампов на равнодействующую вертикального предельного давления по подошве, как и в предыдущей задаче, станем оценивать коэффициентом влияния k, определяемым из выражения (2.41).

На рис. 2.31, а…г, показаны графики зависимостей k(η) для различных углов внутреннего трения и трех значений относительной пригрузки q′ (см. (2.28)).

Из приведенных графиков видно, что если для бесконечного количества штампов величина пригрузки практически не имела влияния на скорость изменения предельной нагрузки при сближении штампов, то в задаче о двух штампах роль этой величины заметно выросла: при малых пригрузках эффект взаимовлияния становится заметнее, а с ростом пригрузки он, наоборот, уменьшается.

Так же, как и в задаче о бесконечном количестве штампов, наиболее существенным эффект взаимного влияния штампов будет при высоких значениях угла внутреннего трения и малых расстояниях между штампами.

2.2.4. Выводы по задаче о двух штампах

Выводы, которые следуют из решения задачи о двух штампах, имеют большое практическое значение, поэтому разберем их в отдельном пункте. Наиболее важный для практического применения результат покажем на следующем примере.

129

130

131