Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

668

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.12.2022

Размер:

3.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 268 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

а)				O (A)		ЛС-2
				O (A)		ЛС-2
									x
Cn									B
									B
									ЛС-1
	Ci			α				σ1
б)			C2 z			C1		σ1
		O				C1		A	σ1

Cn
Cn		n		Особая точка						x
		i							+α
σ1	−α				1				+α
						σ
				2						B
				2			1			B
				σ1			1		ЛС-2
Ci		σ1
Ci	−α	σ1				+α
	−α		C2	+α		C1
		Рис. 1.24. Область радиального веера:
а − последовательность решения, б − особая точка

Проинтегрируем это уравнение:

dσ

σ= −2 tgϕ dα , ln σ − ln σ0 = −2 tgϕ(α − α0 ),

ln σ0 = −2 tgϕ(α − α0 ),

или

σ = σ0e−2tgϕ(α−α0 ) ,

(1.62)

где α0 и σ0 − постоянные, определяемые граничными условиями. Таким образом, в особой точке происходит скачкообразное изменение функций α и σ. Если бесконечно приближаться к особой точке справа, то предельно напряженное состояние будет описываться параметрами α0 и σ0; если бесконечно приближаться к особой точке слева, – то некоторыми значениями параметров α и σ, связанных между собой полученным уравнением. Конкретные значения этих величин определяются граничными условиями слева и справа от особой точки. Особые точки в основном бывают приурочены к резким изменениям контура границы или скач-

кообразным изменениям внешней нагрузки на основание.

В численном решении наметим в особой точке «выходы» n характеристик 2-го семейства, каждая из которых будет определяться парой значений αi и σi. Разберем сказанное на примере рис. 1.24, б. Пусть крайняя справа характеристика, выходящая из особой точки, имеет в этой точке параметры α0 = π/2 и σ0. Крайняя слева характеристика будет иметь параметры:

α = −π / 2 + µ, σ = σ	e2(π−µ)tgϕ .	(1.63)
0

Принятое выражение (1.63) для α означает, что крайняя левая характеристика выходит по касательной к оси Ox, т.е. к поверхности основания.

Тогда для выходящей из особой точки i-й линии скольжения 2-го семейства можно записать:

= α

+ (α − α

)

= σ

e−2tgϕ(αi −α0 ) ,

(1.64)

где α (без индексов) определяется согласно (1.63).

Теперь каждый узел, который принадлежит ближайшей к особой точке характеристике 1-го семейства, будет определен последовательными вычислениями по формулам (1.55) по двум точкам. В качестве точки 2 всегда будет особая точка со значениями x = 0 и z = 0 и параметрами αi и σi, рассчитываемыми по формуле (1.64), в качестве точки 1 − полученная на предыдущем шаге решения точка, принадлежащая этой же линии скольжения (см. рис. 1.24, а).

1.4.6. Примеры численного интегрирования

Приведем численные примеры построения фрагментов полей предельных напряжений по сеткам линий скольжения в рамках I, II и III краевых задач. Характеристики грунта, взятые для нижеследующих расчетов, составят: угол внутреннего трения ϕ = 30°, удельное сцепление c = 1 кПа, удельный вес грунта γ = 20 кН/м3.

Первая краевая задача (задача Коши).

Д а н о: граница AD основания, в каждой точке которой известны все параметры канонической системы уравнений (1.52):

x [0,5; 1,86], z = 0,

α = π / 2, σ = 9,464.

Т р е б у е т с я решением I краевой задачи с границы AD построить поле предельных напряжений по соответствующей сетке линий скольжения.

Р е ш е н и е. На заданной границе AD через одинаковые интервалы выделим пять точек для численного интегрирования канонической системы, как показано на рис. 1.25. Следуя порядку численного решения, показанному на рис. 1.23, а, построим сетку линий скольжения. Вычисления значений x, z, α, σ в каждом узле ведутся по формулам (1.55).

Рассчитанная конечно-разностная сетка линий скольжения ABD изображена на рис. 1.25. Здесь же дана нумерация узлов сетки: узлы находятся на пересечении характеристик разных семейств, и первый номер в обозначении узла указывает на порядковый номер линии скольжения 1-го семейства, второй указывает на порядковый номер линии скольжения 2-го семейства. Значения параметров x, z, α, σ в каждом узле сетки согласно принятой нумерации сведены в табл. 1.2 (значения угла α даны в градусах).

						Таблица 1.2
	Параметры канонической системы уравнений
	в узлах сетки характеристик (I краевая задача)

ЛС-1				ЛС-2
ЛС-1
		0	1	2	3	4

	x	0,5
0	z	0
0	α	90
	α	90
	σ	9,46
	x	0,67	0,84
1	z	0,10	0
1	α	90	90
	α	90	90
	σ	13,39	9,46
	x	0,84	1,01	1,18
2	z	0,20	0,10	0
2	α	90	90	90
	α	90	90	90
	σ	17,31	13,39	9,46
	x	1,01	1,18	1,35	1,52
3	z	0,29	0,20	0,10	0
3	α	90	90	90	90
	α	90	90	90	90
	σ	21,24	17,31	13,39	9,46
	x	1,18	1,35	1,52	1,69	1,86
4	z	0,39	0,29	0,20	0,10	0
4	α	90	90	90	90	90
	α	90	90	90	90	90
	σ	25,17	21,24	17,31	13,39	9,46
						75

Рис. 1.25. Нумерация узлов сетки характеристик в примере решения I краевой задачи

Вторая краевая задача (задача Гурса).

Д а н о: характеристика AB, в точках которой известны все параметры канонической системы уравнений из предыдущего решения (см. рис. 1.25 и табл. 1.2), и особая точка A с координатами x = 0,5; z = 0. Расположение характеристики AB и особой точки A показано на рис. 1.26.

Как говорилось выше, в особой точке происходит скачкообразное изменение параметров α и σ, связанных при этом уравнением (1.62). Пусть в точке A справа эти параметры определяются характеристикой AB и равны:

α0 = π / 2, σ0 = 9,464.

Слева в точке A положим α = 0. Тогда, наметив в особой точке «выход» пяти линий скольжения 2-го семейства (см. схему на рис. 1.24, б), рассчитаем параметры αi и σi для каждой из них по формулам (1.64):

i = 1: αi = 72°,		σi = 13,6;
i = 2: αi = 54°,		σi = 19,6;
i = 3: αi = 36°,		σi = 28,1;
i = 4:	αi = 18°,	σi = 40,4;
i = 5:	αi = 0°,	σi = 58,1.

Т р е б у е т с я решением II краевой задачи на заданной характеристике AB и приведенных выше условиях особой точке A построить поле предельных напряжений по соответствующей сетке линий скольжения.

Р е ш е н и е. В этом примере вычисления ведутся по схеме, указанной на рис. 1.24, а, по формулам (1.55). Конечноразностная сетка линий скольжения ABC изображена на рис. 1.26. Нумерация узлов сетки дана по принципу, описанному в предыдущем примере.

Значения параметров x, z, α, σ в каждом узле сетки сведены в табл. 1.3.

Рис. 1.26. Нумерация узлов сетки характеристик в примере решения II краевой задачи (область радиального веера)

						Таблица 1.3
	Параметры канонической системы уравнений
	в узлах сетки характеристик (II краевая задача)

ЛС-1				ЛС-2
ЛС-1
		0	1	2	3	4	5

	x	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5
0	z	0	0	0	0	0	0
0	α	90	72	54	36	18	0
	α	90	72	54	36	18	0
	σ	9,46	13,63	19,64	28,29	40,75	58,70
	x	0,67	0,62	0,57	0,52	0,49	0,46
1	z	0,10	0,12	0,13	0,12	0,11	0,09
1	α	90	76,43	61,42	45,30	28,38	10,94
	α	90	76,43	61,42	45,30	28,38	10,94
	σ	13,39	18,85	26,43	37,14	52,48	74,62
	x	0,84	0,75	0,65	0,57	0,49	0,43
2	z	0,20	0,24	0,26	0,26	0,23	0,19
2	α	90	78,97	65,91	51,20	35,23	18,37
	α	90	78,97	65,91	51,20	35,23	18,37
	σ	17,31	23,80	32,71	45,21	63,01	88,64
	x	1,01	0,88	0,75	0,63	0,51	0,41
3	z	0,29	0,35	0,39	0,39	0,37	0,32
3	α	90	80,66	69,00	55,40	40,24	23,91
	α	90	80,66	69,00	55,40	40,24	23,91
	σ	21,24	28,58	38,67	52,76	72,75	101,46
	x	1,18	1,03	0,86	0,70	0,54	0,40
4	z	0,39	0,47	0,52	0,53	0,51	0,45
4	α	90	81,86	71,28	58,58	44,12	28,27
	α	90	81,86	71,28	58,58	44,12	28,27
	σ	25,17	33,24	44,39	59,92	81,90	113,41

Отметим небольшое расхождение значений σ, рассчитанных по формуле (1.64), и значений, представленных в табл. 1.3 для 0-характеристики 1-го семейства. Это вызвано тем, что данные табл. 1.3 рассчитывались полностью численно без применения замкнутых решений. При сгущении конечноразностной сетки численные результаты будут стремиться к значениям, получаемым по формуле (1.64).

Третья краевая задача (смешанная задача).

Д а н о: характеристика AC, в точках которой известны все параметры канонической системы уравнений (см. рис. 1.26 и табл. 1.3) и горизонтальная граница основания OA, на которой заданы условия:

z = 0, α = 0 .

На рис. 1.27 изображены характеристика AC и граница OA.

Рис. 1.27. Нумерация узлов сетки характеристик

впримере решения III краевой задачи

Тр е б у е т с я решением III краевой задачи на заданной характеристике AC и приведенных выше условиях на границе OA построить поле предельных напряжений по соответствующей сетке линий скольжения.

Р е ш е н и е. Последовательность вычислений для этого случая показана на рис. 1.23, в. Здесь при определении точек, непосредственно принадлежащих границе OA, вычисления ведутся по формулам (1.57) с учетом указанных выше условий на границе, для остальных точек по формулам (1.55).

Сетка линий скольжения OAC показана на рис. 1.27. Нумерация узлов также указывает на номера характеристик 1-го и 2-го

семейства. Значения параметров x, z, α, σ в каждом узле сетки представлены в табл. 1.4.

						Таблица 1.4
	Параметры канонической системы уравнений
	в узлах сетки характеристик (III краевая задача)

ЛС-1				ЛС-2

		0	1	2	3		4
		0	1	2	3		4

	x	0,5
0	z	0
0	α	0
	α	0
	σ	58,70
	x	0,46	0,40
1	z	0,09	0
1	α	10,94	0
	α	10,94	0
	σ	74,62	91,95
	x	0,43	0,35	0,28
2	z	0,19	0,11	0
2	α	18,37	7,70	0
	α	18,37	7,70	0
	σ	88,64	109,05	126,00
	x	0,41	0,31	0,22	0,14
3	z	0,32	0,22	0,12	0
3	α	23,91	13,49	5,95	0
	α	23,91	13,49	5,95	0
	σ	101,46	124,54	143,81	160,59
	x	0,40	0,27	0,17	0,08		−0,002
4	z	0,45	0,35	0,24	0,12		0
4	α	28,27	18,08	10,68	4,84		0
	α	28,27	18,08	10,68	4,84		0
	σ	113,41	138,88	160,22	178,87		195,56

1.4.7. Граничные условия

Перед тем как приступать к конкретным задачам ТПРГ, скажем еще несколько слов об определении граничных условий. Очертание границы основания дает значения x и z. Что касается параметров α и σ, то их определение рассмотрим на примере, показанном на рис. 1.28.

Пусть на границе OA задано внешнее давление интенсивностью fn, приложенное строго вертикально.

fn x

O A

Рис. 1.28. К определению граничных условий

Геометрия границы однозначно определяет координаты z = 0 и x OA. Вследствие отсутствия касательных напряжений площадки, параллельные координатным осям, на отрезке OA являются главными. Отсюда заключаем, что либо σ1 = ƒn, либо σ3 = ƒn. В первом случае α = 0, во втором α = π/2.

Определение неизвестного главного напряжения (σ3, если σ1 = ƒn, или σ1, если σ3 = ƒn) выполняется из условия касания круга Мора прямой Кулона (см. рис. 1.14), другими словами − из закона Кулона–Мора (1.15), после чего, например, по формуле (1.30) вычисляется среднее приведенное напряжение.

Пример. Величина внешнего давления на границе основания OA равна 3 кПа (см. рис. 1.28). Прочностные характеристики грунта: угол внутреннего трения ϕ = 30°, удельное сцепление c = 1 кПа. Определить граничные условия на границе OA. Начнем с определения координат точек границы, которые фактически уже заданы: x OA, z = 0. Параметры α и σ могут быть определены двояко.

1 - й вариант. σ1 = ƒn, α = 0. Тогда выразим из (1.15) третье главное напряжение:

σ		= f		1	− sin ϕ	− 2c	cosϕ	,
	3		n 1		+ sin ϕ		1+ sin ϕ

и определим среднее приведенное напряжение, которое по определению (1.30) равно:

σ =	σ1 + σ3	+ c ctgϕ =	fn + c ctgϕ	.
	2
			1+ sin ϕ

2 - й вариант. σ3 = ƒn, α = π/2. Выразим из (1.15) первое главное напряжение:

σ = f	1	+ sin ϕ	+ 2c	cosϕ	,

	n 1	− sin ϕ		1− sin ϕ
1

и рассчитаем среднее приведенное напряжение:

σ =	σ1 + σ3	+ c ctgϕ =	fn + c ctgϕ	.
	2
			1− sin ϕ

В первом случае приведенное среднее напряжение равно 3,155 кПа, во втором – 9,464 кПа.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 268 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.12.20223.65 Mб1660.pdf
#
06.12.20223.76 Mб7663.pdf
#
06.12.20223.77 Mб1664.pdf
#
06.12.20223.79 Mб2665.pdf
#
06.12.20223.91 Mб10667.pdf
#
06.12.20223.91 Mб6668.pdf
#
06.12.20223.97 Mб8669.pdf
#
06.12.20223.98 Mб21670.pdf
#
06.12.20224.01 Mб1671.pdf
#
06.12.20224.03 Mб2672.pdf
#
06.12.20224.04 Mб4673.pdf