книги / Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек

Численное решение поставленной смешанной краевой задачи проводится согласно продольной схеме метода прямых. Входящие в уравнения и граничные условия дифференциальные операторы по пространственной координате аппроксимируются центральными разностями со вторым порядком точности «на равномерной сетке.

Например, значения производных функции до0 в i-м внутреннем узле сетки вычисляются по формулам

дш0(*) _ ШрО+О—tgj0(t-i) d2wpW_ вУо^-1)—2ш0<*)+до0(1‘+1)

+

}х~0,L = ~P(t).

Как видно, это условие нелинейно и содержит производные от ис­ комых функций. В то же время высокая точность удовлетворения ему играет в рассматриваемой задаче особо важную роль, в связи •с чем входящие в него дифференциальные операторы аппрокси­ мируются с четвертым порядком точности. Например,

Таким образом, в результате получаем задачу Коши относительно

неизвестных функций н0(<,(0» и>о(<)(0» t'=l,...,yV. Эта задача ин­ тегрируется численно методом Рунге—Кутта четвертого порядка. Затем по найденным значениям перемещений в узловых точках вычисляются деформации, напряжения и усилия. Сходимость вы­ числительной схемы проверялась изменением числа узлов N. Во всех рассмотренных далее расчетных вариантах различие в резуль­ татах при N=299 и 399 как для перемещений, так и для напря­ жений не превышает 5%.

В качестве примера рассмотрим оболочку из ортотропного ма­ териала (шестислойный углепластик), имеющего упругие характе­

ристики [93]:

Геометрические параметры оболочки: R= 1 м, L/R=2, R/h=200. Начальный осесимметричный прогиб ш0° примем равным нулю.

Осевое сжимающее усилие, действующее на торцы оболочки, будем рассматривать линейно возрастающим во времени:

р* —критическое статическое усилие для оболочки при ориента­ ции оси 1 материала вдоль оси х; £*=0,265-106Н/м. В дальней­ шем, если это не оговорено особо, принимается УР=Ъ.

Рассмотрим результаты интегрирования безмомеитиых уравне­

ний (5.4) при граничном условии на Nx (5.11) и начальных усло­ виях (5.18). На рис. 5.1 приведены зависимости осевого напряже­

ния Ox —Nx/h от координаты х в несколько моментов времени.

-бяЮ'8,Н/м

_____ 2А 6 -

_________ Z0

Ж

Рис. 5.1. Зависимости осевого напряжения от координаты, соответствующие не­ скольким последовательным моментам времени (значения т указаны на кривых)-

Рис. 5.2. Зависимости прогиба от координаты при решении трех типов уравне­ ний движения: 1—(5.6); 2 —(5.8); 3 —(5.10), т=1,8

Во-первых, отметим, что численный расчет дает скорость распро­ странения возмущений, точно совпадающую с введеннойвышевели­ чиной сг Отметим также следующий, наиболее важный для даль­ нейшего результат: вскоре после того, как волны нагрузки, дви­ жущиеся симметрично от обоих торцов, встречаются (при т=0,25)

в середине оболочки, напряжение ох становится весьма слабо за­ висящим от координаты. Так, максимальное отличие величины: напряжения от значения, заданного на торце, составляет: при

т=0,4 —25%. при т=0,8 — 20, при т= 1,6 — 5, при т=2,4 — 4%.. Таким образом, пренебрежение неоднородностью напряженного со­ стояния оболочки, вызываемой процессом распространения волны нагрузки, для рассматриваемого закона нагружения допустимо уже при т= 1,6.

Перейдем к рассмотрению возникающего при осевом ударекраевого эффекта. На рис. 5.2 для граничных условий (5.11) при­ ведены зависимости прогиба от координаты х, полученные по урав­ нениям (5.6), (5.8) и (5.10). Как видим, характер решения в краевой зоне при учете в уравнениях движения нелинейного члена (Nxw'oY и без его учета существенно различен, тогда как учет нелинейности в формулах, связывающих деформациии перемеще­ ния, несколько снижает значения прогиба, но не вносит качествен­ ных изменений в результаты. Можно заключить, таким образом,, что решение задачи об осевом ударе с использованием линей­ ных моментных уравнений, по крайней мере при условиях свобод­ ного опирания торцов, дает качественно неверное описание дефор­ мирования оболочки в краевой зоне. Отметим также, что кривые;

Рис. 5.4. Зависимости прогиба от координаты при трех видах несимметричных граничных условий: 1 —(5.14); 2 —(5.15); 3 —(5.16), т=1,8

граничных условий к наибольшему значению прогиба в краевой зоне приводит свободное опирание (кривая /, рис. 5.3).

Рассмотрим далее влияние скорости нагружения на краевой эффект. На рис. 5.5 для условий свободного опирания приведены зависимости прогиба от координаты для трех значений VP. Резуль­ таты относятся к моментам времени т:=0,25; 1,8 и 4,4 соответ­ ственно. Как видно, уменьшение скорости нагружения приводит к расширению зоны краевого эффекта, увеличению ширины и числа кольцевых -выпучин и вмятин.

На рис. 5.6 для граничных условий свободного опирания и сво­ бодного края приведены зависимости прогиба и напряжения а* (на внутренней поверхности оболочки) от времени. Кривые соот­ ветствуют тем значениям координаты (jc=0,05L для свободного опирания и х=0 — для свободного края), для которых прогиб обо­ лочки максимален. Как видим, начиная с момента т« 1 осевое напряжение в точке 0,05L заметно отклоняется от заданного на торце линейно возрастающего во времени. Приблизительно с того же момента начинается интенсивный рост прогиба.

Анализ показывает, что при стеснении подвижности торца обо­ лочки в радиальном направлении в прилегающей к торцу части оболочки происходит интенсивное развитие изгибных деформаций, которое приводит к существенной неоднородности по координате х осесимметричного напряженно-деформированного состояния. Уро­

вень напряжений в зоне краевого эффекта значительно выше, чем в средней части оболочки.

В заключение остановимся на вопросе о влиянии на деформи­ рование оболочки начальных осесимметричных несовершенств. Примем для наглядности начальный прогиб отличным от нуля только для одной фиксированной гармоники:

На рис. 5.7 приведены результаты расчетов w0(x) в момент времени т=2,0 для граничных условий (5.11) и (5.13) и несколь­ ких значений пг. Как видно, при наличии даже сравнительно ма­ лых несовершенств по высоким осевым гармоникам картина де­ формирования качественно меняется: по всей длине оболочка раз­ бивается на чередующиеся пояса кольцевых вмятин и выпучин. Их глубина при фиксированном т увеличивается с возрастанием пг от 1 до некоторого пг* (в рассматриваемом конкретном случае пг* = 17), а при /п>т* убывает. Величина т* повышается с увели­ чением скорости нагружения и уменьшением относительной тол­

щины оболочки.

Отметим также, что вследствие взаимодействия процесса вы­ пучивания в краевой зоне, вызванного эффектом Пуассона, с про­ цессом развития начальных несовершенств величина прогиба в ок­ рестности торца может существенно изменяться по сравнению со случаем идеальной оболочки. Например, при т =Ъ глубина

Рис. 5.5. Зависимости прогиба от координа­ ты при трех значениях скорости нагруже­ ния: VP=25 (/), 5 (2), 1(3)

Рис. 5.6. Зависимости прогиба (------ ) и осевого напряжения (------) от времени при двух видах граничных условий: 1 — (5.11); 2 - (5.13)

Рис. 5.7. Зависимости про­ гиба от координаты при х= =2,0 для идеальной обо­ лочки (а) и оболочки с на­ чальным прогибом (5.22) при m= I (б), 5 (в), 10 (г). Кривые / и 2 соответству­ ют граничным условиям (5.11) и (5.13)

первой от левого торца выпучины оказалась несколько меньшей, а

при т= 10 первая от правого торца выпучина практически ис­ чезла.

Как следует из приведенных результатов, при динамическом продольном сжатии оболочки малые по амплитуде и протяжен­ ности начальные несовершенства могут стать причиной сильной

неоднородности осесимметричного напряженно-деформированного состояния.

5.2. ПРОДОЛЬНЫЙ УДАР ЖЕСТКОЙ МАССОЙ ПО ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ

Экспериментальное исследование поведения тонких стальных цилиндрических оболочек при продольном ударе жесткой массой проводилось в работе [82]. Согласно условиям проведения экспе­ римента, оба торца оболочки можно считать жестко защемлен­ ными в радиальном направлении. На нижнем торце осевое пере­ мещение и0 равно нулю, на верхнем задается усилие Nx{t)- Таким образом, граничные условия имеют вид

w0=w'0=0, Nx=-P(t) при *=0; Wq=w'q=0, Uq—0 при X—L.

При проведении эксперимента в [82] усилия соударения между падающим грузом и оболочкой не измерялись. Для определения функции P(t) использовались опытные данные об усилиях в соуда­ ряющихся телах [125]. Экспериментальная кривая сравнивалась

с кривой

/(/)=Asin( я-£-) ,

которая и использовалась для аппроксимации нагрузки на торце оболочки. Продолжительность соударения tc, найденная из ре­ шения Сен-Венана, в [82] увеличена на 20% в соответствии с экс­ периментальными данными. С учетом введенного безразмерного

где Mi — масса груза; М2 — масса кольца, установленного на ударяемом торце; V* — безразмерная скорость удара. Числовые значения параметров: £=20,6- 1010Н/м2; v=0,3; р=7,8•103 кг/м3; R =5 см; £=12 см; М\=69,62 г; М2=37,1 г. Толщина оболочки h варьировалась.

Рассмотрим результаты расчетов оболочки при граничных ус­ ловиях (5.23) и нагрузке -на верхнем торце (5.24), полученные по

методике, приведенной в 5.1. На рис. 5.8 отражены зависимости w0(x) для Л=0,1 мм, У*=0,725-10-3 в три момента времени. Как видно, у каждого из торцов образуется достаточно узкая зона кра­ евого эффекта, расширяющаяся с ростом т, и при т=10 состоящая из пяти выраженных кольцевых складок с максимальной глубиной ~4h. В средней части оболочки прогиб слабо зависит от коорди­ наты (аналогичный результат отражают рис. 5.3 и 5.4).

Введем далее в рассмотрение интенсивность касательных на­ пряжений

(в исследуемой осесимметричной задаче <ja:i,=0). На рис. 5.9 при­ ведены зависимости Т{т) для оболочки с h=0,1 мм при К* =0,5-10_3. Максимальное значение 7’=860 МПа достигается при т=10,3 на внутренней поверхности у нижнего торца*. Таким образом, если воспользоваться критерием текучести Мизеса

crs для рассматриваемого материала (сталь 45), то можно конста­ тировать, что при указанной скорости нагружения в оболочке воз­ никнут локальные зоны пластических деформаций. Однако это не

* У нижнего торца максимален также и прогиб оболочки: шах. wü~\,bh. te[0,20]