книги / Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек

Нетрудно установить соответствие между (3.51) и вырал<ениями, использованными выше в теории типа Тимошенко. Перерезываю­

Уравнения движения оболочки относительно функции и, v, wt ф, ф, получающиеся подстановкой (3.51) в (2.53), при условии (3.52) совпадают с уравнениями (3.43), в которых учтено условие (3.53).

Таким образом, при использовании уточненной теории Амбар­ цумяна частота собственных колебаний ортотропной цилиндриче­

ской оболочки определяется формулой (3.47) с £'=Л"=5/«- Отме­ тим, что коэффициент сдвига /г=5/6 впервые был введен Рейссне-

ром при решении задачи об изгибе пластины. Ранее С. П. Тимо­ шенко предложил значение £=8/9 для балки прямоугольного се­ чения [439, 440]. В работе [382] для нахождения k\'k" нспользо-

вано условие равенства между значением скорости сдвиговых волн,

которое дают уравнения движения оболочки, и соответствующим асимптотическим значением, получаемым в пределе бесконечно малых длин волн из уравнений трехмерной теории упругости. Было установлено, что величины k' и k" зависят от номера окруж­ ной гармоники п. Для не очень больших а и тонких оболочек

предложено значение k'=k " мало отличающееся от б/с.

Перейдем к сравнению результатов расчета частот собственных колебаний ортотропной оболочки, полученных по формулам (3.48) и (3.12). Соответствующие этим формулам значения частот обозна­

чим через (ùmnc и сотпт и введем относительную разность частот Ô(m, tl) =Ci)mnT/û)nmC

Численные результаты получены для оболочек из одионаправленно армированного углепластика с характеристиками (3.23). Рассматриваются случаи армирования оболочки вдоль образую­ щей и в окружном направлении. Во всех расчетных вариантах k'=k"= 5l6t R= 1 м, L/R=2. Отметим, что в формулы для частот

параметры L и т входят только в комбинации ~п^—, так что при­

водимые далее зависимости исследуемых величин от т при фик­ сированном L эквивалентны их зависимостям от 1/Z. при фикси­ рованном т.

На рис. 3.6 даны зависимости б от номера осевой гармоники

т при Gi2/Gf3=l и двух значениях п. Как видно, в случае продоль­ ного армирования б монотонно возрастает с увеличением т для всех рассмотренных вариантов. Существенно иной характер этих зависимостей при окружном армировании: б изменяется немоно­ тонно, и приведенные функции во всех случаях имеют минимум. Можно отметить также, что при п=3 величина б значительно больше для оболочки с продольным армированием, тогда как при «=10, вплоть до т =6, большее значение имеет б в случае окруж­ ного армирования.

Зависимости б от номера окружной гармоники для Gi2/G*3=1 приведены на рис. 3.7. Как видно, при окружном армировании они имеют монотонно возрастающий характер, тогда как при продоль­ ном армировании б практически не меняется с увеличением п.

Из рассмотренных результатов можно сделать следующий об­ щий вывод: поправка, вносимая учетом поперечных сдвигов при расчете частот собственных колебаний, тем быстрее возрастает с увеличением т, чем больше отношение модуля упругости оболочки в продольном направлении к модулю упругости в окружном. И наоборот, указанная поправка тем быстрее возрастает с увеличе­ нием /1, чем больше отношение окружного модуля упругости к продольному. Этот вывод подтверждается анализом формулы (3.48) в предельных случаях Сц>С22 и С22>Сц. Отметим также,

что для оболочек со сравнительно мало различающимися моду­ лями Е\ и Е2 ход зависимостей ô(m) и б (л) качественно одинаков: обе они монотонно возрастающие. Оболочка подобного типа из стеклопластика с Е2/Е\=2 рассматривалась в [45].

Заметим, что численные результаты, полученные в работе [310] при R/h= 10, находятся в противоречии со сформулированным вы­

водом: для оболочки с £|/£2^11 погрешность классической теории возрастает от 0,3% при п =2 до 70,5% при //=10 (Lfh= 100) и от 3,1% при п=2 до 50% при л=10 (L/h= 10). Кроме того, согласно [310], с уменьшением L (в нашем случае это соответствует увели­ чению т) погрешность монотонно возрастает при п=2 (это соот­ ветствует результатам, приведенным на рис. 3.6,а), но имеет ми-

нимум по L при п= 10 (такого рода зависимости получены нами

только для Е2^Е\).

Приведенный на рис. 3.6, 3.7 комплекс результатов позволяет оценить пределы применимости классической теории для расчета частот собственных колебаний ортотропных цилиндрических обо­ лочек с Gj3= G]2‘ Так, в случаеокружного армирования в диапазоне форм волнообразования т= 1—20, п= 1—10 поправка не превы­ шает 1,3% при R/h= 100 и 5,3% —при Rlh=50. В случае продоль­ ного армирования она не превышает 3% в том же диапазоне из­ менения т и п при RJh=200, а для Rlh= 100 превышает 5% при т^\Ъ. Отметим, что значению т=13 соответствует длина осевой полуволны Лщ«16А.

На рис. 3.8 представлены зависимости Ôот толщины оболочки для вариантов окружного и продольного армирования при Gi2/Gj3=1. Как видно, их характер в обоих случаях одинаков и соответствует априорным представлениям: поправка, вносимая учетом поперечных сдвигов, монотонно возрастает, приблизи­

тельно как (hJR)2 (что отмечалось в [45]), с увеличением тол­ щины.

Как следует из рис. 3.9, Ôвозрастает с уменьшением модулей поперечных сдвигов G,-3 оболочки, причем зависимость Ô(Gi2/Gï3) очень близка к линейной (это отмечалось в работе автора [45]). Данное обстоятельство позволяет элементарно корректировать расчетные пределы применимости классической теории в зависи­ мости от значений модулей поперечных сдвигов, используя только базовые результаты (рис. 3.6—3.8) для 0,-3=С\2.

Основной вывод из проведенного анализа состоит в том, что погрешность, которую дает классическая теория при расчете час­ тот собственных колебаний ортотропных оболочек, в большой сте­

пени зависит от отношений модулей Е\/Е2 и Oi3/C?12. Оценки пре­ делов применимости классической теории, полученные на основе расчетов изотропных оболочек и касающиеся только геометриче­ ских параметров и форм волнообразования, непригодны для обо­ лочек из анизотропных материалов.

3.4. ВЛИЯНИЕ ТАНГЕНЦИАЛЬНОЙ ИНЕРЦИИ И ИНЕРЦИИ ВРАЩЕНИЯ НА ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ

Вернемся к матричному уравнению (3.46). Умножим обе его части на обратную к Л4 матрицу М~1 и представим вектор fmn в виде

fmn(/)=Fmne*W. (3.54) В результате подстановки (3.54) в (3.46) получаем уравнение

где Атп=/ЙН(Зпт; 7 —единичная матрица; A,mn=û)mn2-

Проблема отыскания собственных значений ХтПи собственных векторов Fmn достаточно хорошо разработана. Нами для этой цели использовались стандартные программы, имеющиеся в математи­ ческом обеспечении ЭВМ ЕС. Для повышения достоверности ре­ зультатов некоторые варианты просчитывались по нескольким стандартным программам, соответствующим различным алгорит­ мам, описанным в [246].

Ниже остановимся на анализе пяти собственных частот, полу­ чаемых из уравнения (3.55) для фиксированной пары значений {т, п}, не рассматривая специально вопроса об их идентификации (т. е. о соответствии определенной форме колебаний). Говоря в дальнейшем о низшей собственной частоте а)7„«(1) и высших часто­

ного к срединной поверхности элемента оболочки, а частота comn(3) обычно соответствует преимущественно продольным колебаниям.

Что касается частот ow(1) и <ùmn{2\ то в определенных диапазонах расчетных параметров можно из анализа сопутствующих им форм

колебаний установить соответствие каждой из этих частот преи­ мущественно изгибным или преимущественно крутильным коле­ баниям. Но имеются и такие расчетные случаи, когда провести

подобную идентификацию невозможно ввиду близости соответ­ ствующих им амплитуд колебаний. Добавим, что возможны также сочетания параметров оболочки, при которых низшей частоте <£0mn(1) соответствует преимущественно крутильная форма колеба­ ний. Это характерно для осесимметричных (п=0) и балочного типа («=1) колебаний [288, 324]. Вопросы идентификации трех первых частот определенным формам колебаний впервые рассмот­ рены в работе [288], где приведены таблицы частот а,„л(1), ow(2), <i>mn(3) н соответствующие каждой из этих частот соотношения ам­ плитуд крутильного, изгибиого и продольного движений оболочки.

Остановимся далее на результатах численных расчетов для углепластиковых оболочек с характеристиками материала, указан­

ными в 3.1. Как и ранее, будем рассматривать два крайних случая укладки однонаправленных слоев: вдоль образующей и по окруж­

симости от номера осевой гармоники т для различных окружных гармоник п при L/R= 10, R/h=100. Отношение o)(5)/cd(1) специально

минимум по т, тогда как во втором —максимум. Положения ми­ нимума и максимума с увеличением п смещаются к большим

значениям т. Отметим, что для оболочек средней длины минимум соответствует т =2 при п= 1, т=3 при п=2 дляокружногоарми­ рования и т= 1 при п= 1, т =2 при п=2 —для осевого. Далее

при этом соответствует преимущественно изгибная форма колеба­ ний. Согласно результатам [288], ряда других работ и проведен­ ных нами расчетов, амплитуда компоненты перемещения w в таких случаях как минимум в 4 раза больше, чем амплитуда v.

Кривые, приведенные на рис. 3.11,а, в качественном отношении идентичны кривым на рис. 3.10,а. Отметим лишь, что отношение

вые, изображенные на рис. 3.11,6, заметно отличаются от соответ­ ствующих кривых на рис. 3.10,6 и 3.11,а: минимум достигается в этом случае при намного меньших значениях т. В результате для

оболочек средней длины с осевым армированием отношение

монотонно возрастает с увеличением т для большинства значе­ ний п.

Как явствует из сравнения рис. 3.10 и 3.11, частоты со(3) прак­ тически во всем рассмотренном диапазоне изменения параметров т, п заметно превышают ш(2). Из этого факта непосредственно