книги / Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек

а3 и удерживая все члены до а32 включительно, приходим к сле­ дующим выражениям для усилий и моментов в ортотропной ци­ линдрической оболочке:

Использованный здесь способ вывода соотношений упругости был впервые применен В. Флюгге [321] для изотропной и конст- руктивно-ортотропной цилиндрических оболочек. Соответствующая теория цилиндрических оболочек изложена также в монографиях [254, 322]. Обобщение данного подхода на оболочки произволь­ ной формы дано в работе А. И. Лурье [181].

Система (2.58) совместно с формулами (2.63) позволяет ре­ шать более широкий класс задач, чем уравнения технической тео­ рии цилиндрических оболочек (в том числе задачи деформирова­ ния, колебаний и устойчивости длинных оболочек, а также обо­ лочек средней длины при малых показателях изменяемости на­ пряженно-деформированного состояния в окружном направлении). Они будут использованы в главе 3 для выяснения пределов при­ менимости технической теории ортотропных цилиндрических обо­

лочек к задачам колебаний и устойчивости.

ГЛАВА 3

С о б с т в е н н ы е к о л е б а н и я о р т о т р о п н ы х

ц и л и н д р и ч е с к и х о б о л о ч е к

Проводится исследование пределов применимости уравнений технической теории, основанных на модели Кирхгофа—ява, к расчету частот собственных колебаний ортотропных цилиндрических оболочек. Оно осуществляется путем •сравнения с результатами расчетов по двум более совершенным вариантам теории цилиндрических оболочек —теории Флюгге и теории типа Тимошенко. Первая из них уточняет применяемые в технической теории уравнения равно­ весия, соотношения упругости и выражения для изменения кривизн и кручения, но не учитывает деформации поперечных сдвигов. Вторая, в свою очередь, учитывает поперечные сдвиги, но во всех остальных отношениях эквивалентна технической теории. Независимое сравнение с этими двумя вариантами теории цилиндрических оболочек позволяет, таким образом, установить пределы при­ менимости технической теории, основанной на модели Кирхгофа—ява, по всем входящим в задачу параметрам: соотношениям между длиной, радиусом итол­ щиной, между модулями поперечных сдвигов и модулями в плоскости слоя, а также по формам волнообразования в продольном и окружном направлениях.

Решение задач о собственных колебаниях конструкционных элементов имеет фундаментальное значение для разработки слож­ ных проблем динамики. При исследовании вынужденных и пара­ метрических колебаний, флаттера, нестационарного деформирова­ ния, динамической потери устойчивости и других процессов прямо или косвенно используется информация о большом количестве частот и форм собственных колебаний. Следует подчеркнуть при этом, что во многих задачах динамики важную роль играют срав­ нительно высокие пространственные формы колебаний. Это при­ дает особое значение вопросу обоснования исходных расчетных моделей, поскольку даже обеспечиваемая той или иной моделью высокая точность при решении задач статики и низкочастотных колебаний не всегда гарантирует ее применимость для анализа

высокочастотных или высокоскоростных процессов деформиро­ вания.

Проблема расчета собственных колебании тонкостенных обо­ лочек впервые поставлена Лявом [370], получившим также урав­ нения малых колебаний. В дальнейшем им были исследованы уравнения и выявлен вид решения для случая изгибных колеба­ ний цилиндрических оболочек [182]. В 1894 г. Рэлей получил формулу для собственных частот чисто изгибных колебаний ци­ линдрической оболочки [407]. Расчеты собственных частот сво­ бодно опертой цилиндрической оболочки впервые были проведены Флюгге [321], который установил существование для каждой изгибной формы колебаний группы из трех собственных частот. Задача расчета собственных колебаний цилиндрической оболочки

■с защемленными торцами впервые рассмотрена А. П. Филиппо­ вым [252].

Большой вклад в теорию колебаний цилиндрических оболочек внесли работы Арнольда, Уорбертоиа [285, 286], где, в частности, сделай вывод о наличии минимума энергии деформации и, как следствие, минимума собственной частоты для вполне определен­ ного, зависящего от геометрических параметров оболочки, номера

окружной гармоники. В этих работах приведены также мате­ риалы обширных экспериментальных исследований колебаний стальных цилиндрических оболочек.

Необходимо особо отметить экспериментальную работу То­ биаса [442], в которой впервые рассматривались эффекты на­ чальных несовершенств при колебаниях цилиндрических оболочек

и было показано, что: 1) при наличии несовершенств расположе­ ние узловых плоскостей становится вполне фиксированным; 2) для каждой формы колебаний существуют две предпочтительные уз­

ловые конфигурации, обладающие в общем случае различными собственными частотами; 3) разница между этими частотами мо­

жет рассматриваться как мера имеющихся у тела несовершенств. Работы [182, 254, 285, 286, 442, 462] послужили основой для даль­ нейших теоретических и экспериментальных исследований в об­ ласти колебаний цилиндрических оболочек.

С середины 50-х гг. получила теоретическое развитие родст­ венная собственным колебаниям проблема распространения гар­ монических волн в бесконечно длинных цилиндрических оболоч­ ках. Первые исследования Смита [421, 422], Нагди, Купера [388], Лима, Моргана [366], Германа, Мирского [344] получили даль­ нейшее развитие в работах Купера, Нагди [304], Мирского, Гер­ мана [382, 383], 10 [463], Гринспоиа [334—337], Газнеа [326]. Они посвящены расчету дисперсионных кривых и изучению влия­ ния на них деформаций поперечных сдвигов и инерции вращения (для пластин эти вопросы впервые рассмотрены Мнидлн-

ном [379]).

Поскольку фазовая скорость гармонической волны выражается через частоту собственных ‘колебаний свободно опертой оболочки, то установленные в указанных работах результаты и выводы имеют самое прямое отношение к проблеме собственных колеба­ ний оболочек конечной длины и позволяют сформулировать сле­ дующий основной вывод. Учет поперечных сдвигов и инерции вра­ щения существенно расширяет (в сторону меньших длин волн) область применимости теории оболочек. Хотя авторы в большин­ стве случаев и не разделяли эффекты, обусловленные учетом по­ перечных сдвигов и инерции вращения, некоторые результаты (например, [344]) все же показывают, что эффект от учета по­ перечных сдвигов в количественном отношении намного превос­ ходит эффект от учета инерции вращения. Дальнейшее развитие данное направление динамики цилиндрических оболочек полу­ чило в работах [352, 353, 355, 390, 455, 456, 464], где рассматри­ вались однородные ортотропные, двухслойные, трехслойные, а за­ тем и общего типа многослойные оболочки. Ю. Н. Новичковым [206] получено решение для многослойной цилиндрической обо­ лочки регулярного строения. Результаты исследований по проб­ леме распространения гармонических волн [206, 337, 344, 366] имеют фундаментальное значение для выбора и обоснования рас­ четных моделей в динамике цилиндрических оболочек. Так, в [206] сформулирован вывод, что учет сдвиговых эффектов в жест­ ких слоях и инерционных членов, связанных с поворотом нормаль­ ных элементов, оказывается существенным только для динами­ ческих процессов с достаточно большим показателем изменяе­ мости. В волновых процессах такой учет необходим лишь для длин волн, сопоставимых с толщиной жестких слоев. К этому следует лишь добавить, что при расчете оболочек из композитных мате­ риалов, обладающих слабой сопротивляемостью поперечным сдви­ гам, необходимо учитывать еще один фактор — значения моду­ лей поперечных сдвигов. Если они достаточно малы по сравне­ нию с модулями упругости в плоскости слоя, то классическая теория может оказаться непригодной даже для длин волн, значи­ тельно превышающих толщину оболочки (или отдельного жест­

кого слоя).

Исследования, проводившиеся в 60—70-е гг. в рамках класси­ ческой теории тонких цилиндрических оболочек, были направлены в основном на изучение влияния условий закрепления торцов на частоты и формы собственных колебаний. Общее решение задачи о собственных колебаниях изотропной цилиндрической оболочки,, допускающее рассмотрение в принципе любых граничных усло­ вий, предложено Форсбергом [323] и Уорбертоном [450]. Резуль­ таты, полученные конечно-разностными методами, были обобщены в [163]. Отметим также работы [109] (использовалась теория динамического краевого эффекта, разработанная В. В. Болоти­ ным) п [127, 263, 417] (для случаев граничных условий, отличных

от свободного опирания, применялись разнообразные приближен­

ные методы). Исследования собственных колебаний цилиндриче­ ских оболочек асимптотическими методами подробно освещены в монографии [124]. Решения задачи о собственных колебаниях ци­

линдрической оболочки рассматривались также на основе уравне­ ний трехмерной теории упругости [278, 292, 381 и др.]. Кроме

того, проводился анализ эффектов, связанных с предварительным статическим нагружением [205], с учетом тангенциальной инер­ ции [338]. Большое число работ посвящено учету начальных не­ совершенств формы оболочки. Проводились также обширные экс­

периментальные исследования [329, 454].

С начала 60-х гг. развивалась теория собственных колебаний ортотропных цилиндрических оболочек. К числу первых следует отнести работы В. С. Гонткевича [126], Мирского [381], Даса [307]. Колебания конструктивно-ортотропных оболочек исследо­ вались М. В. Никулиным [205]. В работе P. С. Сабировой [228]

рассматривалась оболочка из анизотропного материала более об­ щего типа. В целом же повторялся путь развития, пройденный теорией изотропных оболочек: от граничных условий свободного опирания к приближенным способам удовлетворения более слож­

ным типам граничных условий и далее — к построению общего частотного уравнения, позволяющего рассматривать любые типы

граничных условий.

Большое внимание в последние годы уделялось задачам собст­

венных колебаний армированных и многослойных цилиндрических оболочек (как ортотропных, так и относящихся к более общим типам анизотропии). Расчет собственных частот для многослойной оболочки с симметрично расположенными относительно средин­ ной поверхности изотропными слоями проведен Вейнгартеиом [453]. Во многих последующих работах рассматривался более общий случай оболочек, образованных из ортотропных, симметрично рас­ положенных относительно срединной поверхности слоев. В рам­ ках моделей Кирхгофа—Лява или Тимошенко, принимаемых для всего пакета слоев, такие оболочки, как известно, сводятся к од­ нородным, вследствие чего соответствующие задачи представляют интерес главным образом с точки зрения управления частотными характеристиками за счет изменения жесткостей и порядка чере­ дования слоев. Сравнительно небольшое число исследований по­ священо задачам колебании многослойных оболочек с несиммет­ ричной по толщине укладкой ортотропных слоев [52, 307, 354, 425]. В них изучались эффекты, обусловленные взаимным влия­ нием мембранных деформаций па моменты, а изгпбных деформа­ ций —на тангенциальные усилия. И, наконец, еще более общие типы многослойных анизотропных оболочек, в которых осп орготропни слоев не совпадают с направлениями координатных ли­ ний оболочки, рассматривались в [290], а затем в [332, 424] и ряде других работ. Данная проблема заключает в себе определен­

ные принципиальные трудности и к настоящему времени наиме­

нее разработана.

В дополнение к сказанному отметим, что ряд интересных ре­ зультатов по задачам собственных колебаний анизотропных, ар­

мированных и многослойных оболочек получен в работах [24, 176, 177, 274, 294, 308—310, 330, 331, 347, 405, 406, 420, 432, 433]. В целом проблема собственных линейных колебаний цилиндри­ ческих оболочек в теоретическом плане к настоящему времени достаточно хорошо разработана. Однако по трем, по нашему мне­ нию, существенным прикладным вопросам — определению пре­ делов применимости технической теории (теории пологих оболо­ чек), пределов применимости модели Кирхгофа—Лява и допу­ стимости пренебрежения тангенциальной инерцией и инерцией вращения для ортотропных оболочек —до сих пор получены лишь фрагментарные количественные результаты. С целью восполнить этот пробел в данной главе представлено детальное исследование

перечисленных вопросов.

3.1. РАСЧЕТ ЧАСТОТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ

И ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЕДЕЛОВ ПРИМЕНИМОСТИ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

Техническая теория цилиндрических оболочек*, как известно, имеет ограниченную применимость. Одно из требований этой тео­ рии заключается в том, чтобы при колебаниях и потере устойчи­ вости каждый из участков, заключенных между узловыми ли­ ниями, можно было рассматривать как пологую оболочку. В осе­ симметричных задачах это накладывает ограничение сверху на ширину кольцевых поясов, заключенных между соседними узло­ выми линиями, в неосесимметричных — ограничение сверху на размер образующихся вмятин и выпучин в окружном направлении. Вопрос о применимости теории Доннела к расчету цилиндриче­ ских оболочек на статические нагрузки обсуждался в [97, 115, 134, 135, 254, 351, 369 и др.].

В данном параграфе исследуются пределы применимости тех­ нической теории для расчета собственных колебаний ортотропных цилиндрических оболочек путем сравнения с результатами расчета по уравнениям, основанным на модели Флюгге, приведенным в 2.3. Решение задачи о собственных колебаниях изотропных цилиндри­ ческих оболочек на основе уравнений Флюгге впервые приведено в работе [321] (соответствующие результаты изложены также в монографии [254]). В последующие годы уравнения Флюгге ис­

* Взарубежной литературе она обычно называется теорией Доннела, ко­ торый впервые сформулировал и применил ее в задачах устойчивости [311J.

пользовались для расчета частот собственных колебаний многими зарубежными авторами (например, [314, 323, 450]). Несколько более простой, чем у Флюгге, вариант теории Тимошенко [441] применялся в работах [285, 286]. Теория Сандерса [297] исполь­ зовалась в [417]. Сравнительный анализ результатов расчета соб­ ственных частот по уравнениям Сандерса, Тимошенко и Флюгге, проведенный в [314], а также по уравнениям Сандерса и Флюгге, проведенный в [417], показал, что различия достигают порядка долей процента. Этот результат представляется закономерным, по­ скольку все перечисленные варианты теории тонких оболочек по­ лучены в рамках кинематической модели Кирхгофа—Лява и базируются на идентичных (или очень близких по существу) урав­ нениях равновесия и соотношениях между деформациями п пере­ мещениями.

Что касается сравнения результатов расчета частот собствен­ ных колебаний по уравнениям Доннела и по более точным (но остающимся в рамках модели Кирхгофа—Лява) вариантам урав­ нений, то, как следует из работ [314, 315], различия могут ока­ заться заметными (до нескольких десятков процентов) и возра­ стать с увеличением длины полуволны в осевом направлении и от­ ношения толщины оболочки к радиусу. Отметим еще раз, что во всех перечисленных работах рассматривались изотропные обо­

лочки.

Обстоятельный сравнительный анализ результатов расчета ча­ стот собственных колебаний ортотропных оболочек на основе тео­ рии Лява [182] и теории Доннела представлен в работе [425]. Рассмотрены двух- и трехслойные оболочки с ортотропными сло­ ями. Исследовано влияние отношений длины L к радиусу У? и радиуса к толщине h на погрешность расчета низшей частоты ко­ лебаний по теории Доннела. Как показали результаты, эта теория дает завышенные по сравнению с теорией Лява значения. При R/h=20 для рассмотренной в [425] двухслойной оболочки низ­ шая частота отличается на 0,8; 4,5 и 24,6% при L/y?=0,5; 2 и 10 соответственно. При L/У?=50 низшая частота по Доннелу оказы­ вается в 3,1 раза большей. Для рассмотренных в [425] трехслой­ ных оболочек с У?/Л= 100 значения низших частот по Доннелу завышаются (в зависимости от структуры оболочки) на 0,5—1,0% при L/y? =0,5; 2,1—3,7% при LfR=2; 14,0—22,2% при L/y?=10 и до 40% при L//?=30. Заметное влияние на величину указанной погрешности оказывает соотношение между толщинами слоев в

трехслойном пакете. По-видимому, и для однородных ортотропных оболочек должна наблюдаться зависимость погрешности расчета

собственных частот, вносимая допущениями технической теории, от характера ортотропнн материала. Этому вопросу в дальнейшем

уделим особое внимание.

Рассмотрим решение линеаризованных уравнении движения ортотропной цилиндрической оболочки (2.58) с усилиями и

моментами, определенными согласно (2.63). Инерционные члены в соответствии с (2.56), (2.57) и соотношениями ух= - ~

Предположим, что на каждый из торцов оболочки действует равномерно распределенное нормальное сжимающее усилие P(t) и что оно создает однородное напряженное состояние, определяе­ мое усилием Тц°=—Р. Допустим далее, что на внешнюю, боковую поверхность оболочки действует равномерно распределенная нор­ мальная следящая нагрузка — давление q(t), создающая одно­ родное докритическое напряженное состояние, определяемое уси­

лием Тъ2°= —qR. Тогда, согласно формулам (2.55), получаем сле­ дующие выражения для «нагрузочных» членов:

Подстановка (2.63), (3.1), (3.2) в (2.58) приводит к системе урав­ нении:

д2и Сг2 àw Cs2‘lï7 + ( Сб6+-л?')'|^"+ *С12+Сб^ дхдУт R гду

На торцах оболочки а*=0 и x=L будем предполагать условия

свободного опирания. Поскольку для «дополнительных» неосе­ симметричных компонентов напряженно-деформированного состоя­

ния они однородны, имеем

Уравнениям (3.3) и граничным условиям (3.4) почленно удовлет­ воряют ряды