книги / Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек

В конечном итоге деформации и напряжения в оболочке опре­

деляются путем суммирования рядов Фурье.

При решении каждой конкретной задачи первым этапом явля­ ется нахождение коэффициентов Фурье Wmn{x) и исследование их зависимостей от т и п. Несколько типичных зависимостей коэффициентов Фурье в разложении дополнительного прогиба

^0171= ^77111—WmnQот т и п приведены на рис. 5.17.

Как показали результаты многочисленных расчетов, распреде­ ления Wmn по п для любых значений т как при осевом динамиче­ ском сжатии, так и при динамическом внешнем давлении имеют только один максимум. Значение п=п*, которому отвечает этот максимум, определяется главным образом скоростью нагружения, видом распределения по п коэффициентов Фурье WmnQв разложе­ нии начального прогиба и моментом времени т. Распределение

Рис. 5.17. Распределения по т и п коэффициентов Фурье в разложении дополнительно­ го прогиба при осевом сжатии

(а) и внешнем давлении (б). Цифры у кривых соответству­ ют номерам вариантов рас­ чета, представленным в табл. 6.3 и 6.7

Вычисленную в результате сумму обозначим через 5<2>. Последний этап состоит в суммировании от тг в сторону возрастания т.

да+ 2 swi+s гг!

Вычисленную в результате сумму обозначим через 5. Таким обра­ зом, окончательно имеем

m2 —P<mx+k.

Пределы суммирования k, p, q определены согласно условию, чтобы добавление к 5 любой группы из k0 неучтенных в (5.86) членов приводило к поправке, не превышающей заданной вели­ чины е.

Процедуру суммирования можно проводить и в обратном по­ рядке, зафиксировав значение п и начиная вычисления с суммиро­ вания по т. Результат может быть представлен в виде

При решении задачи на основе многочленной аппроксимации про­ гиба «о и iV— наперед заданные числа. Поэтому оценка точности может быть получена только путем проведения повторных расче­ тов и сравнения значений сумм (5.86) или (5.87), вычисленных при различных пределах суммирования п0, N. При решении на ос­ нове одночленной аппроксимации прогиба пределы суммирова­ ния /г0, N заранее не задаются; суммирование по п продолжается до тех пор, пока будет достигнута требуемая точность.

Следует добавить, что в зависимости от координат {х, у) точки на поверхности оболочки, в которой производится суммирование рядов, и момента времени т, сильно варьируется число членов,

Рис. 5.19. Зависимости прогиба от окружной координаты при т=3,4 в сечениях .v=0,485L (кривые /, 2) и at=0,54L (3). Кривая 1 соответствует решению с одночленной аппросимацией, 2 и 3 —с многочленной

Рассмотрим далее, как влияют на форму, принимаемую обо­ лочкой при динамическом выпучивании, наиболее характерные па­ раметры, входящие в уравнения движения, — скорость нагруже­ ния Ур, отношения R/h и L/R. Распределение WmnQсохраним в

виде (5.79).

На рис. 5.20,а, б, в приведены зависимости прогиба от осевой координаты для трех значений скорости нагружения. Отметим две наиболее характерные их особенности. Во-первых, с уменьшением скорости нагружения количество вмятин и выпучин, образующихся вдоль оси оболочки, увеличивается; во-вторых, размеры отдельных вмятин и выпучин уменьшаются с ростом VP (последний резуль­ тат отмечался также и в экспериментальном исследовании [249]). Объяснением этому может служить установленное в -расчетах уве­ личение номера осевой гармоники т*, соответствующего макси­ муму на зависимости ^ш (т), с возрастанием УР (см. рис. 5.17,а).

Используя результаты, приведенные на рис. 5.20,а, г, д, можно сопоставить зависимости w{x) при трех отношениях R/h. Как видно, с ростом R/h уменьшается размер вмятин и выпучин вдоль образующей и усиливается локализация зоны интенсивного выпу­ чивания в средней части оболочки. Объясняется это, как и в слу­ чае возрастания VP, увеличением значения т* (см. рис. 5.17,а).

По результатам, приведенным на рис. 5.20,а, е, ж, можно срав­ нить также зависимости w(x) для трех отношений L/R. Отметим, что при увеличении L/R номер т* возрастает. Следствием этого является уменьшение размеров вмятин и выпучин в направлении образующей и усиление локализации зоны интенсивного выпучи­ вания в средней части оболочки. Таким образом, с качественной стороны увеличение параметров VP, R/h, L/R одинаковым образом влияет на характер зависимости w(x).

Остановимся далее на вопросе о влиянии поля начальных несо­ вершенств на характер динамического выпучивания оболочки. В рассматриваемой задаче он, пожалуй, наиболее важен.

вают, что интенсивное выпучивание происходит в разных местах оболочки. В случае (5.88) наиболее глубокие вмятины и выпучины образуются в средней части, тогда как при несовершенствах (5.89) — у обоих торцов. Особо отметим, что обе кривые w{x) (рис. 5.21,в, д) совершенно не похожи на соответствующие кривые т°(х) (рис. 5.21,а).

Таким образом, для процесса выпучивания оболочки при осе* вой динамической нагрузке не характерно равномерное развитие во времени заданной формы начальных несовершенств. В этом процессе основную роль играют высшие гармоники (см. рис. 5.17,а), которые главным образом и определяют вид деформированной по­ верхности оболочки. Это подтверждается сравнением вида функ­ ций w(x) (см. рис. 5.21,в) и W(i2)°(x) (рис. 5.21,6); последняя полу­ чена суммированием (5.88) с нижним пределом т 0=12.

На рис. 5.21,г приведена зависимость w(x), соответствующая

Как видно, кривые на рис. 5.21,2, в качественно близки, но при несовершенствах (5.66) интенсивное развитие прогиба начинается несколько позже. К приведенным результатам добавим, что равно­

мерное по m увеличение (уменьшение) всех коэффициентов Wmn°

приводит к пропорциональному увеличению (уменьшению) про­ гиба во всех точках поверхности оболочки.

Рассмотрим далее следующий важный вопрос: сравнение ре­ зультатов расчета прогиба оболочки, нагруженной осевыми дина­ мическими усилиями, по методикам, изложенным в 5.3 и 5.4. По­ скольку методика 5.3 не учитывает взаимосвязанности окружных гармоник, соответствующих различным п, такое сравнение будет проводиться с вариантом методики 5.4, основанным на одночлен­ ной аппроксимации прогиба (5.74).

Рассмотрим углепластиковую оболочку с геометрическими па­ раметрами R = 1 м, LfR=2, R/h=200 и характеристиками мате­ риала (5.19). Принимаем скорость нагружения W=5; начальные несовершенства будем считать отличными от нуля только для окружной гармоники п=3 (зададим их формулами (5.56), (5.57)). Результаты решения задачи по методикам 5.3 и 5.4 для этого рас­ четного варианта приведены на рис. 5.12. Кроме того, на рис. 5.11 указаны значения прогиба (обозначены точками), рассчитанные по методике 5.4 для соответствующих сечений х. При этих расче­

тах коэффициенты Wmn{t) находились интегрированием уравне­ ний (5.75), а суммирование по m ряда Фурье для прогиба прово­ дилось в пределах mQ= 1, Aî=30.

Следует еще раз особо подчеркнуть, что изложенные в 5.3 и 5.4 подходы различаются по существу как постановкой задачи, так и использованными методами решения. В первом случае си­ стема уравнений движения не содержит внешней нагрузки P{t), которая входит только в неоднородное краевое условие (5.43). Во втором случае P(t) входит в уравнение движения (5.64) в виде коэффициента, а все граничные условия однородны. В первом случае необходимо предварительно вычислить функцию ау3°(*,*/), суммируя по m ряд Фурье (5.56). В последующем ходе решения используются значения этой функции только в узловых точках x=Xi. Во втором случае ряд Фурье для Шз°(х,у) нигде не сумми­ руется, а коэффициенты Wmз° используются только при решении задачи Коши (5.75), (5.72). И наконец, в первом подходе приме­ няется конечно-разностный метод по координате .v, тогда как во втором —метод Бубнова—Галеркина с одночленной аппроксима­

цией прогиба.

Учитывая сказанное, можно считать очень хорошим соответ­

ствие результатов расчета Wz{x) по указанным двум методикам. Практически совпадают те значения х, при которых прогиб имеет максимумы. И лишь сами величины максимумов при расчете по методике, рассмотренной в 5.4, оказываются несколько большими. Вероятным объяснением этого расхождения может быть неучет в методике 5.4 эффекта взаимосвязанности осевых гармоник, кото­ рый в методике 5.3 учитывается автоматически. Как показано в

[57], при учете этого эффекта коэффициенты Фурье Wmn умеиь-

шаются. Следовательно, уменьшается и значение прогиба в тех местах оболочки, где он имеет максимумы. Подтверждает выска­ занное предположение также и то, что, с одной стороны, относи­ тельное снижение прогиба при учете эффекта взаимосвязанности осевых гармоник возрастает с увеличением самого прогиба, а, с другой —различие в величинах ш3(х), рассчитанных по двум ме­ тодикам, тем значительнее (рис. 5.12), чем больше ш3(л*).

Рассмотренный пример показывает, что в тех случаях, когда интенсивное неосесимметричное выпучивание происходит на доста­ точном удалении от торцов оболочки (вне зоны осесимметричного краевого эффекта), неосесимметричную составляющую прогиба можно вполне достоверно определить, применяя методику, изло­ женную в 5.4. Следует иметь в виду при этом, что данная мето­ дика пригодна в ограниченном сверху диапазоне скоростей нагру­ жения, поскольку соответствующая ей постановка задачи пред­ полагает однородность осесимметричного напряженного состояния вне зон краевого эффекта, нарушаемую при сравнительно кратко­ временных интенсивных нагрузках. В тех случаях, когда область интенсивного неосесимметричного выпучивания находится вне зон краевого эффекта, для расчета осесимметричной составляющей прогиба можно использовать методику, изложенную в 5.1.

Таким образом, при условии, что процессы осесимметричного и неосесимметричного динамического выпучивания протекают в раз­ ных координатных областях, общую задачу, рассмотренную в 5.3, можно разделить на две существенно более простые, исследован­ ные в 5.1 и 5.4. Решение первой задачи дает осесимметричную составляющую прогиба, второй — неосесимметричную (которая может быть рассчитана с учетом взаимосвязанности любого ко­ нечного числа окружных гармоник). Полный прогиб оболочки оп­ ределяется путем суперпозиции этих двух составляющих. Отметим, что машинное время, затрачиваемое в сумме на решение указан­ ных двух частных задач, в 4—5 раз меньше, чем на решение об­ щей задачи.

Сформулированный принцип суперпозиции для рассматривае­ мой нелинейной задачи носит, разумеется, приближенный харак­ тер и имеет ограниченную применимость. Он неприменим в тех ситуациях, когда расчет по методике 5.4 указывает на расположе­ ние области неосесимметричногодинамическоговыпучивания в пре­ делах зоны осесимметричного краевого эффекта (см., например, рис. 5.21,д). Действительно, в 5.3 при расчете с параболической зависимостью от х неосесимметричной составляющей начального прогиба установлено (см. рис. 5.14,а), что в условиях свободного опирания торцов развитие неосесимметричной составляющей про­ гиба слабо выражено. Характер зависимости w(x), приведенной на рис. 5.21Д противоречит этому результату. Таким образом, до­

стоверные значения прогиба в данном случае могут быть получены только при учете взаимодействия осесимметричной и неосеснммет-

ричной составляющих, т. е. при использовании методики, изложен­ ной в 5.3.

Рассмотренные примеры относились к расчету прогиба обо­ лочки. Деформации и напряжения, как уже отмечалось, могут быть рассчитаны путем подстановки рядов (5.73) в соотношения (5.81) и (4.76). Разумеется, при суммировании полученных рядов для обеспечения требуемой точности следует заново определять пределы суммирования, используя описанную в данном параграфе процедуру. Как правило, ряды для деформаций и напряжений схо­ дятся медленнее, чем ряды для перемещений, что приводит к не­ обходимости удерживать большее количество членов как по т, так и по л.

Численные примеры, иллюстрирующие зависимости напряже­ ний от координаты х и от времени в различных изотропных и ортотропных оболочках, приведены в [55, 57], где рассматривалось на­ гружение линейно возрастающими во времени осевыми сжимаю­ щими усилиями. Не останавливаясь здесь на иллюстрации этих результатов, отметим только один, наиболее существенный, по на­ шему мнению, вывод.

В главе 2 подчеркивалось, что все используемые нами варианты уравнений движения основаны на модели линейно-упругого пове­ дения материала. Поэтому изложенные расчетные методики, строго говоря, становятся неприменимыми при условии, что хотя бы в одной точке оболочки напряжения вышли на поверхность теку­ чести (или поверхность прочности) рассматриваемого материала. В этой связи возникает вопрос: проявляются ли и насколько сильны установленные выше эффекты, обусловленные учетом гео­ метрической нелинейности, при условии линейно-упругого поведе­ ния материала? Этот вопрос подробно исследован для стальной оболочки при различных значениях параметров R/h, L/R, VP. Срав­ нивались зависимости интенсивности касательных напряжений Т(т) (5.25), полученные из решений нелинейной задачи с учетом и без учета взаимосвязанности окружных гармоник, а также из решения линеаризованных уравнений движения. Установлено, что вплоть до момента т=т*, соответствующего началу образования пластических деформаций, эти зависимости малоотличимы даже для оболочек с R/h=500.

Один из путей обнаружения более заметных эффектов, связан­ ных с учетом геометрической нелинейности в области физически линейного поведения материала заключается в исследовании обо­ лочек из материалов с более высоким, чем у металлов, относи­

тельным пределом текучести (пределом пропорциональности для нелинейно-упругих материалов). Один из таких материалов —

майлар, имеющий механические характеристики £=5-109 Н/м2; v=0,38; р= 1,4-103кг/м3; 7\=9-107 Н/м2. Для оболочки с Æ//i=800, LIR=2, при скорости нагружения VP=0,5 и начальных несовер­ шенствах (5.79) рассчитаны зависимости 7'(т) согласно указанным