книги / Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек

следует, что амплитудное значение перемещения и меньше ампли­ тудного значения перемещения v. Отношение u/v тем меньше, чем

больше <d<3)/w(2).

Приведенные на рис. 3.12 результаты расчета (d<4>показывают,

что частота ю(4) в рассмотренном диапазоне изменения т и п как минимум на два порядка превышает ©0). Можно отметить также,

что достаточно сложный, немонотонный характер зависимостей

0)<4)

—^ от т и п в общих чертах аналогичен прослеживаемому на

рис. 3.10, 3.11. В дополнение к приведенным результатам заметим, что частоты ю(4) и сближаются при уменьшении R/h и G,-3/Gi2; частоты g)<5), cû(4>обычно различаются в третьей значащей цифре.

Остановимся далее на вопросе о влиянии тангенциальной инер­ ции и инерции вращения на значение низшей собственной час­ тоты ю*1). В случае пренебрежения обоими этими факторами со(1) рассчитывается по формуле (3.47). Если учитывать продольную и окружную инерцию, но пренебречь инерцией вращения, то находится из уравнения (3.55); размерность задачи равна трем.

Соответствующее значение а>(,) обозначим через (йти(1)- Если учи­ тывать инерцию вращения, но пренебречь продольной и окружной инерцией, то œ*1) также определяется из уравнения (3.55) (с дру­ гой матрицей Âи вектором F); размерность задачи в этом случае также равна трем. Соответствующее значение ш(1) обозначим через

(йив(,). Введем относительные поправки, вносимые в значение низ­ шей собственной частоты учетом двух групп инерционных членов:

Ати=~><1>~(|)ТИ<,> ' «00%; Айв= — ~“И • Ю0%. (3.56)

Зависимости величины Дти от п и т для углепластиковых обо­ лочек с продольным и окружным армированием приведены на рис. 3.13. Основной вывод состоит в том, что максимум Дти дости­ гается при п= 1 и составляет приблизительно 30%. С ростом п эффект тангенциальной инерции резко снижается. Обращает вни­

мание также наличие максимума у кривых Дти(яг) в случае ок­ ружного армирования. При этом эффект тангенциальной инерции будет максимальным для оболочек вполне определенной длины

(уменьшающейся с ростом п). При осевом армировании функции Дти (яг) _ монотонно убывающие для всех рассмотренных п. От­

метим, что при окружном армировании Дти больше, чем при осе­ вом; разница увеличивается с ростом т и уменьшением п.

Зависимости ДИв от п и т для случаев окружного и осевого армирования приведены на рис. 3.14. Как видно, Див намного меньше, чем Дти» и не превышает 0,5% для R/h=50, Gj3/Gi2=0,l в рассмотренном диапазоне изменения п я т . Отметим, что при окружном армировании Див слабо зависит от /г, но заметно воз­ растает с увеличением т. При осевом армировании, наоборот, за-

с увеличением п. Как видно из приведенных результатов, величина Див резко возрастает с уменьшением R/h. Добавим, что имеет место близкая к линейной зависимость Див(С12/С,-3). С учетом данного результата можно провести сопоставление величин Див (рис. 3.14) и б (рис. 3.6, 3.7)и заключить, что при прочих равных условиях Дцв ориентировочно на два порядка меньше, чем б. Этот количественный вывод подтверждает полученные ранее ре­ зультаты для изотропных [344] и ортотропных [45] цилиндриче­

ских оболочек.

Резюмируем представленный в данном параграфе анализ эф­ фектов, связанных с учетом тангенциальных инерционных членов и инерции вращения. Наиболее важным поправочным фактором при решении задач колебании, динамической устойчивости, неосесимметрпчного динамического деформирования ортотропных ци­ линдрических оболочек следует считать, по-видимому, окружную инерцию. Связанные с ней частота собственных колебаний ш*2) и амплитуда перемещения v наиболее близки по величине к соот­ ветствующим характеристикам изгибного движения оболочки ûjW, w. Окружная инерция оказывает также наиболее сильное среди всех рассмотренных инерционных факторов влияние на час­ тоты собственных изгнбных колебании оболочки.

Рис. 3.14. Относительная поправка к низшей собственной частоте, вносимая уче­ том инерции вращения, в зависимости от п (а) и т (б) для оболочки с окруж­ ным (------ ) и продольным (------) армированием при L/R=2.G,2=0,1;/ G,3 m=20 (a); n=5 (б). Числа y кривых соответствуют R/h=50 (7), 100 (2), 200 (3)

Как следует из приведенных численных результатов, эффект окружной инерции наиболее сильно выражен для низших окруж­ ных гармоник. При решении задач, в которых основную роль иг­ рают гармоники с и доминируют изгибные деформации, ок­ ружной инерцией, очевидно, можно пренебречь.

Эффекты от учета продольной инерции с количественной точки зрения значительно слабее, чем от учета окружной: частота cd(3> обычно заметно выше, чем и<2), а вклад продольной инерции в по­ правку Ати» как показали специально проведенные расчеты, су­ щественно меньше, чем вклад окружной инерции.

Учет инерции вращения дает для каждой пары значений {га,п) две дополнительные частоты, которые в рассмотренных диапазо­ нах параметров оболочки и форм колебаний как минимум на два порядка превышают низшую частоту ю(1>. Вследствие этого инер­ ция вращения оказывает очень малое влияние на амплитудные значения перемещений оболочки. Поправка, вносимая в величину о)(1) учетом инерции вращения, также ничтожно мала. Добавим, что эффекты, связанные с инерцией вращения, усиливаются с рос­

том относительной толщины оболочки и уменьшением модулей поперечных сдвигов.

Проведенный анализ показал также, что количественные эф­ фекты, обусловленные тангенциальной инерцией и инерцией вра­ щения, сильно зависят от параметров ортотропии материала. По­ этому оценка возможности пренебрежения теми или иными инер­ ционными членами в конкретных задачах, полученная из анализа изотропной оболочки, может оказаться ошибочной для оболочек из волокнистых композитов.

П а р а м е т р и ч е с к и е к о л е б а н и я о р т о т р о п н ы х ц и л и н д р и ч е с к и х о б о л о ч е к

Рассматривается нагружение круговой цилиндрической оболочки равномерно

распределенными по торцам осевыми вибрационными усилиями,приводящими при определенных сочетаниях амплитуды и частоты возбуждения к параметрическому резонансу. Излагаются методики расчета областей динамической неустойчи­ вости (ОДН) ортотропной упругой и вязкоупругой цилиндрических оболочек. При этом учитываются деформации поперечных сдвигов и предполагается, что вязкоупругие свойства материала проявляются при действии касательных на­ пряжений. Приводятся решения методом Бубнова—Галеркина задач о пара­ метрических колебаниях упругой и вязкоупругой оболочек в геометрически нелинейной постановке. Анализируются особенности напряженного состояния, возникающего в оболочке при различных режимах параметрического резонанса. Иллюстрируются возможности целенаправленного изменения начальных участ­ ков спектров ОДН посредством варьирования механических характеристик композитного материала, количества слоев и углов укладки слоев в пакете. Дается постановка и проводится решение задач оптимального проектирования цилиндрических оболочек из слоистых композитов при нескольких вариантах физических ограничений, вытекающих из особенностей функционирования обо­ лочки в условиях параметрического резонанса.

На стыке проблем собственных колебаний и статической устой­ чивости тонкостенных элементов конструкций возникают задачи

опараметрических колебаниях. Начиная с работы H. М. Беляева

[41]параметрические колебания стали предметом многочисленных

исследований в приложении к разнообразным механическим си­ стемам с распределенными параметрами (в частности, к стерж­ ням, пластинам и оболочкам). Результаты этих исследований об­ общены в ряде обзорных статей, монографий, справочных пособий [39, 65, 72, 79, 268, 317, 377]. В [268] содержится практически полный список литературы по данному вопросу, опубликованной

до 1972 г. Большое количество работ математического характера досвящено исследованию устойчивости уравнений и систем линей­ ных обыкновенных дифференциальных уравнений с периодиче­ скими коэффициентами, к которым сводятся задачи о параметри­ ческих колебаниях. Упомянем здесь лишь первые фундамен­ тальные исследования [11, 183, 235], обзорную статью [234] и монографию [272], обобщающую математические исследования в

данной области.

То обстоятельство, что в пренебрежении тангенциальной инер­ цией и инерцией вращения границы областей динамической не­ устойчивости (ОДН) тонкостенного конструкционного элемента целиком определяются спектрами частот собственных колебаний и критических статических нагрузок, отмечали H. М. Беляев, Б. А. Боднер, В. Н. Челомей при исследовании параметрических колебаний стержней и пластинок. Оно позволило А. Н. Маркову уже в первой работе [186] получить достаточно полное решение линейной задачи для ортотропной цилиндрической оболочки —

вывести формулы расчета границ главной и побочных ОДН. Из последующих работ по определению ОДН цилиндрических оболо­ чек отметим [460], содержащую обширный численный материал; [449], в которой проведено сопоставление результатов расчета с экспериментальными данными по кинематическому возбуждению параметрических колебаний; [214, 257, 258], в которых ставилась задача изучения влияния затухания на границы ОДН; теорети­ ческое исследование [188], где показано, что эксцентриситет при­ ложения нагрузки сильно влияет на границы ОДН; [116, 168], где рассмотрено влияние начальных несовершенств на ОДН. В [45] исследовано влияние деформаций поперечных сдвигов, а также тангенциальной инерции и инерции вращения на местоположение

.и ширину ОДН ортотропных упругих цилиндрических оболочек. Аналогичные вопросы рассматривались затем в работе [418].

Расчеты и эксперименты по параметрическим колебаниям вяз­ коупругих стержней приведены в [187, 427—430]. В работе [46] рассматривалась задача расчета ОДН для цилиндрической обо­ лочки из вязкоупругого материала. В [50] исследовано влияние вида армирующих волокон, коэффициента армирования, количе­ ства слоев и углов их укладки в многослойном пакете на началь­

ные участки спектров ОДН стекло-, угле- и боропластиковых ци­ линдрических оболочек при осевом вибрационном нагружении. На основе результатов, полученных в [50], были сформулированы

[51] задачи оптимального проектирования армированных много­ слойных цилиндрических оболочек при физических ограничениях,

отражающих специфику параметрического резонанса. Отметим также экспериментальные исследования по параметрическим ко­ лебаниям стеклопластиковых цилиндрических оболочек [77, 169].

В целом задача определения границ ОДН для цилиндрических оболочек (упругих, вязкоупругих, ортотропных, многослойных) к

настоящему времени исследована весьма полно. Теоретические ре­ зультаты достаточно хорошо подтверждаются данными экспери­ ментов.

Прежде чем обратиться к проблеме нелинейных параметриче­ ских колебаний, коротко остановимся на важных с методологи­ ческой точки зрения задачах расчета собственных и вынужденных нелинейных колебаний цилиндрических оболочек. Прежде всего следует упомянуть первые работы Э. И. Григолюка [133] (на ос­ нове уравнений среднего изгиба пологих оболочек решена задача о вынужденных колебаниях свободно опертой круговой цилиндри­

ческой панели) и И. И. Воровича [106] (исследованы вопросы существования и единственности решения уравнений, описывающих нелинейные колебания пологих оболочек).

Проблеме собственных и вынужденных нелинейных колебаний замкнутой круговой цилиндрической оболочки посвящена серия работ, начатых Чу [303], Новинским [392], Ивенсеном [318]. В центре их внимания был расчет амплитудно-частотной характе­ ристики и обсуждение вопроса, к какому типу нелинейности («жесткой» либо «мягкой») она должна принадлежать. В первых двух исследованиях [303, 392] оболочка сводилась к системе с одной степенью свободы, а полученное уравнение Дуффинга опре­ деляло нелинейность «жесткого» типа. При этом в [303] не удов­ летворялось условие непрерывности окружного перемещения, а в [392] —равенство нулю прогиба на торцах. На основе двучлен­ ной аппроксимации прогиба получено решение [318], удовлетво­ ряющее обоим этим требованиям. Оболочка также была сведена к системе с одной степенью свободы, но уравнение колебаний по­ лучалось существенно иного вида: оно содержало нелинейные инер­ ционные члены. В результате решения была получена ампли­ тудно-частотная характеристика «мягкого» типа. Существование таких характеристик подтверждено в экспериментах Олсона [396] на очень тонких оболочках. Дальнейшее развитие подхода Ивен-

сена представлено в [319, 320].

Существенным шагом вперед явилась работа [313], где обо­ лочка рассматривалась как система с тремя степенями свободы; в интегральном смысле удовлетворялись условия периодичности окружного перемещения и равенства нулю на торцах осевого пере­ мещения. В этой работе отмечено, что решение Ивенсена не удов­ летворяет условию равенства нулю на торцах изгибающего мо­ мента и какому-либо определенному типу граничного условия на продольное перемещение. Подход [313] получил развитие в ра­ боте [287], где на основе той же трехчленной аппроксимации про­ гиба рассчитаны амплитудно-частотные кривые и показано, что они относятся к «жесткому» типу (причем даже более выражен­ ному, чем в решениях [303, 392]). Теоретическое н эксперимен­ тальное исследование этой же проблемы проведено в [372]. Реше­ ние строилось на основе аппроксимации прогиба, позволяющей

удовлетворить условиям защемления торцов. Рассчитанные и по­ лученные экспериментально амплитудно-частотные характеристики для очень тонких оболочек выявили «скелетную» кривую «мягкого» типа. Отметим также работы [327, 328], где решение получено на основе вариационного принципа методом возмущений. В первом приближении удовлетворялось условие равенства нулю на торцах осевого усилия. Отмечалось, что возможны нелинейности как «мяг­ кого», так и «жесткого» типов. По мнению автора [328], расхож­ дение между полученными им результатами и результатами [287] неудивительно, поскольку наложение связи на осевое перемещение делает оболочку более жесткой. Нелинейные колебания цилиндри­ ческих оболочек рассмотрены также в [399, 401].

В результате проведенных в перечисленных работах исследова­ ний так и не удалось получить убедительного ответа на основной вопрос: при каких параметрах оболочки и формах волнообразова­ ния имеет место «мягкая» либо «жесткая» амплитудно-частотная характеристика? Некоторую ясность внесла в этот вопрос ра­ бота [301], где содержится решение по методу возмущений с ма­ лым параметром, равным отношению прогиба к радиусу оболочки. Установлена теоретически и подтверждена экспериментальными данными возможность нелинейности как «жесткого», так и «мяг­ кого» типа в зависимости от номеров формы колебаний.

Следует особо подчеркнуть, что ни в одной из перечисленных работ по расчету собственных и вынужденных нелинейных коле­ баний цилиндрических оболочек не был исследован вопрос о взаи­ модействии неосесимметричных форм колебаний, соответствующих разным пространственным гармоникам.

В числе первых работ по нелинейным параметрическим коле­ баниям тонкостенных конструкционных элементов следует упомя­ нуть статьи [64, 452]. В монографии В. В. Болотина [65] изло­ жены основные принципиальные положения теории нелинейных параметрических колебаний механических систем. Указано, в част­ ности, на допустимость определения границ ОДН исходя из линеа­ ризованных уравнений движения.

В начале 60-х гг. В. Ц. Гнуни [119, 121, 122] и Г. В. Мишенков [190, 191] получили ряд решений геометрически нелинейной за­ дачи о параметрических колебаниях пологой цилиндрической па­ нели. В [30] проведено решение аналогичной задачи для оболочки вращения. В последующих многочисленных работах рассматрива­ лись нелинейные параметрические колебания замкнутой цилиндри­ ческой оболочки [32, 103, 120, 402, 461]. В [119, 121, 122, 190, 191] решения получены на основе аппроксимации прогиба одним чле­ ном двойного ряда Фурье. Аппроксимации прогиба и процедуры решения, использованные в [32, 103, 120], соответствуют реше­ нию [4] задачи об импульсном нагружении цилиндрической обо­ лочки осевым сжатием и внешним давлением. Во всех указанных работах система уравнений Движения оболочки в конечном итоге

•была сведена к нескольким модификациям нелинейного обыкно­ венного дифференциального уравнения с периодическим коэффи­ циентом. Из анализа таких уравнений, проводившегося различ­ ными методами, сделаны определенные качественные выводы от­ носительно характера амплитудно-частотной зависимости.

Особо отметим решение [461], в котором использовалась из­ вестная аппроксимация прогиба Кармана—Цзяня с сохранением трех степеней свободы. Путем численного интегрирования системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в [461]

получены зависимости изменения прогиба во времени (имеющего характер биений при попадании нагрузки внутрь ОДН). Отмечено, что дополнительные два слагаемых в аппроксимации, вводимые с делыо отразить нелинейные эффекты, практически не влияют на характер решения. Последний результат послужил отправной точ­ кой для формулировки [53] принципиально иного, чем использо­ вавшиеся ранее, подхода к решению методом Бубнова—Галер- кина задач о нелинейных параметрических колебаниях. Предло­ женный в [53] подход развит в [54] на случай вязкоупругих

оболочек.

В цикле работ [78, 110, 144] экспериментально установлен эф­ фект одновременного возбуждения нескольких пространственных форм колебаний, соответствующих различным номерам окружной гармоники, выявленный теоретически в [53]. В целом можно кон­ статировать, что проблема нелинейных параметрических колеба­ ний привлекает в последние годы повышенный интерес как в тео­

ретическом, так и в экспериментальном аспектах.

4.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ УПРУГОЙ ОБОЛОЧКИ

Рассмотрим ортотропную круговую цилиндрическую оболочку, нагруженную по обоим торцам одинаковыми равномерно распре­ деленными продольными усилиями

В предположении, что перемещение торцов оболочки в радиаль­ ном направлении не стеснено, возникающие в ней вынужденные колебания можем описать системой безмоментных уравнений дви­ жения:

Заметим, что отношение амплитуды Т22° к амплитуде вибрацион­ ной составляющей Тц°

Вынужденные осесимметричные колебания оболочки, нагружен­ ной вибрационной продольной силой, при определенных сочета­

ниях 0, Pt, Ро могут оказаться неустойчивыми относительно раз­ личного рода малых «возмущений», инициирующих пзгнбные де­ формации. Возникающие при этом колебания относятся к классу «параметрически возбуждаемых»*, или просто «параметрических» колебаний.

Решение линейной задачи о параметрических колебаниях лю­ бого тонкостенного конструкционного элемента проводится обычно в такой последовательности. Вначале линеаризованные уравнения движения приводятся к обыкновенным дифференциальным урав­ нениям с периодическими коэффициентами (простейшие частные случаи — уравнения Матье и Хилла). Далее путем исследования

устойчивости этих уравнений определяются границы областей ди­ намической неустойчивости (ОДН).

Если амплитуда и частота внешней нагрузки соответствуют точке на плоскости параметров, находящейся внутри ОДН, то па­ раметрические колебания конструкции носят резонансный харак­ тер — их амплитуда неограниченно возрастает во времени. Если

же они соответствуют точке, находящейся вне ОДН, то амплитуда параметрических колебаний будет оставаться достаточно малой

втечение сколь угодно большого промежутка времени**. Исследование параметрических колебаний в линейной поста­

новке позволяет, таким образом, разделить резонансные и нере­ зонансные режимы, что является необходимым предварительным этапом для решения нелинейной задачи расчета амплитуд коле­ баний конструкции, работающей в заданном резонансном режиме.

Рассмотрим задачу устойчивости осесимметричных вынужден­ ных колебаний упругой ортотропной цилиндрической оболочки, описываемых формулами (4.8), по отношению к неосесимметричньш «возмущениям». За основу примем линеаризованные уравне-

*Терминология введена в f28).

**В частном случае, когда возникновение параметрических колебаний обусловлено наличием начального прогиба to0, амплитуда прогиба при парамет­ рических колебаниях вне ОДН будет порядка to0.