книги / Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек

0г (1.6) пренебрегается тангенциальным перемещением щ°. Соот­ ветственно этому формулы (1.80) принимают вид

Во-вторых, в первых двух уравнениях равновесия (1.42) пренебре­ гается перерезывающими усилиями 7’*г-3, что дает

то в приближении технической теории (1.85) удовлетворяются тождественно. Выражение для Г\-3 принимает вид

В результате система уравнений равновесия сводится к одному уравнению:

Подстановка в (1.91) выражений (1.86) и (1.84) дает уравне­ ние относительно функций ы3°, F, однако записать его не удается в столь же компактной форме, как для изотропного материала. Отметим, что в последнем случае Л22—12—бб/2=0, Ац—А \2—

-Л66/2=0, 2412+Лбб/2=^ц=Л22=^, и введением оператора

1 Г д ГА2 dF 1 | д ГAj dF j \ ^ ^~ А\А2 I да\ LА\ да\ J да,2 I- Л2 да2 -! /

Для «весьма пологой» ортотропной оболочки, когда Л) и Л2 при дифференцировании ведут себя как постоянные [21], из

(1.84), (1.86) следует:

■Соответственно уравнение (1.91) в рассматриваемом случае запи­ сывается в форме

£2F-VBu30+y£(«30,tt30)=0, (1.96)

где

Уравнения (1.95), (1.96) были получены в [24].

1.7. УЧЕТ НАЧАЛЬНЫХ НЕСОВЕРШЕНСТВ ФОРМЫ ОБОЛОЧКИ

В процессе изготовления оболочек или монтажа конструкций, •содержащих оболочечные элементы, неизбежно возникают общие или локальные технологические несовершенства, приводящие к от­ клонению формы срединной поверхности от «идеальной». Наличие таких несовершенств с общих позиций может быть описано по­ средством введения начальных деформаций и, как следствие, на­ чальных напряжений. Нелинейная теория оболочек с учетом на­ чального напряженно-деформированного состояния построена в работах X. М. Муштари [194, 195]. Она изложена также в моно­

графии [196]. При этом начальные деформации гц°, в\2° опреде­ ляются через начальные перемещения иг°, н3° по формулам теории

пологих оболочек.

В дальнейшем будем рассматривать частный случай, когда на­ чальные несовершенства носят чисто изгибный характер, т. е. Ui°=0 вдоль всей поверхности оболочки. Отклонение формы сре­ динной поверхности от «идеальной» полностью задается полем нормального перемещения w° (си, аг). Следовательно, начальные деформации определяются в рамках технической теории по фор­

Будем считать, что начальные «искажения» формы оболочки не вызывают начальных напряжений. Поэтому при начальных ус­

ловиях на перемещения Ui°\ =0, из°|*=о=ш° и отсутствии в момент /=0 внешних воздействий на оболочку все напряжения при /=0 должны быть равны нулю. Уравнения равновесия при

этом должны удовлетворяться тождественно.

Таким образом, для учета начальных геометрических^несовер­

шенств следует заменить га на (е™—е**0), ei2 — иа (&12—S120),. Хг — на (Хг-Хг°), Т{ —нa (ъ-Тг°) либо оставить их в прежнем

виде, понимая под ег*, В12, и*, тг «дополнительные» величины, воз­ никающие под действием нагрузки.

1.8. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИИ РАВНОВЕСИЯ

Проблема вывода линеаризованных уравнений устойчивости оболочек рассматривалась многими авторами. Краткий обзор при­ мененных подходов и библиография по этому вопросу приведены в работе В. В. Болотина [70], указывающего на наличие боль­ шого числа вариантов записи «параметрических» («нагрузочных») членов, обусловленного разнообразием путей получения уравне­ ний устойчивости. В этой связи особо отметим работы [148, 196], где линеаризация осуществляется исходя из нелинейных уравне­ ний равновесия оболочки. Аналогичный подход использован при выводе уравнений устойчивости в [134, 135].

Для получения линеаризованных уравнений будем исходить из уравнений равновесия (1.42) и выражений для обобщенных усилий (1.41). Рассмотрим частный случай, когда в докритическом состоянии возникают только нормальные усилия Тц°, что харак­ терно для нагружения оболочки продольными усилиями и внеш­ ним давлением. Деформациями в докритическом состоянии будем

ского равновесного состояния. Следуя методу, изложенному в [134, 135], заменим в (1.41) Тц на Тц°+Т'ц, подставим получен­ ные выражения для обобщенных усилий в (1.42), вычтем урав­ нения равновесия докритического состояния и проведем линеари­

зацию. В конечном результате получим следующие уравнения устойчивости:

где

х' ^ ~ к ( А т ) +~ t~ w m + -ÏJ- w -

qi=Xi+—Xr;q3=Xz+—Xz~; ôc=l и Опри следящей н консерва­ тивной нагрузках соответственно. Уравнения (1.98), как видно, от­

личаются от обычных уравнений равновесия линейной теории обо­ лочек только наличием «нагрузочных» членов X'i, Х'з. Формулы (1.99) являются частным случаем выражений, полученных в [134, 135, 148]. Величины Х'и Х'з, Р'и Р'ъ представляют собой «допол­ нительные» поверхностные и массовые силы, воздействующие на оболочку только при отклонении ее от докритического равновес­ ного состояния.

Линейные уравнения для моментов согласно (1.57) имеют вид

где <D'j и F'j — «дополнительные» моменты поверхностных и мас­ совых сил, возникающие при отклонении от докритического рав­

Усилия T'a, T'a, T'iz и моменты М'и, М'ц выражаются через «до­ полнительные» деформации по формулам линейной теории обо­

лочек:

При использовании гипотез Кирхгофа—Лява усилия Г',з опреде­

ляются из уравнений (1.100).

Для решения задач устойчивости оболочек на основе уравне­ ний, записанных в смешанной форме, необходимо положить Р,'=0,

X'i=0, выразить усилия Т'ц, Т'ц через функцию F по формулам (1.86) и осуществить аналогичные проведенным в 1.6 преобразо­ вания, отбрасывая нелинейные члены. В результате (1.88) прини­ мает вид

В уравнении совместности деформаций (1.91) следует опустить нелинейные слагаемые в правой части.

При решении задач динамической устойчивости усилия Тц° являются функциями времени. Учитывая, что силы инерции F'i=

u'it и'г — «дополнительные» перемещения), по формулам (1.1),. (1.43), (1.101) находим

Приведенные в данной главе уравнения и формулы позволяют решать нелинейные задачи деформирования, задачи статической и динамической устойчивости тонкостенных ортотропных оболочек как с учетом деформаций поперечных сдвигов, так и на основе кинематической модели Кирхгофа—Лява.

ГЛАВА 2

У р а в н е н и я н е л и н е й н о й т е о р и и о р т о т р о п н ы х ц и л и н д р и ч е с к и х о б о л о ч е к

В главе 1 получены нелинейные и линеаризованные уравнения движения ортотропных оболочек, записанные в произвольной криволинейной ортогональ­ ной системе координат. Их вывод осуществлялся на основе нелинейной теории упругости в предположении линейно-упругого поведения материала, тонкостенности оболочки, малости деформаций по сравнениюс единицей, а удлинений и сдвигов —по сравнению с углами поворота нормальных сечений. На основе этих уравнений в данной главе выведены нелинейные и линеаризованные урав­ нения движения ортотропной круговой цилиндрической оболочки. Рассмотрены варианты, соответствующие кинематическим моделям Тимошенко и Кирхгофа— Лява. Получены также линеаризованные уравнения движения ортотропной ци­ линдрической оболочки, при выводе которых не привлекаются упрощающие до­ пущения технической теории (теории пологих оболочек). Данная глава содер­

жит все необходимые исходные формулы и уравнения, используемые далее в монографии.

Теория тонкостенных цилиндрических оболочек разрабатыва­ лась многими авторами. Обстоятельные исследования по линейной теории представлены в монографиях [21, 24, 94, 123, 143, 209, 254, 322, 441]. Нелинейная теория изотропных цилиндрических оболочек изложена в [196]. Уравнения нелинейной теории для случая анизотропного материала рассматривались в монографиях [92, 224]. Не останавливаясь на историческом аспекте развития теории цилиндрических оболочек, укажем лишь на обзорныестатьи [10, 13, 107, 115, 134, 136, 138, 154, 199, 203, 204, 291], содержа­ щие обширную библиографию по этой проблеме.

2.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ

ТОНКОСТЕННЫХ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК

Пусть аь сх2, а3 — координаты точки в произвольной криво­ линейной ортогональной системе координат. Совместим коорди­

натную поверхность а3=0 со срединной поверхностью оболочки. Координатные линии ai, a2 направим вдоль линий главных кри­ визн этой поверхности. Соответствующие орты обозначим еь е2. Примем, что направление орта е3 совпадает с направлением внеш­ ней нормали к срединной поверхности оболочки.

Обозначим через Wi(ai, аг, а3), ы2(ai, а2, а3), и3(аь а2, а3) проекции вектора перемещения произвольной точки оболочки на

направления ei, е2, е3 и примем, что они являются линейными функциями координаты а3 [208]:

Здесь U]°(ai, а2), «г0(ai, а2), ц30(аь а2) — проекции вектора пере­ мещения произвольной точки {ai, a2} срединной поверхности обо­ лочки на направления еь е2, е3; i>i°(ai, a2), a2°(ai, a2) — функции, характеризующие повороты сечений, проходящих через нормаль

ккоординатной поверхности, при деформировании оболочки. Компоненты тензора деформаций, согласно [210], определя­

ются формулами (1.2), (1.3). Подстановкой в них (2.1), в пре­ небрежении величинами порядка a3£i по сравнению с единицей, получены выражения для деформаций оболочки (1.12). Дальней­ шие их упрощения основывались на следующих допущениях:

1) показатели изменяемости вдоль координатных линий ai, a2 характеристик деформированного состояния и коэффициентов пер­ вой квадратичной формы срединной поверхности оболочки Л* ог­ раничены сверху и удовлетворяют условиям (1.13);

2) деформации удлинений и сдвигов — величины более высо­ кого порядка малости, чем углы поворота нормальных сечений, в соответствии с чем отбрасываются их квадраты, взаимные про­ изведения и произведения на остальные неизвестные функции.

В этих формулах индекс /=2 при i= 1 и /= 1при i=2. Деформа­ ция езз, согласно (1.11), выражается в виде

833=f30+4-(oi0’+»20!+°30!)- (2,9)

В главе 1 был рассмотрен вариант нелинейной теории ортотропных оболочек, основанный на кинематических допущениях Кирхгофа—Лява. При этом в соответствии с трактовкой В. В. Но­ вожилова [208] предполагалось, что при определении изменения направления орта ез величиной поперечных сдвигов можно пре­ небречь. Это приводит к условию (1.16), из которого, с учетом малости и3° по сравнению с единицей, получается соотношение

(1.17):

Vi°~-Qt. (2.10) Кроме того, было получено выражение для функции v3° (1.27)

ü3°« —(*1181 +0282) —r-0i2(l +ai) — O22 (1+П2) » (2.11)

содержащее комбинации коэффициентов Пуассона ортотропного материала (1.24). При рассмотрении материалов с сильной ани­

зотропией, для которых лчз<1, V23<1, выражение (1.27) мало