668

Выбор одного из двух возможных вариантов граничных условий − σ1 = ƒn, α = 0 или σ3 = ƒn, α = π/2 − осуществляется из дополнительных соображений, изложение которых будет продолжено в следующей главе.

Глава 2.

СТАТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ ТПРГ

§2.1. Несущая способность основания штампа

Винженерных расчетах предельной стадии работы грунтовых массивов исторически сформировались три больших класса задач: задачи о несущей способности оснований фундаментов, задачи устойчивости откосов и склонов, задачи о предельном давлении грунта на подпорные сооружения. Здесь рассматриваются все перечисленные проблемы с позиций строгого статического метода ТПРГ, и, если это необходимо, даются основные положения приближенных методов расчета, наиболее востребованных в практике проектирования.

Построение решений для конкретных практических схем

начнем с рассмотрения одной из центральных задач в ТПРГ − задачи о внедрении штампа в жесткопластическую среду − задачи Прандтля. В замкнутом виде на сегодняшний день это решение дано для двух частных случаев: невесомой сыпучей среды и иде- ально-связного весомого основания. Сделав несколько предварительных замечаний, дадим оба этих решения, а затем перейдем к построению численного решения для общего случая весомого сыпучего основания.

2.1.1. Минимальное и максимальное напряженное состояние

Рассмотрим предельное равновесие грунтового основания, ограниченного осью Ox, на поверхности которого действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью fn (рис. 2.1). Грунт характеризуется прочностными параметрами ϕ и c, а также удельным весом γ. Запишем граничные условия для этой схемы:

предельные напряжения −

σx = (γz + p + c ctg ϕ)11+− sinsin ϕϕ − c ctgϕ,

τxz = 0.

85

резком OA, на котором действует внешняя нагрузка, и линиями скольжения, выходящими из крайних точек отрезка O и A. В случае минимального напряженного состояния эти линии составляют с горизонталью угол π/2 − µ (см. рис. 2.3, а), а в случае максимального напряженного состояния µ (см. рис. 2.3, б).

Такие области можно рассматривать как результат решения I краевой задачи (см. § 1.4), построенной при известных параметрах x, z, σ и α на OA.

2.1.2. Задача Прандтля. Предельное давление на невесомое основание

Расчетная схема к задаче Прандтля показана на рис. 2.4. На участке AA′ шириной b действует искомая предельная нагрузка pu, на остальной части поверхности − равномерная пригрузка q.

z

Рис. 2.4. Граничные условия к задаче Прандтля

С точки зрения моделирования работы реальных оснований пригрузка представляет собой вертикальное давление от веса грунта, расположенного выше подошвы фундамента, поскольку каждый фундамент обычно имеет некоторую глубину заложения. В расчетах за горизонтальную границу основания принимается, как правило, уровень подошвы фундамента − его нижней плоскости, − а вышерасположенный грунт моделируется как пригрузка, равная q = γ d, где d − глубина заложения фундамента.

Сделаем предположение относительно характера искомой нагрузки pu, которую примем равномерной. В результате решения будет показано, что такое допущение оправдано.

87

На этом этапе имеем три области предельного напряженного состояния, симметричные относительно оси Oz (см. рис. 2.5). Необходимо достроить поле предельных напряжений в частях ABC и A′B′C основания и объединить с ними воедино уже построенные области. Замыкать решение в этом смысле будут области радиального веера. Вначале определим их геометрию − получим уравнения линий скольжения, а затем построим непрерывное поле предельных напряжений.

Схема, показанная на рис. 2.5, позволяет предположить, что в переходных областях ABC и A′B′C одно семейство линий скольжения будет представлено пучком прямых, выходящих из точек A и A′. Характеристики другого семейства, соответственно, будут составлять с ними угол 2µ.

Поскольку расчетная схема симметрична (см. рис. 2.5), достаточно построить решение только для правой ее части. Рассмотрим область переходного веера ABC в невесомом основании (рис. 2.6, а). Согласно сказанному ранее из особой точки A выходит пучок прямых − характеристики 2-го семейства. Характеристики 1-го семейства образуют с ними угол 2µ и, следовательно, представляют собой логарифмические спирали с центром в особой точке A, поскольку именно логарифмическая спираль пересекает свои радиусы-векторы под постоянным углом. Ее частным случаем является окружность, когда этот угол равен π/2. Уравнения этих кривых можно получить следующим образом.

На рис. 2.6, б изображены элементарные отрезки линий скольжения 1-го и 2-го семейств. Для удобства будем использовать локальную полярную систему координат z′Ax. В этой системе положение точки задается радиус-вектором r и углом θ (см. рис. 2.6, б). Элементарная дуга спирали ограничена двумя точками − (r, θ) и (r + dr, θ + dθ). Учитывая, что в каждой точке линии скольжения 2-го семейства направлены по радиус-вектору, элементарная дуга составит с ним угол 2µ, и, соответственно, с отрезком rdθ, перпендикулярным радиусу, угол π/2 − 2µ = ϕ. Тогда дифференциальное уравнение характеристики запишется в виде:

dr = tgϕ. rdθ

89

Полученная область радиального веера может быть рассмотрена как результат решения II краевой задачи с особой точкой (см. § 1.4).

Таким образом, сетка линий скольжения в задаче Прандтля полностью определена (рис. 2.7).

hu

Рис. 2.7. Сетка линий скольжения в задаче Прандтля (невесомое основание)

Прежде чем переходить к определению предельного давления, отметим еще две важные величины, характеризующие габаритные размеры сетки линий скольжения в целом − это ширина призмы выпирания lu и глубина развития зон пластических деформаций hu (см. рис. 2.7). Ширина призмы выпирания очевидно равна:

Глубина развития зон достигает максимума в точке, где касательная к логарифмической спирали параллельна оси Ox или, что то же самое, параллельна оси Ox будет характеристика 1-го семейства, т.е. в данной точке выполняется условие (см. рис. 2.6 или рис. 2.7):

θ + 2µ = π2 .

Соответственно радиус-вектор с учетом (2.11) в этой точке равен:

r = 12 sinbµ e(π/2−2µ+µ)tgϕ ,

91