книги / Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек

Как видно из рисунка, в средней части оболочки зависимости ш3(х) Для граничных условий всех трех типов практически совпа­ дают, тогда как в весьма протяженных зонах, прилегающих к тор­ цам, характер выпучивания оболочки существенно меняется при

замене (5.58) на (5.59) или (5.60). Можно предположить поэтому, что при таких зависимостях wn°(x), которые приводят к интен­ сивному неосесимметричному выпучиванию именно в окрестнос­ тях торцов оболочки, условия их закрепления существенно влияют на максимальные значения не только осесимметричной (см. 5.1), но и неосесимметричной составляющих прогиба. Очевидно также, что в этой ситуации будет отчетливо проявляться нелинейный эф­ фект взаимодействия осесимметричной и неосесимметричной форм выпучивания.

Для иллюстрации сказанного рассмотрим приведенные на рис. 5.14 результаты расчетов при параболической зависимости началь­ ного прогиба от осевой координаты

При условиях (5.60) интенсивное неосесимметричное выпучива­ ние происходит в зонах, прилегающих к торцам оболочки (отме­ тим, что осесимметричный краевой эффект при таких граничных

условиях отсутствует). При граничных условиях (5.58), для кото­ рых имеет место выраженный осесимметричный краевой эффект, неосесимметричная составляющая прогиба в тот же момент вре­ мени мала вдоль всей поверхности оболочки.

Таким образом, при начальных несовершенствах (5.61) проис­ ходит «подавление» неосесимметричной формы динамического вы­ пучивания. Объяснить этот эффект можно на основе следующих соображений. Как уже отмечалось, информация об осесимметрич­ ном нагружении торцов оболочки передается к неосесимметричным формам только посредством группы из трех нелинейных членов, содержащихся во втором уравнении (5.42):

причем первый из них играет основную роль в инициировании про­ цесса неосесимметричного выпучивания. Как показал анализ за­ висимостей Nx°(x), сжимающее продольное усилие в зонах образо­ вания кольцевых складок значительно ниже, чем в средней части оболочки, где это усилие близко к величине, задаваемой на тор­ цах. Следовательно, в результате осесимметричного выпучивания краевые зоны разгружаются от сжимающих продольных усилий. Естественно, что в такой ситуации процесс интенсивного развития неосесимметричных начальных несовершенств при прочих равных условиях начнется в краевых зонах позже, чем в средней части

оболочки.

Процесс неосесимметричного выпучивания, если он протекает у торцов, оказывает также определенное обратное влияние на раз­ витие осесимметричного краевого эффекта, осуществляемое через

группу нелинейных членов

входящих в первое уравнение (5.42).

Заканчивая обсуждение эффекта взаимодействия осесиммет­ ричной и неосесимметричной форм выпучивания, отметим, что он

проявляется тем сильнее, чем больше ш0 и до«. Количественное влияние w0 на wn (н наоборот) определяется соотношением этих величин. Так, «подавление» неосесимметричной составляющей прогиба происходит в тех случаях, когда w0 значительно превы­

шает Wn-

Изложенный в данном параграфе метод решения задачи дина­ мического выпучивания несовершенной цилиндрической оболочки базируется на двучленной аппроксимации прогиба по окружной координате (5.33). С принципиальной точки зрения не вызывает затруднений обобщение его на случай учета в аппроксимации про­ гиба произвольного числа окружных гармоник ряда Фурье, ана­ логичного (5.31). В силу нелинейности задачи осесимметричная

составляющая прогиба и все коэффициенты Фурье при учтенных

гармониках оказываются взаимосвязанными в единой системе не­ линейных уравнений в частных производных. Численное решение такой системы наталкивается на серьезные технические трудности даже при учете небольшого числа окружных гармоник. Кроме того, реализация этого решения на ЭВМ требует огромных затрат машинного времени. Вследствие сказанного эффект взаимосвязан­ ности окружных гармоник в задачах нелинейного динамического выпучивания цилиндрической оболочки далее будет исследован на основе упрощенной постановки задачи.

5.4. РАСЧЕТ НЕОСЕСИММЕТРИЧНОГО ДИНАМИЧЕСКОГО ВЫПУЧИВАНИЯ МЕТОДОМ БУБНОВА—ГАЛЕРКИНА

Разработанный в 5.3 метод решения основывался на двучлен­ ной аппроксимации прогиба по окружной координате: учитыва­ лась осесимметричная составляющая и одна гармоника ряда Фурье, соответствующая некоторому фиксированному номеру п. Построим далее решение, в котором прогиб аппроксимируется конечной сум­ мой ряда Фурье, содержащей произвольное число окружных гар­

моник.

Воспользуемся упрощенной по сравнению с 5.3 постановкой за­ дачи: пренебрежем продольной инерцией оболочки. Уравнение (5.38) тогда примет вид

Из (5.62) следует, что Nx° не зависит от координаты х, а с учетом заданных на торцах граничных условий (5.43) получаем равенство Nx°=—P(t). Введенное упрощение означает, что реальный процесс

распространения возмущений от ударяемых торцов вдоль оболочки не рассматривается, а принимается мгновенно установившееся, од­ нородное по х осесимметричное напряженное состояние. Как было показано в 5.1, для линейно нарастающей во времени нагрузки (см. рис. 5.1) такое допущение можно использовать уже после 3—4 пробегов продольной волны сжатия по оболочке.

В указанном приближении уравнения движения сжатой вдоль оси оболочки совпадают с (4.43), (4.44), если в (4.43) заменить вибрационную нагрузку Po+Pt cos0/ на импульсную P{t). Урав­ нения движения могут быть получены также из (2.51), (2.52), если

Последний член в (5.63) присутствует, если на оболочку действует равномерно распределенное по боковой поверхности внешнее дав­ ление q(t). Таким образом, уравнения движения записываются в виде

Хотя постановка двух родственных задач —о нелинейных па­ раметрических колебаниях и о нелинейном динамическом выпучи­ вании — различается только видом коэффициента P(t) в (5.64), для их решения требуются существенно разные подходы. Принцип выбора многочленных аппроксимаций прогиба, изложенный в 4.3, очевидно, неприменим для задач об импульсном нагружении.

Вопрос об аппроксимациях прогиба в решении нелинейных за­ дач иеосесимметричного динамического выпучивания цилиндричес­ кой оболочки детально исследован нами в работе [57]. В частности, рассматривалась двучленная аппроксимация (4.51), позволившая изучить особенности нелинейного взаимодействия различных осе­ вых и окружных гармоник. На основе численных расчетов был сде­ лан вывод, что в области, где существенна роль нелинейных членов, учет взаимодействия окружных гармоник приводит к качествен­ ному изменению зависимостей прогиба от времени. Определенный количественный эффект установлен при исследовании взаимодей­ ствия группы осевых гармоник, характеризующихся наибольшим темпом роста. Однако в сравнении с эффектом взаимодействия ок­ ружных гармоник он оказался незначительным. На основе этих результатов в [57] было предложено решать задачу неосесиммет­ ричного динамического выпучивания цилиндрической оболочки, нагруженной продольным сжатием, исходя из следующей много­

членной аппроксимации прогиба:

В аналогичном виде принимается начальный прогиб

Последующая подстановка (5.66), (5.67) в (5.64) и применение процедуры ортогонализации приводит к системе {N—п0+1) пели-

(5.68) —функция Фте(*, у, t). Прогиб w{x, у, t) и функцию уси­ лий Ф(л*, //, /) можно далее вычислить, просуммировав по т ряды:

Пределы суммирования m0, M, n0, Wв (5.73) при решении каждой конкретной задачи определяются исходя из заданной точности расчета характеристик напряженно-деформированного состояния.

В дальнейшем будет проводиться сравнение численных резуль­ татов, полученных из решения с многочленной аппроксимацией

прогиба (5.66) и решения, основанного на одночленной аппрокси­ мации

Использование (5.74) означает, что в решении пренебрегается не­ линейными членами, возникающими вследствие взаимосвязанности как осевых, так и окружных гармоник. Для каждой из функций Wmn{t) из решения системы (5.64), (5.65) в этом случае получаем нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение

в котором dmn определяется согласно (4.71).

Задача Коши (5.75), (5.72) также интегрируется численно ме­

тодом Рунге—Кутта. Прогиб оболочки и функция усилий опреде­ ляются путем суммирования рядов Фурье:

МN

где

Ф»»(1|= Cmn0)(W,lmWmn°)■ Ф =C,„„<3>( Wm„2- Wmn0*) ; ®mn<3>=Cmn<3>(U7m„2- Wmn°'). (5.78)

Перейдем к рассмотрению результатов численных расчетов. Пусть оболочка нагружена по торцам линейно возрастающими во времени продольными сжимающими усилиями (5.20). Параметры оболочки примем следующими: R=l м; LJR =2; RJh=200; £=2-1011 Н/м2; v=0,3; р=7,7-103 кг/м3. Распределение коэффи­

циентов Фурье Wmn° начального прогиба зададим в виде

(5.79)

На рис. 5.15 приведены результаты численного интегрирования системы (5.70) при m=19, п0= 1, N=5 (штриховая линия —ре­ зультаты, полученные из решения уравнения (5.75)). Как видно, при расчете с одночленной аппроксимацией величины Wmn для всех рассмотренных окружных гармоник достигают в исследован­ ном промежутке времени значений порядка 2Л. При учете взаимо­ связанности выделяется доминирующая форма гс=3, «подавляю­ щая» все остальные. Отметим, что максимум в распределении (5.79) соответствует именно п=3. Эффект «подавления» наблюда­ ется в тех случаях, когда темп роста одной или нескольких форм выпучивания значительно выше, чем остальных. Например, из со­ поставления зависимостей от времени коэффициентов Фурье (штриховые линии на рис. 5.15), соответствующих различным п, видно, что темп роста И'Лэ.з «а промежутке tœ[3,0; 3,5] заметно выше, чем темп роста остальных коэффициентов Фурье. Добавим, что эффект «подавления» очевидным образом следует из вида не­

линейных' членов в системе (5.70).

Остановимся далее на расчете оболочки, нагруженной линейно возрастающим во времени внешним давлением q(t)=at. Материал оболочки —дюралюминий; L=0,2 м; =0,09 м; h=8-10-4 м. Ис­ пытания таких оболочек при нескольких скоростях нарастания пе-

мулой (5.56). Числа у кривых соответствуют значениям п

реднего фронта давления проводились в [102]. Информация о на­ чальных несовершенствах формы испытанных оболочек, необходи­ мая для проведения расчетов по изложенной методике, в [102] не приведена. Поэтому ограничимся иллюстративным примером, за­ дав распределение Wmn° в виде

Результаты численного интегрирования системы (5.70) при ско­ рости нагружения а=6500 ат/с для т= 1, п0=5 и двух значений N приведены на рис. 5.16 (штриховая линия — результаты числен­ ного интегрирования уравнения (5.75) при «г=1, п=Ъ—11). Как видно, при добавлении гармоники с номером п= 11 к аппроксима­ ции (5.66) в рассмотренном интервале времени незначительно из­ меняется зависимость И71п (т) для п=5—10; сама же функция

i n (т) при 0<т<16 существенно меньше остальных. Как пока­ зали дополнительные расчеты,учетв аппроксимациипрогиба (5.66)

гармоник с номерами п=4 и п—12 не вносит при т^20 заметных

изменений в приведенные на рис. 5.16,6 зависимости Wщ(т). Та­ ким образом, для расчета коэффициентов Фурье на промежутке xœ[0,20] в аппроксимации прогиба достаточно удержать окружные гармоники с номерами «=5—11.

Сравнение результатов (см. рис. 5.16,6), полученных на основе многочленной и одночленной аппроксимаций прогиба, показывает, что при т< 11 соответствующие им кривые практически совпадают. При больших значениях т учет взаимосвязанности окружных форм для всех рассмотренных значений п приводит к заметному умень­ шению |W\n (т)|.

С учетом сказанного можно сделать вывод, что зависимости наиболее интенсивно растущих коэффициентов Фурье от времени могут существенно различаться при расчетах, основанных на одно­ членной и многочленной аппроксимациях прогиба. В случае одночленной аппроксимации значения коэффициентов Фурье на

начальном этапе выпучивания оказываются завышенными. Отме­ ченные эффекты проявляются тем сильнее, чем выше абсолютные

значения коэффициентов Фурье.

Рассмотренные примеры дают основание полагать, что как при осевом динамическом сжатии, так и при динамическом внешнем давлении проявление эффектов, обусловленных взаимосвязанно­ стью окружных гармоник, в значительной степени определяется полем начальных несовершенств формы оболочки.

5.5. ОСОБЕННОСТИ НЕОСЕСИММЕТРИЧНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПРИ ДИНАМИЧЕСКОМ ОСЕВОМ СЖАТИИ

Изложенная в предыдущем параграфе методика расчета про­ гиба w и функции усилий Ф позволяет решить дальнейшую задачу: определить деформации и напряжения, возникающие в оболочке в любой момент времени т при заданных программах нагружения осевыми усилиями Р(т) и внешним давлением <7(т).

Напряжения в однородной ортотропной цилиндрической обо­ лочке рассчитываютя по формулам (4.76) с учетом соотношений

Деформации, найденные из указанных выражений для напряже­ ний, с учетом обобщенного закона Гука для ортотропного мате­

риала имеют вид

Г 62Ф Л д2Ф I ехх{х, //, 2, т) = - [АцР(т) +Al2Rq{T)] + И 11'â ^ +Al2~dx2_ J “

d2{w—tu0) ~2 д? ;