книги / Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек

ния теории типа Тимошенко. Принимая во внимание результаты, приведенные в 3.4, будем в дальнейшем пренебрегать тангенциаль­ ными .инерционными членами и инерцией вращения. Это упроще­ ние справедливо при исследовании начального участка спектра ОДН, соответствующих преимущественно изгибиым колебаниям.

Тангенциальные «нагрузочные» члены Хи Х2 также отбрасываем. Учитывая, что в осесимметричном безмоментном состоянии име­

ются усилия Гп0^), T22°(t), определяемые по формулам (4.8), для Х3, согласно (2.55), имеем

Принимая во внимание, что исследуемые параметрические коле­ бания носят преимущественно изгибный характер, следуя допу­ щениям технической теории, используем упрощенное выражение:

b - n - s r + v - a r

Дальнейшее решение проводится на основе системы (3.43) с добавленным к левой части третьего уравнения выражением (4.10). Если принять на торцах оболочки условия свободного опи-

рания (3.4) и разложить неизвестные функции в ряды (3.5), (3.44), то для фиксированной пары значений {т , п} исходная система сведется к обыкновенному дифференциальному уравнению вида

Здесь Qmn — частота колебаний оболочки, загруженной осевой сжимающей силой Р0; Р*тп — критическое осевое сжимающее

усилие. Принимая во внимание (4.9), можно упростить уравнение (4.11), введя условие

накладывающее при 3«><хт более жесткое ограничение «сверху» на частоту 0, чем (4.9). Заметим, что, отбрасывая второе слагае-

мое в квадратных скобках (4.11), мы как бы завышаем величину Pt. Итак, при выполнении (4.13) приходим к уравнению Матье:

Уравнения линий, разделяющих на плоскости параметров {0,6} области устойчивых и неустойчивых решений (4.14), хорошо известны (они приведены, в частности, в монографии [65]). Глав­

ная ОДН заключена между кривыми 0(1>(0), задаваемыми урав­ нениями

Как видно из (4.15)—(4.17), границы ОДН для фиксирован­ ной пары значений {т, п} в принятой постановке задачи пол­ ностью определяются двумя параметрами оболочки: и Р*тп, задаваемыми формулами (3.47), (3.34). При использовании кине­ матической модели Кирхгофа—Лява уравнение (4.14) и формулы (4.15)—(4.17) остаются без изменений, но (втп рассчитывается сог­ ласно (3.12). Соответственно в случае расчета границ ОДН по теории Флюгге следует использовать выражения (3.14) и (3.30). Таким образом, погрешность расчета границ ОДН по той или иной теории полностью определяется погрешностями расчета величин сйтп и Р*тп, исследованными в главе 3.

4.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ВЯЗКОУПРУГОЙ ОБОЛОЧКИ

Задача о параметрических колебаниях вязкоупругой ортотропной цилиндрической оболочки впервые была рассмотрена в [46] на основе линеаризованных уравнений уточненной теории Амбар­ цумяна. Предполагалось, что вязкоупругие свойства материала проявляются только при сдвиговых деформациях (как в плоскости слоя, так и в поперечных направлениях). Такая модель впервые была использована Г. И. Брызгалиным [86] прн расчете на пол­ зучесть ортотропной пластинки и Г. А. Тетерсом, Б. Л. Пелехом

8-1544

[244] — на статическую устойчивость вязкоупругой ортотропной цилиндрической оболочки.

Примем связь между касательными напряжениями и сдвиго­ выми деформациями в виде

соответственно.

Взяв за основу уточненную теорию типа Тимошенко, линеаризованные уравнения движения оболочки запишем в форме (3.43), где константы материала Ст, С,* С23>DK заменены на интеграль­

ные операторы С* С» <?» От, определяемые через (4.19) оче­ видным образом Ограничиваясь в этой системе инерционным чле­

ном. входящим в третье уравнение, добавляя в левую часть этого уравнения нагрузку Хз=- (Р.+Л«»в<)^н подставляя разложения неизвестных функций в виде (3.5). (3.44). получаем систему

Для дальнейшего решения используем тот же подход, что и в [46]. Применим к первому, второму, четвертому и пятому уравне­ ниям системы (4.20) преобразование Лапласа и выразим изобра­

жения функций Unn{p), Vmn{p), Xmn{p), Ÿmn(р) через Wmn(p) (р —параметр преобразования Лапласа):

ÎWS>(P)--- -^-{ат2С13566+рпг[С,Л-С2з(012+0бв)] + &тпп

+С23С13}.

Величины Атп и Бтпп определяются по формулам (3.13), (3.48) при замене С66, С13, Сгз, £бб на Сбб>С13, С23, Азе. имеющие вид

Xmn(t) = J Гт»<5)(/-т) F„,„(t)A; 0

t

Km.,(t)- J IW4)(*—0 W.»» MrfT-

—J Smn(t~x)Wmn(T)dx—J J Tm„(t-x,x-s)Wmt (s)dxds=0, (4.25)

где

Qmn= l( - ^ + C ,3°«m2+ C23°P»2) ;

Smn (t)=-L [ (C,3°—C ^a^R i (O + (C23°- C23”)Pn2«4(t) +

+-^р-ОтГтп(1,(0 — Р»Гпга(2,(0 “ С,3°атГтп(5)(0 +

Tmn(t, T)=—[(C|3°—С13~)«тЯ5(0Гт„(5>(T)-

- (С23»-С23~)р„Я4(0Гтп<4)(т)].

Если ограничиться учетом вязкоупругого поведения материала при сдвиге в плоскости {х,у], то в выражениях для операторов

{4.26) следует положить Ci3°=Ci300, Сгз^Сгз00Тогда

и уравнение (4.25) принимает вид

<j2\Pmncf/2 +QmnWmn —(Po+Pt cos00 am2№7

(4.28)

Рассмотрим далее расчет вязкоупругой оболочки на основе уравнений классической теории. В этом случае можно учесть вяз­ коупругие свойства материала только при деформации сдвига в

чаемые из первых двух уравнений, имеют вид (4.24). Подставляя их в третье уравнение, после ряда преобразований приходим к следующему интегродифференциальному уравнению:

| ( р+Т —)

где

1- (С^-Сбб00) (am4Ci1+Рп4С22~2am2Pn2Ci2)R2

(4.35)

Таким образом, %mn(t)=—e Pmn и уравнение (4.30) принимаетвид

В случае чисто упругого сопротивления материала оболочки

В. И. Матяша [187] при расчете параметрических колебаний тон­ кого вязкоупругого стержня. В [187] проведено подробное иссле­ дование устойчивости решений (4.38) и показано, что области не-. ограниченно возрастающих и затухающих решений разделяются

описывающего параметрические колебания одномассовой системы с учетом сил вязкого трения. В соответствии с указанным резуль-

Отметим, что в предельных случаях т|-»-0 и т]-мх> из (4.41)

следует формула 01,2=2Q„,„yizhônm, в которой Qmn и ômn опре­ деляются через длительный (при г|->-0) или мгновенный (при

т]—►■со-) модуль материала.

Численное исследование, проведенное в [46], показало, что наличие у материала вязкого сопротивления приводит к переходу нижних участков ОДН, соответствующих малым значениям ампли­ туды периодической силы, к области устойчивых решений. Этот эффект аналогичен получаемому при исследовании уравнения (4.39) [65]. Для вязкоупругого материала он проявляется тем сильнее, чем меньше отношение длительных значений модулей к мгновенным.

Более сложным образом влияет на ОДН время релаксации г|. На рис. 4.1 приведены результаты, иллюстрирующие изменение местоположения и формы главной ОДН при возрастании т] от нуля до бесконечности (величины Qwn и ômn определены через мгно­ венное значение модуля упругости). Данный пример относится к изотропной оболочке с £о/£со=5. Правая предельная ОДН, отме­ ченная штрих-пунктирной линией, соответствует решению упругой задачи с мгновенным модулем, а левая предельная ОДН (штри­ ховая линия) —решению упругой задачи с длительным модулем. Как видно, уменьшение времени релаксации материала приводит

к смещению ОДН в сторону меньших частот и увеличению ее ши­ рины.

Рассматриваемые результаты естественны с точки зрения об­ щей трактовки динамических процессов в вязкоупругих средах. Отклик вязкоупругого материала на высокочастотные (с периодом

7’<г|) и низкочастотные (7’>г]) вибрации совпадает с откликом упругого материала (при мгновенном и длительном модулях соот­

ветственно). При периоде нагрузки Тжц вязкоупругие свойства наиболее сильно влияют на амплитуду колебаний, приводят к

наибольшему сдвигу фаз между напряжением и деформацией и к

.максимальной диссипации энергии.

4.3. РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ УПРУГОЙ ОБОЛОЧКИ

Перейдем к рассмотрению задачи о параметрических колеба­ ниях упругой ортотропной цилиндрической оболочки в геометри­

чески нелинейной постановке. Воспользуемся уравнениями в сме­ шанной форме (2.51), (2.52), пренебрегая инерцией вращения и учитывая, что радиальная компонента массовой силы Р*з=

d2w

s=~*x~dt2' Согласно 41>будем считать, что при осесимметричных вынужденных колебаниях оболочки возникает безмоментное одно­

Я(0 = - (Р0+Pt cosQt)=L. Тогда «дополнительная» функция уси­

лий Ф(а', у, t), отвечающая напряженному состоянию оболочки, возникающему при неосесимметричных параметрических колеба­

ниях, равна

В результате подстановки (4.42) система уравнений (2.51), (2.52) принимает вид